第二节　等差数列

第二节等差数列第六章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.理解等差数列与一次函数的关系.强基础固本增分1.等差数列的概念一般地,如果数列{an}从第

2

项起,每一项与它的前一项之差都等于

同一个常数d

,即

an+1-an=d

恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的

公差

.

2.等差数列的通项公式及其推广若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=

a1+(n-1)d

.该式可推广为an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).

3.等差数列通项公式与函数的关系an=a1+(n-1)d可化为an=nd+a1-d的形式.如果记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);(2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.4.等差中项在一个等差数列中,中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项.5.等差数列的前n项和公式微点拨1.在等差数列中,从第2项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中项,即an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).证明一个数列是等差数列的“等差中项法”2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.6.等差数列的常用性质(1)等差数列的通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q,则

am+an=ap+aq

(m,n,p,q∈N*).

特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,t∈N*).(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.常用结论1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b∈R).3.在等差数列{an}中,若Sm=Sn,则Sm+n=0.4.在等差数列{an}中,若d>0,则数列{an}为递增数列;若d<0,则数列{an}为递减数列;若d=0,则数列{an}为常数列.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若数列{|an|}不是等差数列,则{an}也不是等差数列.(

)2.在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(

)3.在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(

)4.若数列{an}的前n项和为Sn=-n2+5n,则{an}中不存在相等的两项.(

)××√√题组二

双基自测5.

在等差数列{an}中,若S15=5(a2+a6+ak),则k=

.

答案

16解析

因为S15=15a8=5×(3a8),所以3a8=a2+a6+ak,因此有2+6+k=24,故k=16.6.

数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100.求数列{an+bn}的前100项的和.解

依题意{an+bn}为等差数列,其首项a1+b1=5+15=20.又a100+b100=100,所以{an+bn}前100项的和为研考点精准突破考点一等差数列基本量的运算题组(1)(2023·山东烟台高三月考)已知在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,S4=24,S9=99,则a7等于(

)A.13 B.14 C.15 D.16(2)(多选)(2023·湖南岳阳高三模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是(

)A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10答案

(1)C

(2)BC规律方法

解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)等价转化思想:运用等差数列性质可以化繁为简,优化解题过程.考点二等差数列的判断与证明规律方法

等差数列的判断与证明的方法

方法解读适合题型定义法an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列对点训练(2023·广东惠州高三期中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=nan-n2+n.(1)证明:{an}是等差数列;(1)证明

由已知Sn=nan-n2+n,①∴Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n≥2).②由①-②,得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=2(n≥2且n∈N*).故{an}是以2为公差的等差数列.

考点三等差数列的性质及其应用(多考向探究预测)考向1等差数列的性质题组(1)(2023·安徽阜阳高三月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,3a3+2a8=35,则S9=(

)A.56 B.63 C.67 D.72(2)(2022·山西太原二模)等差数列{an}的前n项和为Sn,若

=-2,则{an}的公差d=(

)A.1 B.2 C.-1 D.-2(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S2n=6,则S4n=(

)A.8 B.12 C.14 D.20答案

(1)B

(2)D

(3)D

(4)A解析

(1)(方法1)由于3a3+2a8=a3+2(a3+a8)=a3+2(a5+a6)=2a5+2a6+a3=2a5+(a5+a7)+a3=3a5+(a7+a3)=3a5+2a5=5a5=35,于是a5=7,故S9=9a5=63.故选B.(3)由已知得Sn=2,S2n-Sn=6-2=4,因此Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n构成首项为2,公差为2的等差数列,于是S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=2+4+6+8=20.故选D.答案

D规律方法

利用等差数列的性质解题的关注点(1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在

中,Sn与a1+an可以相互转化.(2)在等差数列中,前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来,相互转化.(3)在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,并不是Sm,S2m,S3m成等差数列,在运用时注意区分.考向2等差数列前n项和的最值例题(2023·