对称元素组合点群

对称元素组合点群第1页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素组合及点群晶体学基础第2页，课件共55页，创作于2023年2月Outline对称元素的组合对称32种点群及其符号晶体的分类(旋转轴)低级晶族—三斜晶系，单斜晶系，斜方晶系中级晶族—三方晶系，四方晶系，六方晶系高级晶族—等轴晶系第3页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合对于晶体而言，对称元素往往不是孤立存在的。多于1种则存在组合问题。这种组合并非是任意的，必须符合对称元素的组合定律。这种组合的数学推导较为复杂，现通过直观的图形加以说明。第4页，课件共55页，创作于2023年2月例如：二次轴(L2)+对称面(P)对称元素的组合（1）Reflect&Rotate定理一：如果对称面P包含对称轴Ln，则必有n个P包含LnLn

·

P//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）。第5页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合二次轴(L2)+对称面(P)第6页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合二次轴(L2)+对称面(P)Step1:reflect第7页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合二次轴(L2)+对称面(P)Step1:reflectStep2:rotate第8页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合二次轴(L2)+对称面(P)Step1:reflectStep2:rotate存在第二个对称面L2+P=L22P第9页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

四次轴(L4)+对称面(P)第10页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

四次轴(L4)+对称面(P)Step1:reflect第11页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

四次轴(L4)+对称面(P)Step1:reflectStep2:rotate1第12页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

四次轴(L4)+对称面(P)Step1:reflectStep2:rotate1Step3:rotate2第13页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

四次轴(L4)+对称面(P)Step1:reflectStep2:rotate1Step3:rotate2Step4:rotate3第14页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

四次轴(L4)+对称面(P)增加2个对称面L4+P=L44P第15页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合

三次轴(L3)+对称面(P)L3+P=L33P第16页，课件共55页，创作于2023年2月L6+P=L66P红锌矿晶体：L66P对称元素的组合第17页，课件共55页，创作于2023年2月L2+P=L22PLn+P=LnnP对称元素的组合综上可得出：或写成：Ln

·

P//LnnP//

P与P夹角为Ln基转角的1/2L3+P=L33PL4+P=L44PL6+P=L66P第18页，课件共55页，创作于2023年2月第19页，课件共55页，创作于2023年2月1个L2垂直于Ln对称轴必有n个L2垂直于Ln；定理二Ln

·L2LnnL2

(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)例如:L4

·

L2L44L2,L3

·

L2L33L2第20页，课件共55页，创作于2023年2月第21页，课件共55页，创作于2023年2月定理三1个P垂直于偶次Ln对称轴必有对称中心C；Ln

·

PLnP

C(n为偶数)。第22页，课件共55页，创作于2023年2月例如：具有Li42L22P对称组合的黄铜矿晶体定理四1个L2垂直于Lni

或1个P包含于Lni对称轴，n为奇数时，必有n个L2垂直于Lni和n个P包含于Lni，n为偶数时，必有n/2个L2垂直于Lni和n/2个P包含于Lni；Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇数)Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶数)第23页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇数)第24页，课件共55页，创作于2023年2月对称元素的组合总结Ln

·

P(||)

Ln

nPLn

·

L2()

LnnL2Ln·P()=Ln

·

C

LnPC(n=偶数)Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇数)

Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶数)第25页，课件共55页，创作于2023年2月点群(对称型)点：所有对称元素有一个公共点，在对称操作中始终不动。群：一组对称元素或对称操作的集合。符合数学中群的概念。封闭性：C=AB结合律：(AB)C=A(BC)单位元素：AI=IA=A;BI=IB=B存在逆元素：AA-1=I第26页，课件共55页，创作于2023年2月任何晶体的宏观对称性有以下十种对称元素:晶体的32种点群及其符号一、晶体对称元素的组合：晶体的对称元素间至少有一点重合。晶体的全部对称元素的集合——点群。第27页，课件共55页，创作于2023年2月晶体对称元素可能组合可以通过直观的方法，上述对称元素的组合定律，推导出点群。上述点群的推导比较形象和直观，但欠严密性。严密的推导可利用群论进行。对称轴+对称轴：Ln

·

P(||);Ln·

P()

Ln

·

P(||)·P()Ln

·

P(||)·P()·

L2Ln

n

L2

(n+1)

P（n为偶数存在C）A类组合（高次轴（n>2）不多于1个），共27个；B类组合（高次轴多于1个），共5个。组合形式Ln·

L2()；Lni

·

L2()第28页，课件共55页，创作于2023年2月晶体对称元素可能组合A类组合（高次轴（n>2）不多于1个），共27个；(1)对称轴+对称轴：只考虑垂直组合

高次轴不多于1个，所以只考虑Ln

和L2组合Ln

和L2平行，按对称轴选取原则，只选取的是高次轴，没有组合。Ln

和L2斜交时，出现多个Ln，非A类组合。含10个“单独存在”的对称元素。第29页，课件共55页，创作于2023年2月晶体对称元素可能组合:对称轴+对称轴可以推到出4个新组合。Ln

·

L2()

LnnL2Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇数)Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶数)可以推到出3个新组合。第一种情况：第二种情况：第30页，课件共55页，创作于2023年2月晶体对称元素可能组合(2)对称轴Ln与垂直它的对称面的组合。可以推到出3个新组合。Ln·P()=Ln

·

C

LnPC(n=偶数)第31页，课件共55页，创作于2023年2月晶体对称元素可能组合(3)对称轴Ln与包含它的对称面的组合。可以推到出4个新组合。Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇数)

Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶数)第32页，课件共55页，创作于2023年2月晶体对称元素可能组合(4)对称轴Ln与包含它的对称面以及垂直它的对称面的组合。可以推到出3个新组合。Ln

·

P(||)·P()Ln

·

P(||)·P()·

L2Ln

n

L2

(n+1)

PLn

n

L2

(n+1)

P（n为奇数）Ln

n

L2

(n+1)

PC（n为偶数）第33页，课件共55页，创作于2023年2月B类组合（高次轴多于1个），共5个。3L2

4

L3

视为B类组合的原始形式，与L2、与对称心、与包含的对称面、与包含的对称面且有垂直L2的组合时，可得到4个新的组合：3L44L36L2、

3L44L33PC

、

3L4i

4L36L2、

3L44L36L29PC第34页，课件共55页，创作于2023年2月10种对称元素只能组成32种不同的点群；晶体的宏观对称只有32个不同类型。晶体32种点群组合汇总第35页，课件共55页，创作于2023年2月国际（Hermann-Mauguin）符号熊夫利（Schoenflies）符号

C，D，S，T，O

i，s，v，h，d晶体点群的符号以字母T,O,C,D,S代表四面体、八面体、回转群、双面群和反群。i,s,v,h,d代表对称中心、对称面、通过主轴对称面、与主轴垂直对称面，以及等分两副轴的交角的对称面。第36页，课件共55页，创作于2023年2月晶体点群的熊夫利符号——不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体只包含一个旋转轴的点群——4个

——下标表示是几重旋转轴回转群——表示对称轴Ln第37页，课件共55页，创作于2023年2月群群加上中心反演

群群加上反演面群群加上与n重轴垂直的反演面，共4个群群加上含有n重轴的反演面，共4个——表示Ln与垂直的对称面P的组合——表示Ln与平行的对称面P的组合第38页，课件共55页，创作于2023年2月晶体点群的熊夫利符号双面群包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群

——4个——表示Ln与垂直的L2的组合第39页，课件共55页，创作于2023年2月Dnh群Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，共4个群群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的反演面，共2个群只包含旋转反演轴的点群。其中共2个——表示Ln

n

L2

(n+1)

PC的组合——表示对称轴、对称面和L2的组合第40页，课件共55页，创作于2023年2月群——正四面体点群,含有24个对称操作群——立方点群的24个纯转动操作群——正四面体点群的12个纯转动操作群群加上中心反演群——立方点群,含有48个对称操作

第41页，课件共55页，创作于2023年2月4/mmm1234m2m3简写:m3m点群国际符号

包括3个字符，1个字符代表1个轴向对称元素全写旋转轴：数字n;倒反轴：n;镜面：m;既有旋转轴又有镜面，nm如：如：第42页，课件共55页，创作于2023年2月点群国际符号第43页，课件共55页，创作于2023年2月第44页，课件共55页，创作于2023年2月第45页，课件共55页，创作于2023年2月晶体的对称分类晶族(crystalcategory)的划分 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族1.晶族（crystalcategory）：3个晶族低级晶族