误差理论与数据处理课件

第1章绪论第1章绪论本章阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；给出测量中的有效数字概念及其在数据处理中的基本方法。通过学习本章内容，使读者对测量误差分析及其数据处理的问题有一个概貌的了解，为学习后面章节的内容奠定基础。教学目标本章阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类误差定义及表达形式测量误差来源的分析测量误差按误差性质的分类处理有效数字定义及选取重点与难点误差定义及表达形式重点与难点门捷列夫(1834-1907)

科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。门捷列夫第一节研究误差的意义门捷列夫(1834-1907)科学始于测量,没有我常说的一句话是：当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文为了纪念他在科学上的功绩，国际计量大会把热力学温标（即绝对温标）称为开尔文（开氏）温标，热力学温度以开尔文为单位，是现在国际单位制中七个基本单位之一。开尔文（1824-1907）第一节研究误差的意义我常说的一句话是：当你能够测量你所关注的事物，而且能钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森第一节研究误差的意义钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。王大珩第一节研究误差的意义王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“测量与科学密不可分的关系!测量与误差是相附相随的!一切的测量都存在误差!误差在测量技术等科学研究领域占据着极为重要的地位!测量与科学密不可分的关系!测量与误差是相附相随的!一切的测量第一节研究误差的意义正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，消除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统测量过程精益求精！测量技术高精尖方向发展！第一节研究误差的意义正确认识误差的性质，分析误差产生的原第二节误差的基本概念这一节将介绍测量误差的基本概念，如测量误差的定义、分类、误差的来源等。通过这些内容的学习，可以让读者对测量误差有个全面的了解。第二节误差的基本概念这一节将介绍测量误差的基本概误差（Error）：误差测得值真值＝－真值（TrueValue）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。分类：理论值约定真值三角形内角之和恒为180º一个整圆周角为360º一、误差的定义及表示法国际千克基准1Kg误差（Error）：误差测得值真值＝－真值（True约定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估计值、约定值或参考值

是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。这个术语在计量学中常用。由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真值为1kg，其复现的不确定度为0.008mg。当今保存在国际计量局的铂铱合金千克原器的最小不确定度为0.004mg误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定真值。

亦称一、误差的定义及表示法约定真值(ConventionalTrueValue）指误差绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点一、误差的定义及表示法误差绝对相对粗大系统随机表示形式性质特点一、误差的定义及表绝对误差（AbsoluteError）

绝对误差

被测量的真值，常用约定真值代替

测得值特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。2)给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。一、误差的定义及表示法L＝L－L0绝对误差测得值真值＝－绝对误差（AbsoluteError）绝对误差被测量修正值(Correction)

:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。

一、误差的定义及表示法修正值真值测得值－特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。误差－修正值(Correction):为了消除固定的系统误差用【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为－5V，则修正后的测量结果为226+(－5V)=221V。

测得值绝对误差一、误差的定义及表示法【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，定义

被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值L

来代替

L0相对误差特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差（RelativeError）：

绝对误差与被测量真值之比

相对误差一、误差的定义及表示法定义被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值L绝对误差和相对误差的比较用尺子测量100m的标准距离，得值101m,其绝对误差△L=1m，但用来测量1000m长的长度，得值1001m,其绝对误差为1m。前者的相对误差为1%后者的相对误差为0.1%用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。

一、误差的定义及表示法准确程度不一样！绝对误差和相对误差的比较用尺子测量100m的标准距离，得值1引用误差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定义

该标称范围（或量程）上限引用误差

仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差

引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。

一、误差的定义及表示法应用于多挡和连续分度的仪器仪表中！引用误差（FiducialErrorofaMeasu我国电工仪表、压力表的准确度等级（AccuracyClass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确

（公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级一、误差的定义及表示法我国电工仪表、压力表的准确度等级（AccuracyClas【例1-3

】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？由公式2，该电压表的引用误差为由于所以该电压表合格。【解】一、误差的定义及表示法【例1-3】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发【例1-4

】

某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的最大绝对误差和相对误差。根据题意得

由公式1可知，最大绝对误差为

他们的相对误差分别为

可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。

【解】一、误差的定义及表示法【例1-4】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为1

为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源

测量装置误差

测量环境误差

测量方法误差

测量人员误差

二、误差的来源为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误测量装置误差标准器件误差仪器误差附件误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。

测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。

设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差

组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差设备出厂时校准与定度所带来的误差读数分辨力有限而造成的读数误差

数字式仪器所特有的量化误差

元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差二、误差的来源测量装置误差标准器件误差仪器误差附件误差以固定形式复现标准量测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量，环境误差主要来源于环境温度、电源电压和电磁干扰等激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响二、误差的来源测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。二、误差的来源测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。二、误差的来源测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与三、误差分类系统误差（SystematicError）

在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

定义特征

在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

三、误差分类系统误差（SystematicError）用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差刻线尺的温度变化引起的示值误差系统误差举例在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。三、误差分类用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装三、误差分类按对误差掌握程度，系统误差可分为误差绝对值和符号已经明确的系统误差。

已定系统误差：举例：

直尺的刻度值误差

误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。

未定系统误差：三、误差分类按对误差掌握程度，系统误差可分为误差绝对值和三、误差分类按误差出现规律，系统误差可分为误差绝对值和符号固定不变的系统误差。

不变系统误差：举例：

砝码质量、热膨胀误差

误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。

变化系统误差：三、误差分类按误差出现规律，系统误差可分为误差绝对值和符随机误差（RandomError）

测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。定义特征

在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。

三、误差分类随机误差（RandomError）测得值与在重复性条件随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。

虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。具体见第二章。

随机误差的性质三、误差分类随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。虽粗大误差（GrossError）

指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。三、误差分类粗大误差（GrossError）指明显超出统计规律预三类误差的关系及其对测得值的影响

标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。三、误差分类三类误差的关系及其对测得值的影响标准差期望值均值某次测如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化三、误差分类如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表第三节精度这一节将介绍测量误差的评定参数及与误差的关系。第三节精度这一节将介绍测量误差的评定参数及与第三节精度它反映测量结果中系统误差的影响。准确度（Correctness）它反映测量结果中随机误差的影响程度。精密度（Precision）精确度（Accuracy）

它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影星程度，简称精度。精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。

第三节精度它反映测量结果中系统误差的影响。准确度（C准确度、精密度和精确度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，准确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而精确度亦高。第三节精度准确度、精密度和精确度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散

指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。

重复性（Repeatability）指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。复现性也称为再现性。

复现性（Reproducibility）常用测量名词术语第三节精度指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。

稳定性（Stability）指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。

示值误差（ErrorofIndication）常用测量名词术语第三节精度指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。

偏移（Bias）

指对于给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。有时也称为允许误差限。

最大允许误差（MaximumPermissible）常用测量名词术语第三节精度指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差第四节有效数字与数据运算这一节将介绍有效数字的定义、数字的射入原则和数据的运算原则。第四节有效数字与数据运算这一节将介绍有效数字的定第四节有效数字与数据运算一、有效数字

含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。

测量结果保留位数的原则1：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。测量结果保留位数的原则2：在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。第四节有效数字与数据运算一、有效数字含有误差的任何第四节有效数字与数据运算二、数字舍入规则

计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。四舍六入五凑偶第四节有效数字与数据运算二、数字舍入规则计算和测量第四节有效数字与数据运算三、数字运算规则

在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。（向左看齐）在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。（多数服从少数）在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。第四节有效数字与数据运算三、数字运算规则在近似数运算在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多，其对应关系：第四节有效数字与数据运算角度误差10”1”0.1”0.01”函数值位数5678在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+第2章

误差的基本性质与处理

第2章

误差的基本性质与处理本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目标本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与难点三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施重

当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：

①测量装置方面的因素

②环境方面的因素

③

人为方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。第一节随机误差一、随机误差产生的原因当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列

随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：(2-1)式中。正态分布的分布密度与分布函数为

(2-2)

(2-3)式中：σ——标准差（或均方根误差）

e——自然对数的底，基值为2.7182……。它的数学期望为(2-4)它的方差为：(2-5)第一节随机误差二、正态分布随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而其平均误差为：(2-6)此外由可解得或然误差为：

(2-7)由式（2-2）可以推导出：

①有,可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性；

②当δ=0时有，即，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性；

③虽然函数的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性；

④随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：这称为误差的补偿性。返回本章目录从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。第一节随机误差其平均误差为：

图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。

第一节随机误差图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。

(一)算术平均值的意义设为n次测量所得的值，则算术平均值为:

(2-8)

第一节随机误差三、算术平均值对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。即由前面正态分布随机误差的第四特征可知，因此

由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。第一节随机误差下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo

一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9)

此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数作为参考值，计算每个测得值与的差值：(2-10)

式中的为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。

若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。第一节随机误差一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1例2-1

测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。解：任选参考值=1879.65，计算差值和列于表很容易求得算术平均值＝1879.64。

（二）算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。由，式中的是根据（2-8）计算的，当求得的为未经凑整的准确数时，则有：(2-11)残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第一节随机误差例2-1测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平舍入误差Δ，即有：成立。而经过分析证明，用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：

①残差代数和应符合：当，求得的为非凑整的准确数时，为零；当，求得的为非凑整的准确数时，为正，其大小为求时的余数；当，求得的为非凑整的准确数时，为负，其大小为求时的亏数。

②残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，；当n为奇数时，。式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。以上两种校核规则，可根据实际运算情况选择一种进行校核，但大多数情况选用第二种规则可能较方便，它不需要知道所有测得值之和。第一节随机误差舍入误差Δ，即有：成立。而第一节随机误差

例2-2用例2-1数据对计算结果进行校核。解：因n为偶数，A＝0.01，由表2-1知

故计算结果正确。例2-3

测量某直径11次，得到结果如表2-2所示，求算术平均值并进行校核。

解：算术平均值为：取＝2000.067序号

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一节随机误差例2-2用例2-1数据对计算结果进行校核。序号用第一种规则校核，则有：用第二种规则校核，则有：故用两种规则校核皆说明计算结果正确。第一节随机误差用第一种规则校核，则有：第一节随机误差（一）均方根误差（标准偏差）σ

为什么用σ来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯（正态）分布的分布密度推知：令，则有：

高斯参数h为精密度。由于h值无法以实验中得到，故以σ值代之。

第一节随机误差四、测量的标准差（一）均方根误差（标准偏差）σ第一节随机

由于σ值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此σ值可作为随机误差的评定尺度。σ值愈大，函数减小得越慢；σ值愈小，减小得愈快，即测量到的精密度愈高，如图2-2所示。

标准差σ不是测量到中任何一个具体测量值的随机误差，σ的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ，一般都不等于σ，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差σ的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。第一节随机误差由于σ值反映了测量值或随机误差的散布程度，因（二）或然误差ρ

测量列的或然误差ρ，它将整个测量列的n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半（n/2个）随机误差的数值落在-ρ—+ρ范围内，而另一半随机误差的数值落在-ρ—+ρ范围以外：，查表，得到时，z=0.6745，故有其实际意义是：若有n个随机误差，则有n/2个落在区间[-ρ,+ρ]之内，而另外n/2个随机误差则落在此区间之外。（三）算术平均误差θ

测量列算术平均误差θ的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：由概率积分可以得到θ与σ的关系：

目前世界各国大多趋于采用σ作为评定随机误差的尺度。这是因为：

①σ的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），σ本身又第一节随机误差（二）或然误差ρ第一节随机误差恰好是高斯误差方程式中的一个参数，即，所以采用σ，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；

②σ对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；

③极限误差与标准偏差的关系简单：；

④公式推导和计算比较简单。五、标准偏差的几种计算方法

（一）等精度测量到单次测量标准偏差的计算1、贝塞尔(Bessel)公式

(2-13)

式中，称为算术平均值误差将它和代入上式，则有(2-14)第一节随机误差恰好是高斯误差方程式中的一个参数，即，所以将上式对应相加得：，即(2-15)若将式(2-14)平方后再相加得：(2-16)将式(2-15)平方有：当n适当大时，可以认为趋近于零，并将代入式(2-16)得：(2-17)由于，代入式(2-17)得：，即(2-18)第一节随机误差将上式对应相加得：，即第一节随机2、别捷尔斯法

由贝赛尔公式得：进一步得：则平均误差有：

由式2-6得：故有：

(2-26)

此式称为别捷尔斯（Peters）公式，它可由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差，而算术平均值的标准差为：(2-27)第一节随机误差2、别捷尔斯法第一节随机误差例2-4

用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。

解：计算得到的值分别填于表中，因此有3、极差法用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第一节随机误差例2-4用别捷尔斯法求算出标准差时，可用极差法。若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选取最大值与最小值，则两者之差称为极差：(2-28)

根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为(2-29)

因故可得的无偏估计值，若仍以表示，则有(2-30)

式中的数值见表2-4。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一节随机误差算出标准差时，可用极差法。n第一节随机误差例2-5仍用表2-3的测量数据，用极差法求得标准差。解：4、最大误差法在某些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值），因而能够算出随机误差，取其中绝对值最大的一个值，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式：(2-31)

一般情况下，被测量的真值为未知，不能按（2-31）式求标准差，应按最大残余误差进行计算，其关系式为：(2-32)

式（2-31）和（2-32）中两系数、的倒数见表2-5。第一节随机误差例2-5仍用表2-3的测量数据，用极最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。当时，最大误差法具有一定精度。例2-6

仍用表2-3的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，而故标准差为n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一节随机误差nnn第一节随机误差例2-7

某激光管发出的激光波长经检定为，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长，试求原检定波长的标准差。解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随机误差为：

故标准差为：

5、四种计算方法的优缺点

①贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；

②别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；

③用极差法计算σ，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n<10时可第一节随机误差例2-7某激光管发出的激光波长经检定为用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式；

④用最大误差法计算σ更为简捷，容易掌握，当n<10时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。（二）多次测量的测量列算术平均值的标准差

在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。由式(2-8)已知算术平均值为：取方差得因故有第一节随机误差用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式；第一节随机误差

所以(2-21)

即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的，当n愈大，算术平均值越接近被测量的真值，测量精度也愈高。增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图2-3可知,σ一定时，当n>10以后，的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。第一节随机误差所以第一节随机误差评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差R或平均误差T，相应公式为：(2-22)(2-23)

若用残余误差表示上述公式，则有：(2-24)(2-25)

例2-8用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算术平均值及其标准差。解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样，表中的算术平均值为。因为，第一节随机误差评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差R或平均误差与表中的结果一致，故计算正确。根据上述各个误差计算公式可得：六、测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为p，并使差值（1-p）可予忽略。（一）单次测量的极限误差测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概第一节随机误差与表中的结果一致，故计算正确。第一节随率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率，即：当研究误差落在区间（-δ,+δ）之间的概率时，则得：(2-33)

将上式进行变量置换，设经变换，上式成为：(2-34)

这样我们就可以求出积分值p，为了应用方便，其积分值一般列成表格形式，称为概率函数积分值表。当t给定时，φ(t)值可由该表查出。现已查出t=1,2,3,4等几个特殊值的积分值，并求出随机误差不超出相应区间的概率p=2φ(t)和超出相应区间的概率p’=1-2φ(t)，如表2-6所示（图2－4）。由表可以看出，随着t的增大，超出|δ|的概率减小得很快。当第一节随机误差率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相

t=2，即|δ|=2σ时，在22次测量中只有1次的误差绝对值超出2σ范围；而当t=3，即

|δ|=3σ时，在370次测量中只有1次误差绝对值超出3σ范围。由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即

(2-35)

当t＝3时，对应的概率p＝99.73％。在实际测量中，有时也可取其它t值来表示单次测量的极限误差。如第一节随机误差t不超出的概率超出的概率测量次数n超出的测量次数0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第一节随机误差t不超出的概率超出的概率测取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％；t＝1.96，p＝95％等。因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：(2-36)

若已知测量的标准差σ，选定置信系数t，则可由上式求得单次测量的极限误差。（二）算术平均值的极限误差测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差，即。当多个测量列的算术平均值误差为正态分布时，根据概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限表达式为：(2-37)

式中的t为置信系数，为算术平均值的标准差。通常取t＝3，则(2-38)

实际测量中有时也可取其它t值来表示算术平均值的极限误差。但当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即

(2-39)第一节随机误差取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％式中的为置信系数，它由给定的置信概率和自由度来确定，具体数值见附录3；为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n为测量次数；为n次测量的算术平均值标准差。对于同一测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因此求得的算术平均值极限误差也不同。例2-9

对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值标准差

因测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。已知，取，则由附录表3查得，则有：第一节随机误差式中的为置信系数，它由给定的置信概率和若按正态分布计算，取，相应的置信概率，由附录表1查得t＝2.60，则算术平均值的极限误差为：由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显的差别。七、不等精度测量

①在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。

②对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。

③对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），不第一节随机误差第一节随机误差能套用前面等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。（一）权的概念在等精度测量中，各个测量值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后的测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果地算术平均值作为最后的测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后测量结果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权”，记为，可以理解为当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。（二）权的确定方法测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即。假定同一被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因第一节随机误差能套用前面等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。为单次测量精度皆相同，其标准差均为σ，则各组算术平均值的标准差为：(2-40)

由此得下列等式因为，故上式又可写成(2-41)

或表示为(2-42)

即：每组测量结果的权（）与其相应的标准偏差平方（）成反比，若已知（各组算术平均值的标准差），则可由（2-42）得到相应的大小。测量结果的权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数，允许各组的权数同时增大或减小若干倍，而各组间的比例关系不变，但通常皆将各组的权数予以约简，使其中最小的权数为不可再放简的整数，以便用简单的数值来表示各组的权。例2-10

对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为第一节随机误差为单次测量精度皆相同，其标准差均为σ，则各组算术平均值求各测量结果的权。解：由式(2-42)得因此各组的权可取为（三）加权算术平均值若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果为：，设相应的测量次数为n1,n2,…,nm，即：

(2-43)

根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值应为：第一节随机误差第一节随机误差将式(2-43)代入上式得：或简写为(2-44)

当各组的权相等，即时，加权算术平均值可简化为：(2-45)

由上式求得得结果即为等精度的算术平均值，由此可见等精度测量是不等精度测量得特殊情况。为简化计算，加权算术平均值可表示为：(2-46)

式中的为接近的任选参考值。第一节随机误差将式(2-43)代入上式得：第一节随机例2-11

工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。解：按测量次数来确定权：，选，则有

(四)单位权的概念由式（2-41）知，此式又可表示为

(2-47)

式中为某精度单次测量值的标准差。因此，具有同一方差的等精度单次测量值的权数为1。若已知，只要确定，根据（2-47）式就可求出各组的方差。由于测得值的方差的权数为1在此有特殊用途，故称等于1的权为单位权，而为具有单位权的测得值方差，为具有单位权的测得值标准差。利用单位权化的思想，可以将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来处理。单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。第一节随机误差例2-11工作基准米尺在连续三天内与国家基例如，将不等精确测量的各组测量结果皆乘以自身权数的平方根，此时得到的新值z的权数就为1。证明之：设取方差

以权数字表示上式中的方差，则

由此可知，单位权化以后得到的新值的权数为1，用这种方法可以把不等精度的各组测量结果皆进行了单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。不等精度测量列，经单位权化处理后，就可按等精度测量列来处理。第一节随机误差例如，将不等精确测量的各组测量结果皆乘以自身权（五）加权算术平均值的标准差对同一个被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果为：若已知单位权测得值的标准差σ，则由式（2-40）知

全部（m×n个）测得值的算术平均值的标准差为：比较上面两式可得：(2-48)

因为代入式（2-48）得(2-49)第一节随机误差（五）加权算术平均值的标准差第一节随机误差当各组测得的总权数为已知时，可由任一组的标准差和相应的权，或者由单位权的标准差σ求得加权算术平均值的标准差。当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接用式（2-49），而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。已知各组测量结果的残余误差为：将各组单位权比，则有：上式中各组新值已为等精度测量列的测量结果，相应的残差也成为等精度测量列的残余误差，则可用等精度测量时的Bessel公式推导得到：(2-50)将式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一节随机误差当各组测得的总权数为已知时，可由任一组用式（2-51）可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差，但是只有组数m足够多时，才能得到较为精确的值。一般情况下的组数较少，只能得到近似的估计值。例2-12

求例2-11的加权算术平均值的标准差。解：由加权算术平均值，可得各组测量结果的残余误差为：，又已知

代入式(2-51)得八、随机误差的其他分布正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分布规律。下面介绍几种常见的非正态分布。(一)均匀分布

在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称矩形第一节随机误差用式（2-51）可由各组测量结果的残余误差求得加权算分布或等概率分布。均匀分布的分布密度（图2-5）和分布函数分别为：（2-52）（2-53）它的数学期望为：（2-54）它的方差和标准差分别为：（2-55）（2-56）(二)反正弦分布反正弦分布实际上是一种随机误差的函数分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。反正弦分布的分布密度（图2-6）和分布函数分别为：(2-57)第一节随机误差分布或等概率分布。均匀分布的分布密度（图2-5）和分（2-57）它的数学期望为：（2-58）它的方差和标准差分别为：（2-59）（2-60）（三）三角形分布

当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊（Simpson）分布。实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。三角形分布的分布密度（图2-7）和分布函数分别为：(2-61)第一节随机误差第一节随机误差（2-63）它的数学期望为：（2-64）它的方差和标准差分别为：（2-65）

（2-66）如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等，在此不做一一叙述。（四）分布令为个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量

(2-67)

随机变量称为自由度为的卡埃平方变量。自由度表示上式中项数或第一节随机误差第一节随机误差独立变量的个数。分布的分布密度如图2-8所示。

(2-68)

式中的函数。它的数学期望为：

(2-69)

它的方差和标准差分别为：(2-70)(2-71)

在本书最小二乘法中要用到分布，此外它也是t分布和F分布的基础。由图2-8的两条理论曲线看出，当逐渐增大时，曲线逐渐接近对称。可以证明当足够大时，曲线趋近正态曲线。值得提出的是，在这里称为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。（五）t分布 第一节随机误差独立变量的个数。分布的分布密度第一节随机误差令和是独立的随机变量，具有自由度为的分布函数，具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为(2-72)

随机变量t称自由度为的学生氏t变量。

t分布的分布密度为（图2-9）：

(2-73)

它的数学期望为：(2-74)

它的方差和标准差分别为：(2-75)(2-76)

t分布的数学期望为零，分布曲线对称于纵坐标轴，但它和标准化正态分布密度曲线不同，如图2-9所示。可以证明，当自由度较小时，t分布与正态分布有明显区别，但当自由度时，t分布曲线趋于正态分布曲线。t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。第一节随机误差令和是独立的随机变量，具有自由度为的（六）F分布若具有自由度为的卡埃平方分布函数，具有自由度为的卡埃平方分布函数，定义新的随机变量为(2-77)

随机变量F称为自由度为、的F变量。

F分布的分布密度如图2-10所示。

(2-78)

它的数学期望为：(2-79)

它的方差和标准差分别为：

(2-80)(2-81)

F分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。第一节随机误差（六）F分布第一节随机误差

第二节系统误差

系统误差的产生原因系统误差的特征与分类系统误差的发现方法系统误差的减小和消除方法

第二节系统误差系统误差的产生原因研究系统误差的重要意义第二节系统误差实际上测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差和随机误差同时存在测量数据之中，而且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏使得系统误差比随机误差具有更大的危险性，因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。系统误差是指在确定的测量条件下，某种测量方法和装置，在测量之前就已存在误差，并始终以必然性规律影响测量结果的正确度，如果这种影响显著的话，就要影响测量结果的准确度。研究系统误差的重要意义第二节系统误差实际上测量过程中往一、系统误差产生的原因

系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：

①测量装置方面的因素

②环境方面的因素

③

测量方法的因素

④

测量人员的因素第二节系统误差计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测