【解析】北师大版数学九年级上册同步练习- 第四章 《图形的相似》7.相似三角形的性质

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北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》7.相似三角形的性质

一、选择题

1．（2023·义乌模拟）如果两个相似三角形的周长之比为1：2，那么这两个三角形的面积之比为（）

A．1：B．1：2C．1：4D．1：8

2．（2023·红河模拟）如图，，，，则为（）

A．8B．C．D．10

3．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（）

A．PA+PB+PC+PD的最小值为10

B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC

C．若△PAB△PDA，则PA=2

D．若S1=S2，则S3=S4

4．（2023·成都模拟）若，且，若的周长为，则的周长为（）

A．B．C．D．

5．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．0个

6．（2023九上·三明模拟）如图，，，，则的长为（）

A．B．C．D．

二、填空题

7．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E.若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为.

8．如图，中，，点在上，且，点在上，连接．若，则．

9．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为.

10．（2023九上·慈溪期末）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为.

11．（2023九上·温州期末）如图，点在等边三角形的边上，连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，当时，的值为．

12．（2022九上·杨浦期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么．

三、解答题

13．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.

14．（2022九上·路南期中）如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．

15．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.

16．（2023九上·济阳期中）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

17．（2023九上·澧县期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：2，

∴这两个三角形的面积之比为1∶4.

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方可得答案.

2．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵，DE=5，

那么：

∴DE：BC=3：5

∴

故答案为C。

【分析】相似三角形，对应边成比例；相似三角形面积之比的平方根即为对应边的比例。

3．【答案】C

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；

B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；

C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；

D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.

故答案为：C.

【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.

4．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：，且，相似三角形周长的比等于相似比，

，

的周长=，

故答案为：C.

【分析】相似三角形的周长比等于相似比，据此求解.

5．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：，

若与相似，可分两种情况：

①若，

则，

；

解得.

②若，

则，

，

解得或6.

则满足条件的长为2.8或1或6.

故答案为：C.

【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.

6．【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴或（不符合题意，舍去）

∵，

∴.

故答案为：B.

【分析】由已知条件可得S△ABC：S△ADE=1：4，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.

7．【答案】

【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵与四边形ACED的面积比为4：21，

∴与△BAC的面积比为4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。

8．【答案】

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，

∴，

∴，

∴AF=.

故答案为：.

【分析】直接根据相似三角形的对应边成比例进行计算.

9．【答案】16cm

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，

∵△ABC的周长为12cm

∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.

故答案为：16cm.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.

10．【答案】6或

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：依题意，，

若，则，即，解得：；

若，则，即，解得：，

故答案为：6或.

【分析】由题意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，结合相似三角形的对应边成比例进行计算.

11．【答案】

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：如图，连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，

∵2CD＝3BD，

∴CD＝BD＝3a，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝5a，∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，

∵EF垂直平分AD，

∴DE＝AE＝5ax，FD＝AF，

∵EF＝EF，

∴△DEF≌△AEF（SSS），

∴∠EDF＝∠EAF＝60°，

∴∠BED＝180°∠B∠BDE＝120°∠BDE，∠CDF＝180°∠EDF∠BDE＝120°∠BDE，

∴∠BED＝∠CDF，

∴△BED∽△CDF，

∴

∴

∴FD＝AF＝

∴解得，

∴.

故答案为：.

【分析】连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，则CD＝3a，所以AB＝AC＝BC＝5a，由线段垂直平分线的性质得DE＝AE＝5ax，FD＝AF，再证明△DEF≌△AEF，则∠EDF＝∠EAF＝60°，即可证明△BED∽△CDF，根据相似三角形的对应边成比例求出用含a的代数式表示x的式子，再求出用含a的代数式表示AE、AF的式子，即可求出AEAF的值．

12．【答案】6

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，

∴，

∴BD2=AB·BC=4×9=36，

∴BD=6.

故答案为：6.

【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.

13．【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，

又∵△ADE的面积是1，

∴S四边形

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.

14．【答案】解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，．

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】利用相似三角形的性质计算求解即可。

15．【答案】解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

解得：，

∵四边形是矩形，

∴，

∴.

即的长度为5.

【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质

【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.

16．【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，

当时，，

即，

解得秒；

当时，，

即，

解得秒．

∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，再将数据代入求解即可。

17．【答案】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，

由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，

分两种情况考虑：

当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，

∴，

即

解得：x＝0.8，

当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；

当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，

∴，即，

解得：x＝2，

当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似.

综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似.

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝(8-2x)cm，BQ＝4x，然后分①∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；②∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例就可求出x的值.

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北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》7.相似三角形的性质

一、选择题

1．（2023·义乌模拟）如果两个相似三角形的周长之比为1：2，那么这两个三角形的面积之比为（）

A．1：B．1：2C．1：4D．1：8

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：2，

∴这两个三角形的面积之比为1∶4.

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方可得答案.

2．（2023·红河模拟）如图，，，，则为（）

A．8B．C．D．10

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵，DE=5，

那么：

∴DE：BC=3：5

∴

故答案为C。

【分析】相似三角形，对应边成比例；相似三角形面积之比的平方根即为对应边的比例。

3．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（）

A．PA+PB+PC+PD的最小值为10

B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC

C．若△PAB△PDA，则PA=2

D．若S1=S2，则S3=S4

【答案】C

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；

B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；

C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；

D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.

故答案为：C.

【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.

4．（2023·成都模拟）若，且，若的周长为，则的周长为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：，且，相似三角形周长的比等于相似比，

，

的周长=，

故答案为：C.

【分析】相似三角形的周长比等于相似比，据此求解.

5．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．0个

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：，

若与相似，可分两种情况：

①若，

则，

；

解得.

②若，

则，

，

解得或6.

则满足条件的长为2.8或1或6.

故答案为：C.

【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.

6．（2023九上·三明模拟）如图，，，，则的长为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴或（不符合题意，舍去）

∵，

∴.

故答案为：B.

【分析】由已知条件可得S△ABC：S△ADE=1：4，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.

二、填空题

7．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E.若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为.

【答案】

【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵与四边形ACED的面积比为4：21，

∴与△BAC的面积比为4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。

8．如图，中，，点在上，且，点在上，连接．若，则．

【答案】

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，

∴，

∴，

∴AF=.

故答案为：.

【分析】直接根据相似三角形的对应边成比例进行计算.

9．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为.

【答案】16cm

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，

∵△ABC的周长为12cm

∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.

故答案为：16cm.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.

10．（2023九上·慈溪期末）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为.

【答案】6或

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：依题意，，

若，则，即，解得：；

若，则，即，解得：，

故答案为：6或.

【分析】由题意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，结合相似三角形的对应边成比例进行计算.

11．（2023九上·温州期末）如图，点在等边三角形的边上，连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，当时，的值为．

【答案】

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：如图，连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，

∵2CD＝3BD，

∴CD＝BD＝3a，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝5a，∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，

∵EF垂直平分AD，

∴DE＝AE＝5ax，FD＝AF，

∵EF＝EF，

∴△DEF≌△AEF（SSS），

∴∠EDF＝∠EAF＝60°，

∴∠BED＝180°∠B∠BDE＝120°∠BDE，∠CDF＝180°∠EDF∠BDE＝120°∠BDE，

∴∠BED＝∠CDF，

∴△BED∽△CDF，

∴

∴

∴FD＝AF＝

∴解得，

∴.

故答案为：.

【分析】连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，则CD＝3a，所以AB＝AC＝BC＝5a，由线段垂直平分线的性质得DE＝AE＝5ax，FD＝AF，再证明△DEF≌△AEF，则∠EDF＝∠EAF＝60°，即可证明△BED∽△CDF，根据相似三角形的对应边成比例求出用含a的代数式表示x的式子，再求出用含a的代数式表示AE、AF的式子，即可求出AEAF的值．

12．（2022九上·杨浦期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么．

【答案】6

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，

∴，

∴BD2=AB·BC=4×9=36，

∴BD=6.

故答案为：6.

【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.

三、解答题

13．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.

【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，

又∵△ADE的面积是1，

∴S四边形

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.

14．（2022九上·路南期中）如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．

【答案】解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，．

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】利用相似三角形的性质计算求解即可。

15．（2022九上·温州期中）如