概率论§24-随机变量函数的分布课件

§2.4随机变量函数的分布

在实际应用中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。求截面面积A=

的分布例如，已知圆轴截面直径d的分布，1§2.4随机变量函数的分布在实际应用中，人们常常对方法：将与Y

有关的事件转化成X

的事件问题：设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出Y

的分布？2方法：将与Y有关的事件转化成X的事件问题：设随机变量X求:(1)Y=3X+2的分布律

(2)Y=(X1)2的分布律

例1设离散型随机变量X的分布律为

X

1012

P

0.20.30.10.4

离散型随机变量函数的分布

3求:(1)Y=3X+2的分布律例1设离散型随机变量解:(1)

X分别取值1,0,1,2时

Y相应的取值互不相同:

1,2,5,8

故

P(Y=1)=P(X=-1)=0.2P(Y=2)=P(X=0)=0.3P(Y=5)=P(X=1)=0.1P(Y=8)=P(X=2)=0.4即Y的分布律为:Y

1258P

0.20.30.10.4

4解:(1)X分别取值1,0,1,2时Y相应的取值(2)Y的所有取值:0,1,4

P(Y=0)=P(X=1)=0.1P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7P(Y=4)=P(X=1)=0.2即Y的分布律为:Y

014P0.10.70.25(2)Y的所有取值:0,1,4P(Y=0)=P(X

一般,设离散型随机变量X的分布律为:

P(X=xk)=pk(k=1,2,…)

令

Y=g(X)是一元单值实函数,则Y也是一个离散型随机变量:离散型随机变量函数分布一般求法6一般,设离散型随机变量X的分布即Y=g(X)如果g(xk)中有一些是相同的，那么把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量Y=g(X)的分布律。7即Y=g(X)如果g(xk)中有一些是相同连续型随机变量函数的分布

已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数。方法：I从分布函数出发(分布函数求导法)II从密度函数出发(用公式)8连续型随机变量函数的分布已知随机变量X的密度函数f例2设X～N(0,1),试求Y=eX的概率密度

解:(1)y<0(2)y≥0

FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)FY(y)=P()=0fY(y)=FY(y)=0FY(y)=P(X≤lny)9例2设X～N(0,1),试求Y=eX的概率密度本例用到变限的定积分的求导公式:10本例用到变限的定积分的求导公式:10例3设X为连续型随机变量,其概率密度为fX(x),试求X的线性函数Y=aX+b(a≠0)的概率密度解:(1)

a>0,得:FY(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y)11例3设X为连续型随机变量,其概率密度解:(1)a>0(2)

a<0

令

即12(2)a<0令即12应用：设X~N(,2)，Y=aX+b,则Y~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2)则有13应用：设X~N(,2)，Y=aX+b,方法II（用公式）定理

设X

是一个连续型随机变量，其概率密度为fX(x).若y=g(x)为一严格单调函数，其反函数x=h(y)有连续导数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且概率密度为其中=min{g(),g(+)},=max{g(),g(+)}14方法II（用公式）定理设X是一个连续型随机变量，其概其反函数为x=h(y)=lny.

注：当fX(x)在有限区间[a,b]之外取值为零时,只需假设在[a,b]上g(x)严格单调可导,则上述定理同样成立,此时

=min{g(a),g(b)}

=max{g(a),g(b)}另解例2:y=g(x)=ex

严格单调增且可导,15其反函数为x=h(y)=lny.注：当fX(x则

即

16则即16解I：设Y的分布函数为FY(y)例4设X

~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Y≤y}=P(2X+8≤

y)=P{X

}=FX()于是Y的密度函数17解I：设Y的分布函数为FY(y)例4设X~求Y=所以可得注意到0<x<4

时，

即8<y<16

此时18所以可得注意到0<x<4时，即8<y解II：Y=2X+8严格单调递增且可导

19解II：Y=2X+8严格单调递增且可导19例5设X～N(0,1),求Y=X2的概率密度

解I:y=x2在(,+)内不是单调函数

(1)y≤0

(2)y>0

FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)FY(y)=P(X2≤y)=0fY(y)=020例5设X～N(0,1),求Y=X2的概率密度解I即

21即21解II:

y=x2

在(,0]上严格单调减在(0,+)上严格单调增

反函数反函数(,+)=(,0]∪(0,+)x(,0]时,x(0,+)时,22解II:y=x2在(,0]上严格单调减反函数反函得:

fY(y)

23得:fY(y)23定理若g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单调，其反函数分别为h1(y),h2(y),…均为连续函数，那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为:

fY(y)=fX[h1(y)]|h1(y)|+fX[h2(y)]|h2(y)|+…推广形式24定理若g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单调小结1引进了随机变量的概念，要会用随机变量表示随机事件。2给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数求事件的概率。3给出了离散型随机变量及其分布律的定义、性质