安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质

第12讲二次函数的图象及性质第三单元第12讲二次函数的图象及性质第三单元内容索引010203考点梳理整合安徽真题体验考法互动研析内容索引010203考点梳理整合安徽真题体验考法互动研析安徽真题体验安徽真题体验命题点1

二次函数的图象1.(2020·安徽,10,4分)如图,△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为(

)命题点1二次函数的图象答案

A解析

解法一:如图1所示,当0<x≤2时,过点G作GH⊥BF于H.图1图2答案A图1图2安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质2.(2015·安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为(

)2.(2015·安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二答案

A解析

由于一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象有两个不同的交点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个不同的交点,且都在x轴的正半轴上,故选A.答案A命题点2

二次函数的性质3.(2019·安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.命题点2二次函数的性质解

(1)由题意得,k+4=2,解得k=-2,又∵二次函数顶点为(0,4),∴c=4.把(1,2)代入二次函数表达式得a+c=2,解得a=-2.解(1)由题意得,k+4=2,解得k=-2,命题点3

二次函数表达式的确定4.(2020·安徽,22,12分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A.抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点.(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由;(2)求a,b的值;(3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.命题点3二次函数表达式的确定解

(1)点B在直线y=x+m上,理由如下:将A(1,2)代入y=x+m得2=1+m,解得m=1,∴直线解析式为y=x+1,将B(2,3)代入y=x+1,式子成立,∴点B在直线y=x+m上.(2)∵抛物线y=ax2+bx+1与直线AB都经过(0,1)点,且B,C两点的横坐标相同,∴抛物线只能经过A,C两点,将A,C两点坐标代入y=ax2+bx+1解(1)点B在直线y=x+m上,理由如下:(3)设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-(x-h)2+k,∵顶点在直线y=x+1上,∴k=h+1.(3)设平移后所得抛物线的对应表达式为考点梳理整合考点梳理整合K考点清单考点一

二次函数的概念及表达式(低频考点)

定义:一般地,形如y=ax2+bx+c

(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.

K考点清单考点一二次函数的概念及表达式(低频考点)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象

(a>0)

(a<0)开口方向开口向上开口向下考点二

二次函数图象及其性质(高频考点)

1.二次函数图象及其性质(10年6考)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质2.二次函数图象与系数的关系

字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上

a<0开口向下

bb=0对称轴为y轴

ab>0(b与a同号)对称轴在y轴左

侧

ab<0(b与a异号)对称轴在y轴右

侧

cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点2.二次函数图象与系数的关系字母字母的符号图象的特征aa>考点三

二次函数表达式的确定(高频考点)

1.三种表达式的适用条件及求法确定二次函数表达式通常利用一般式求解.对不同的已知条件,应灵活设出二次函数表达式的形式进行求解.考点三二次函数表达式的确定(高频考点)2.表达式三种形式的适用条件(1)设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.(2)设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.(3)设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.2.表达式三种形式的适用条件3.用待定系数法求二次函数表达式的步骤(1)设二次函数的表达式;(2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;(3)解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.4.三种表达式之间的关系3.用待定系数法求二次函数表达式的步骤考点四

二次函数的平移(低频考点)

由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.y=a(x-h)2+k移动方向(m>0)平移后的解析式简记向左平移m个单位长度y=a(x-h+m)2+k左加向右平移m个单位长度y=a(x-h-m)2+k右减向上平移m个单位长度y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m个单位长度y=a(x-h)2+k-m下减考点四二次函数的平移(低频考点)y=a(x-h)2+k移考点五

二次函数与一元二次方程(低频考点)

二次函数与一元二次方程的转化根的判别式的情况实数根的情况二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0).x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根b2-4ac=0b2-4ac<0抛物线与x轴没有交点,即方程ax2+bx+c=0没有实数根考点五二次函数与一元二次方程(低频考点)二次函数与一元考法互动研析考法互动研析考法1二次函数的图象例1(2020·四川遂宁)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=-1,下列结论不正确的是(

)A.b2>4acB.abc>0C.a-c<0D.am2+bm≥a-b(m为任意实数)考法1二次函数的图象答案

C解析

由图象可得a>0,c>0,Δ=b2-4ac>0,b2>4ac,故A选项不合题意,∵-=-1,∴b=2a>0,∴abc>0,故B选项不合题意;当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,∴-a+c<0,即a-c>0,故C选项符合题意;当x=m时,y=am2+bm+c(m为任意实数),当x=-1时,y有最小值为a-b+c,∴am2+bm+c≥a-b+c,∴am2+bm≥a-b,故D选项不合题意.答案C方法总结

二次函数的图象是一条抛物线,一般来说,确定其顶点、对称轴、开口方向后,就可以画出抛物线的大致形状.画抛物线常用的方法是五点作图法,即作出顶点和关于对称轴对称的另外四个点,可以大致作出抛物线的草图.方法总结二次函数的图象是一条抛物线,一般来说,确定其顶点、对应练1(2020·江苏南京)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是_____________.

对应练1(2020·江苏南京)下列关于二次函数y=-(x-m答案①②④解析

①∵二次函数y=-(x-m)2+m+1(m为常数)与函数y=-x2的二次项系数相同,∴该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同,故结论①正确;②∵在函数y=-(x-m)2+m2+1中,令x=0,则y=-m2+m2+1=1,∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;③∵y=-(x-m)2+m2+1,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;④∵抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.故结论④正确,故答案为①②④.答案①②④对应练2(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是(

)A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x2对应练2(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2答案

C解析

根据题意画出大致图象:当a>0时,x=1为对称轴,|x-1|表示为x到1的距离,由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时,对应的y值也相同,当抛物线上的点到x=1的距离越大时,对应的y值也越大,由此可知A,C正确.当a<0时,x=1为对称轴,|x-1|表示为x到1的距离,由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时,对应的y值也相同,当抛物线上的点到x=1的距离越大时,对应的y值也越小,由此可知B,C正确.综上所述只有C正确.故选C.答案C考法2二次函数的性质例2(2020·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c>1)经过点(2,0),其对称轴是直线x=.有下列结论:①abc>0;②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不相等的实数根;③a<-.其中,正确结论的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3考法2二次函数的性质答案

C解析

∵已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0),对称轴是直线x=,∴抛物线经过点(-1,0).当x=-1时,0=a-b+c,∴c=-2a;当x=2时,0=4a+2b+c,∴a+b=0,∴ab<0,∵c>1,∴abc<0,故①是错误的;∵a≠0,∴b2-4ac=a2-4a(-2a)=a2+8a2=9a2>0,∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,故②正确;∵c>1,c=-2a>1,∴a<-,故③正确.故选C.答案C方法总结

抛物线在直角坐标系中的位置由a,b,c的符号确定.抛物线开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a>0,当开口向下时,a<0;图象与y轴的交点决定c的符号,交于y轴正半轴c>0,交于y轴负半轴c<0,交于原点c=0;抛物线的对称轴和a的符号共同决定b的符号,抛物线的对称轴在y轴左侧,-<0,抛物线的对称轴在y轴右侧,->0;当x=1时,二次函数的函数值为y=a+b+c;函数的图象在x轴上方时,y>0,函数的图象在x轴下方时,y<0;当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个不同的交点,当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有1个交点,当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.方法总结抛物线在直角坐标系中的位置由a,b,c的符号确定.对应练3(2020·四川成都)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(

)A.图象的对称轴在y轴的右侧

B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)

D.y的最小值为-9答案

D解析

对称轴为直线x=-1在y轴的左侧,故A选项错误;图象与y轴的交点为(0,-8),故选项B错误;x2+2x-8=0的解为x1=2,x2=-4,∴y=x2+2x-8与x轴交点坐标为(2,0)和(-4,0),故选项C错误;配方可得y=(x+1)2-9,所以y的最小值为-9.对应练3(2020·四川成都)关于二次函数y=x2+2x-8对应练4(2020·浙江杭州)设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,(

)A.若h=4,则a<0 B.若h=5,则a>0C.若h=6,则a<0 D.若h=7,则a>0对应练4(2020·浙江杭州)设函数y=a(x-h)2+k(答案

C答案C考法3二次函数表达式的确定例3(2020·贵州安顺)2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(单位:人)与时间x(单位:分钟)的变化情况,数据如下表:(表中9~15表示9<x≤15)时间x/分钟01234567899~15人数y/人0170320450560650720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多少时间?(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?考法3二次函数表达式的确定时间x/分钟01234567899解

(1)由表格中数据的变化趋势可知,①当0≤x≤9时,y是x的二次函数,∵当x=0时,y=0,∴二次函数的表达式可设为y=ax2+bx,∴二次函数表达式为y=-10x2+180x;②当9<x≤15时,y=810.∴y与x之间的函数关系式为:解(1)由表格中数据的变化趋势可知,(2)设第x分钟时的排队人数为w人,由题意可得:①当0≤x≤9时,w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490;∴当x=7时,w的最大值=490;②当9<x≤15时,w=810-40x,w随x的增大而减小,∴210≤w<450,∴排队人数最多时有490人.要全部考生都完成体温检测,根据题意得810-40x=0,解得x=20.25.答:排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.(2)设第x分钟时的排队人数为w人,方法总结

求二次函数的表达式,通常分三种情况:①一般式:y=ax2+bx+c,常用于已知图象上的三个点的坐标或者三对对应值求表达式;②顶点式:y=a(x-h)2+k,常用于已知抛物线的顶点求表达式;③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),常用于已知抛物线与x轴两个交点的横坐标时使用.方法总结求二次函数的表达式,通常分三种情况:①一般式:y=对应练5(2020·上海)在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+5与x轴,y轴分别交于点A,B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.(1)求线段AB的长;(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=,求这条抛物线的表达式;(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.对应练5(2020·上海)安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质对应练6(2020·山东泰安)若一次函数y=-3x-3的图象与x轴,y轴分别交于A,C,两点,点B的坐标为(3,0),二次函数y=ax2+bx+c的图象过A,B,C三点,如图(1).(1)求二次函数的表达式;(2)如图(1),过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧),若BC恰好平分∠DBE.求直线BE的表达式;(3)如图(2),若点P在抛物线上(点P在y轴右侧),连接AP交BC于点F,连接BP,S△BFP=mS△BAF.①当m=时,求点P的坐标;②求m的最大值.图(1)

图(2)

对应练6(2020·山东泰安)若一次函数y=-3x-3的图象解

(1)令-3x-3=0,得x=-1.令x=0时,y=-3.∴A(-1,0),C(0,-3).∵抛物线过点C(0,-3),∴c=-3.则y=ax2+bx-3,将A(-1,0),B(3,0)代入∴二次函数表达式为y=x2-2x-3.解(1)令-3x-3=0,得x=-1.令x=0时,y=-3(2)设BE交OC于点M.∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC,∠OBC=∠OCB=45°.∵CD∥AB,∴∠BCD=45°.∴∠OCB=∠BCD.∵BC平分∠DBE,∴∠EBC=∠DBC.又∵BC=BC,∴△MBC≌△DBC(ASA).∴CM=CD.由条件得D(2,-3).∴CD=CM=2.∴OM=3-2=1.∴M(0,-1).∵B(3,0),∴直线BE的表达式为y=x-1.图(1)(2)设BE交OC于点M.图(1)过点P作PN∥AB交BC于点N,则△ABF∽△PNF.∴AB=2NP.∵AB=4,∴NP=2.∵直线BC的表达式为y=x-3,设P(t,t2-2t-3),∴t2-2t-3=xN-3.∴xN=t2-2t.∴PN=t-(t2-2t),则t-(t2-2t)=2,解得t1=2,t2=1.∴点P(2,-3)或P(1,-4).图(2)过点P作PN∥AB交BC于点N,则△ABF∽△PNF.∴AB考法4二次函数存在性问题例4(2020·山东枣庄)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.(1)求抛物线的表达式;(2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.考法4二次函数存在性问题安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质(2)由抛物线的表达式知,点C(0,4),由点B,C的坐标得,直线BC的表达式为y=-x+4.(2)由抛物线的表达式知,点C(0,4),安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质②当AC=AQ时,则AQ=AC=5.在Rt△AMQ中,由勾股定理得[m-(-3)]2+(-m+4)2=25,解得m=1或0(舍去0),故点Q(1,3);②当AC=AQ时,则AQ=AC=5.对应练7(2020·四川宜宾)如图,已知二次函数图象的顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图象上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M,N两点(1)求二次函数的表达式;(2)P为平面内一点,当△PMN时等边三角形时,求点P的坐标;(3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和点N,且与直线y=-1相切,若存在,求出点E的坐标,并求☉E的半径;若不存在,说明理由.对应练7(2020·四川宜宾)(1)求二次函数的表达式;安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质对应练8(2020·新疆建设兵团)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O逆时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A'MN.设点P的纵坐标为m.①当△A'MN在△OAB内部时,求m的取值范围;②是否存在点P,使S△A'MN=S△OA'B,若存在,求出满足m的值;若不存在,请说明理由.对应练8(2020·新疆建设兵团)(1)求抛物线的解析式;解

(1)如图,作AD⊥y轴于点D,作BE⊥x轴于点E,∴∠ADO=∠BEO=90°.∵将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,∴OA=OB,∠AOB=90°.∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,∴∠AOD=∠BOE,∴△AOD≌△BOE(AAS),∴AD=BE,OD=OE.∵顶点A为(1,3),∴AD=BE=1,OD=OE=3,∴点B的坐标为(3,-1).设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3(a≠0),把点B代入,得a(3-1)2+3=-1,∴a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3,即y=-x2+2x+2.解(1)如图,作AD⊥y轴于点D,作BE⊥x轴于点E,(2)①∵P是线段AC上一动点,∴m<3,∵△A'MN在△OAB内部,当点A'恰好与点C重合时,如图.(2)①∵P是线段AC上一动点,∴m<3,②当点M在线段OA上,点N在AB上时,如图.∵点P在线段AC上,则点P为(1,m),∵点A'与点A关于MN对称,则点A'的坐标为(1,2m-3),设直线OA为y=ax,直线AB为y=kx+b,分别把点A,点B代入计算,得直线OA为y=3x;直线AB为y=-2x+5.又y=m,②当点M在线段OA上,点N在AB上时,如图.安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质安徽省2021年中考数学一轮考点复习课件-第12讲-二次函数的图象及性质考法5二次函数的平移例5(2020·浙江宁波)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的