2022-2023学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.要使二次根式有意义，则的取值范围是()

A.B.C.D.

2.为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮活动，六名选手投中篮备的个数分别为，，，，，，则这组数据的众数是()

A.B.C.D.

3.下列图形中，可以表示是的函数的是()

A.B.C.D.

4.如图，在中，平分交于点，，，则的长度为()

A.B.C.D.

5.如图，两条宽为的纸带交叉叠放，则重叠部分的面积()

A.有最小值

B.有最大值

C.有最小值

D.有最大值

6.爷爷饭后出去散步，从家里出发分钟后到一个离家米的街心花园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家里下面图形中表示爷爷离家的距离米与离家时间分之间函数关系的是()

A.B.

C.D.

7.如图，在矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，且若，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.如图，函数和的图象分别是和设点在上，轴交于点，轴交于点，则的面积为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.计算：______．

10.在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是______．

11.如图是甲、乙两名同学的次射击训练成绩的折线统计图，他们的平均成绩相同，若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选______．

12.如图，菱形的周长为，对角线和相交于点若：：，则菱形的面积为______．

13.如图，四边形是边长为的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为______．

14.如图，已知，，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，将线段绕着点顺时针旋转，点落在点处，连接，，若为等腰三角形，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

计算：

；

．

16.本小题分

如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形．

17.本小题分

图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．

在图中，点、均在格点上，画出一个直角三角形，要求、两边均是无理数．

在图中画出一个面积为的正方形．

18.本小题分

已知一次函数与反比例函数相交于、两点，且点坐标为，点的横坐标为．

求反比例函数和一次函数的解析式．

根据图象直接写出使得时的取值范围．

19.本小题分

如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，连结交于点，过点作于点．

求证：四边形是菱形．

若，，求的长．

20.本小题分

某教育局为了解初中毕业年级学生的体质情况，从某校九年级学生中随机抽取的学生进行体质监测根据中学生体质健康标准规定学生体质健康等级标准：分及以上为优秀；分分为良好；分分为及格；分以下为不及格，将测试成绩制成如下图表．

各等级学生频率分布表

成绩频数频率

优秀

良好

及格

不及格

请根据图表信息回答下列问题：

表格中的______，______．

已知“分分”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，，则所抽取的这些学生体质监测成绩的中位数是______．

求参加本次体质监测的学生的平均成绩．

请估计该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数．

21.本小题分

甲骑自行车匀速由地驶向地执行任务，乙骑摩托车匀速由地驶向地取文件后立即按原速原路返回取文件的时间忽略不计，甲、乙行驶过程中离地的距离与甲行驶时间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：

甲、乙两人中，______填“甲”或“乙”出发时间早，早______小时．

求乙从地驶向地时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

乙从地返回地时，请先画出其函数图象并求乙与甲相遇时的值．

22.本小题分

综合与实践

【操作感知】如图，在矩形纸片的边上取一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连结、，则的大小为______度

【迁移探究】如图，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点，连结．

判断与的关系并证明．

若正方形的边长为，点为中点，则的长为______．

23.本小题分

在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，函数的图象与边相交于点点不与点重合，与边相交于点．

如图，若点的坐标为，为中点，求的值和点的坐标．

如图，连结，过点作，垂足为若，时，设长为，长为，求与的函数关系式．

24.本小题分

在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图为点、的“相关矩形”示意图若点，点．

当时，在图中画出点、的“相关矩形”并求它的周长．

若点、的“相关矩形”为正方形，求的值．

已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，若在线段上存在一点，使得点、的“相关矩形”是正方形．

点的坐标为______，点的坐标为______．

直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：二次根式有意义，

，

解得：，

故选：．

利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案．

本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点．

2.【答案】

【解析】解：，，，，，，这组数据中，出现了次，出现的次数最多，

这组数据的众数为，

故选：．

根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．

本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：由函数的定义，可知选项中，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，符合函数定义，

故选：．

根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．

本题考查函数的定义，理解函数的定义，再结合函数图象解题是关键．

4.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，

，

平分交于点，

，

，

，

，

故选：．

由四边形是平行四边形，得，，，所以，而，则，所以，则，于是得到问题的答案．

此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：过点作于点，于点，

根据题意得：，，，

四边形是平行四边形，

，

，

在与中，

，

≌，

，

四边形是菱形，

，

，

当时，重叠部分的面积有最小值是，

故选：．

首先过点作于点，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形，则可求得答案．

此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

6.【答案】

【解析】解：依题意，分钟散步，离家路程增加到米，

分钟朋友聊天，离家路程不变，

分钟返回家，离家路程减少为米．

故选：．

爷爷散步的时间段看，分为分钟散步，分钟朋友聊天，分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段．

此题主要考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

7.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，

．

，

在中，，

，

，

，

故选：．

由矩形的性质可得，，由勾股定理可求的长，即可求解．

本题考查了矩形的性质，勾股定理，由勾股定理求出的长是解决问题的关键．

8.【答案】

【解析】解：如图，延长、分别交轴，轴于点、，连接、，

设点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，

，

点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为，

点的横坐标为，

即，

，

，

故选：．

根据反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，用含有的代数式表示、，再利用三角形面积公式进行计算即可．

本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征用含有的代数式表示出、是解决问题的关键．

9.【答案】

【解析】解：原式

，

故答案为：．

根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再进行二次根式的化简．

本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记．

10.【答案】

【解析】解：点在第四象限，

，

解得：，

故答案为：．

根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征可得，然后进行计算即可解答．

本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．

11.【答案】乙

【解析】解：由图象看作，乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲．

所以乙的成绩比甲稳定，

所以若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选乙．

故答案为：乙．

根据图形波动的大小可直接得出答案．

本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

12.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，

，，

：：；

菱形的周长为，

，

：：，

，，

，，

菱形的面积，

故答案为：．

由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为：：，所以：：，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．

本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半．

13.【答案】

【解析】解：是等边三角形，

点在的垂直平分线上，

点到的距离为，

，

，

，

的面积为，

故答案为：．

的面积为，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答．

本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键．

14.【答案】

【解析】解：作于，轴于，

，，

轴，，

为等腰三角形，

，

，

点的纵坐标为，即，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

代入得，，

解得，

故答案为：．

作于，轴于，由等腰三角形的性质即可求得的纵坐标，然后通过证得≌求得，得到，代入解析式即可求得的值．

本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形变化旋转，三角形全等的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，求得点的纵坐标是解题的关键．

15.【答案】解：原式；

原式

．

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；

直接利用二次根式的性质以及分母有理化分别计算，进而得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

16.【答案】证明：在中，，，

、分别是、的中点，

，，

四边形是平行四边形．

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形．

本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

17.【答案】解：如下图：

如图，，即为所求；

如图，正方形即为所．

【解析】根据勾股定理的性质和直角三角形的判定定理作图；

根据勾股定理的性质及正方形的面积公式作图．

本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理、直角三角形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键．

18.【答案】将点代入，

解得：．

反比例函数解析式为．

点的横坐标为，

点坐标．

把，代入得：

，

解得：，

一次函数的解析式为；

由图象可知时，或．

【解析】根据待定系数法即可解决问题．

观察图象时，的图象在的下面，由此即可写出的取值范围．

本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，学会待定系数法是解决问题的关键，学会观察图象由函数值的大小确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，

，

四边形为平行四边形，

平分，

，

，

，

，

，

四边形是菱形；

解：四边形为菱形，

，，，

在中，由勾股定理得：，

，

，

．

【解析】证四边形为平行四边形，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；

由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由三角形面积即可得出结论．

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：抽取的学生总人数为人，

，

．

故答案为：，；

将九年级学生测试成绩为“分分”这组的数据重新排列为，，，，，，，，，，，，

不及格和及格段的学生一共有人，优秀的学生有人，

所抽取的名学生测试成绩中间的两个数分别是是分和分，

所抽取的名学生测试成绩的中位数应该是分，

故答案为：；

．

答：参加本次体质监测的学生的平均成绩为．

人．

答：该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数约为人．

根据不及格的人数及其对应频率可得抽取的学生总人数，根据各组频数之和等于数据总数可得的值，根据各组频率之和等于可得的值；

根据中位数的意义进行解答即可；

根据平均数公式计算即可；

用样本中成绩为未达到“良好”等级及以上的学生数除以即可．

本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数的意义是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法．

21.【答案】甲

【解析】解：由图象可知，甲、乙两人中甲出发时间早，早小时，

故答案为：甲，；

设乙从地驶向地时与之间的函数关系式为，

将、代入，得

解得

乙从地驶向地时与之间的函数关系式为；

画出函数图象如图：

甲从地驶向地时的速度为，

，

解得．

答：乙从地返回地时，与甲相遇时的值为．

由图象直接得出结论；

用待定系数法求函数解析式即可；

根据相遇时两人的路程之和为列出方程，解方程即可．

本题考查一次函数的应用，根据题意明确图象中得信息是解题关键．

22.【答案】

【解析】解：【操作感知】：由折叠知，，，，

，

，

，

，

故答案为：；

【迁移探究】判断：≌，

证明：正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，

，

在和中，

，

≌，

即≌；

设的长为，

正方形的边长为，点为中点，

，，，

在中，，

即，

解得，

故答案为：．

操作感知：根据折叠求出，即可得出结论；

迁移探究：根据证≌即可；

设的长为，则，，利用勾股定理求出的值即可