2023年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版) 用函数观点看一元二次方程【10种题型】（答案版）

用函数观点看一元二次方程（答案版）二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于两点且此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时方程没有实根.题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标1.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣20）（50）则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（）A．x1＝﹣2x2＝5 B．x1＝2x2＝﹣5C．x1＝﹣2x2＝﹣5 D．x1＝2x2＝5【答案】A【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣20）（50）即自变量为﹣2和5时函数值为0∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2x2＝5故答案为：A．

【分析】根据一元二次方程与抛物线的的关系可得：抛物线与x轴的交点的横坐标即可得到方程的解。【变式1-1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示对称轴为直线x=-1与x轴的一个交点为(1, 0)A．x=1 B．C．x1=1x2=-3 D．【答案】C【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1与x轴的一个交点为（10）∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣30）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1x2=﹣3．故答案为：C．【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标从而可得到方程的解．【变式1-2】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（-20）（50）A．x1=-2,x2C．x1=-2,x2【答案】A【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c与x∴ax2+bx+c=0（故答案为：A．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c题型2：判断抛物线与x轴交点情况2.小明在解二次函数y=ax2+bx+c时只抄对了a=1b=4求得图象过点(-1,0)．他核对时发现所抄的c比原来的cA．只有一个交点 B．有两个交点C．没有交点 D．不确定【答案】B【解析】【解答】解：∵小明在解二次函数y=ax2+bx+c时只抄对了a=1b=4求得图象过点(-1,0)∴（-1）2-4+c=0解得：c=3故原方程中c=1则b2-4ac=16-4×1×1=12＞0则原方程的根的情况是有两个不相等的实数根即抛物线与x轴有两个交点．故答案为：B．【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值再解方程求出答案．【变式2-1】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断下确的是（）A．没有交点B．只有一个交点且它位于y轴右侧C．有两个交点且它们均位于y轴左侧D．有两个交点且它们均位于y轴右侧【答案】D【解析】【解答】解：当y＝0时ax2－2ax+1＝0∵a＞1∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根则抛物线与x轴有两个交点∵x＝2a±4∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧故答案为：D【分析】计算b2-4ac的值可判断的图象与x轴交点的个数；再根据x=-b【变式2-2】抛物线y=-x2+2kx+2A．0 B．1 C．2 D．以上都不对【答案】C【解析】【解答】因为△=b2-4ac=4k2+8＞0所以抛物线y=-x2【分析】用k表示出对应一元二次方程的判别式发现该判别式恒大于0所以所给二次函数与x轴有两个交点.题型3：根据抛物线与x轴的交点个数求参数3.二次函数与y=(m-2)x2+2x+1的图象与xA．m⩽3 BC．m<3且m≠2 D．m⩽3【答案】D【解析】【解答】解：根据题意得m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0解得m≤3且m≠2．故答案为：D．

【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的定义得出m-2≠0且△=22-4（m-2）≥0求出m的取值范围即可.【变式3-1】抛物线y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点则k的取值范围是()A．k>－ B．k≥－且k≠0C．k≥－ D．k>－且k≠0【答案】B【解析】【解答】解：因为y=kx2-7x-7为抛物线所以k≠0；

因为

y=kx2-7x-7和图像有交点

所以b2-4ac≥0

即(-7)2-4k·(-7)≥0

所以k≥-74。

综上k≥-74且k≠0。

故答案为：【分析】根据y=kx2-7x-7为抛物线首先确定k≠0；因为抛物线和x轴有交点所以抛物线根的判别式大于等于0即可得出k的取值范围。【变式3-2】已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有两个交点A．k<4且k≠3 B．k≤4 C．k>4 【答案】A【解析】【解答】解：∵函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点∴令y=0则（k-3）x2+2x+1=0则△=4-4（k-3）＞0且k-3≠0解得k＜4且k≠3.故答案为：A.

【分析】根据二次函数的定义和抛物线与x轴有两个交点可得关于k的不等式：k-3≠0b2-4ac＞0即4-4（k-3）＞0解不等式即可求解。题型4：二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系4.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标可以求出下列方程中哪个方程的近似解()A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0【答案】A【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标令y=0x2＋3x－1=0解出x写出坐标即可一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标可以求出x2＋3x－1=0的近似解故答案为：A.【分析】根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标就是求x2＋3x－1=0的根即可解答此题。【变式4-1】若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10且4a＋b＝0则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（）A．x1＝﹣7x2＝3 B．x1＝﹣6x2＝4C．x1＝6x2＝﹣4 D．x1＝7x2＝﹣3【答案】D【解析】【解答】解：∵4a＋b由题意可得：抛物线的对称轴为x=-抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10∴交点坐标分别为(70)根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1=7故答案为：D

【分析】函数的对称轴为x=-b2a=2结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10【变式4-2】已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(10)则关于x的一元二次方程x2-3xA．x1＝1x2＝－1 B．x1＝1x2＝2C．x1＝1x2＝0 D．x1＝1x2＝3【答案】B【解析】【解答】∵二次函数y＝x2-3x+m∴12-3+m=0⇒m故答案为：B．

【分析】根据二次函数y＝x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(10)即可得出题型5：根据二次函数值求自变量x的取值范围5.根据下列表格中的对应值：x1.981.992.002.01y-0.06-0.05-0.030.01判断方程ax2+bx+c=0（aA．1.00<x<1.98 BC．1.99<x<2.00 D【答案】D【解析】【解答】解：由表格可知在1.98≤x≤2.01内y随x的增大而增大∵当x=2.00时y当x=2.01时y∴在2.00<x<2.01内必有一个x的值对应的函数值∴方程ax2+bx+c=0（a≠0故答案为：D.【分析】由表格中的数据可知当x=2.00时y=-0.03<0当x=2.01时y=0.01>0函数值由负数变成正数从而得出在2.00<【变式5-1】在二次函数y＝ax2+bx+c中函数y与自变量x的部分对应值如表则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…11.11.21.31.4…y…-1-0.490.040.591.16…A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4【答案】B【解析】【解答】解：当y=0时-0.49＜y＜0.04

∴1.1＜x＜1.2.

故答案为：B.

【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是二次函数当y=0时自变量的x的值根据表格得出-0.49和0.04更接近于0即可得出x的取值范围为1.1＜x＜1.2.【变式5-2】已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示若y＜0则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3【答案】B【解析】【解答】解：因为抛物线的对称轴x=1与x轴的一个交点（﹣10）；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点为（30）因为抛物线开口向上当y＜0时﹣1＜x＜3．故选B．【分析】根据图象已知抛物线的对称轴x=1与x轴的一个交点（﹣10）可求另一交点观察图象得出y＜0时x的取值范围．题型6：二次函数与一次函数交点情况6.直线y=32x-1与抛物线y=xA．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【答案】B【解析】【解答】解：∵y=32x-1y=x2-12x

∴32x-【分析】将两函数联立方程组整理可得出x2-2x+1=0再求出b2-4ac=0就可得出两函数图象的交点只有1个。【变式6-1】已知：抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.（1）“此抛物线与x轴必有两个不同的交点”请问这个结论正确吗(请填“正确”或“不正确”）；

（2）若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上则m=【解答】解：（1）△=（2m-1）2-4（m2-m）=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0

∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）∵抛物线与y轴交点为（0m2-m）直线与y轴交点为（0-3m+4）

∴m2-m=-3m+4m=-1±题型7：二次函数与一次函数值大小比较（不等式）7.如图抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x当A．0<x<2 B．x<0C．x<0或x>4 D【答案】B【解析】【解答】解：联立y=-x解得x1=0y1∴两函数图象交点坐标为(0,0)(2,4)由图可知y1<y2时x的取值范围是x<0故答案为：B．【分析】联立两函数解析式求出交点坐标再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【变式7-1】如图抛物线y1=x2+mx+n与直线y2=x﹣1交于点A（a﹣2）和B（b2）．（1）求ab的值；（2）观察图象直接写出当y1＜y2时x的取值范围．【答案】解：（1）由﹣2=a﹣1得a=﹣1由2=b﹣1得b=3；（2）由图可知y1＜y2时x的取值范围﹣1＜x＜3．【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入直线解析式求解即可；（2）根据函数图象写出抛物线在直线的下方部分的x的取值范围即可．【变式7-2】如图二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C点B在抛物线上且与点C关于抛物线的对称轴对称已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣10）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【解题思路】（1）将点A（﹣10）代入解析式求出m求出点C坐标根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．（2）根据图象交点坐标求解．【解答过程】解：（1）将（﹣10）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m解得m＝﹣1∴y＝（x+2）2﹣1当x＝0时y＝3∴点C坐标为（03）∵点B与点C关于轴对称对称轴为直线x＝﹣2∴点B坐标为（﹣43）．（2）∵点A坐标为（﹣10）点B坐标（﹣43）由图象可知（x+2）2+m≥kx+b时x≤﹣4或x≥﹣1．题型8：综合-二次函数中周长最值问题8.已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于AB两点其中A点坐标为（﹣30）与y轴交于点C点D（﹣2﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P求△PAD周长的最小值．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）连接BD△PAD周长的最小值为AD+BD．【解答】解：（1）将（﹣30）（﹣2﹣3）代入y＝x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵y＝x2+2x﹣3∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1连接BD交对称轴于点P∵点A坐标为（﹣30）抛物线对称轴为直线x＝﹣1∴点B坐标为（10）∴BD＝＝3又∵AD＝＝∴△PAD周长的最小值为3+．【点评】本题考查二次函数与图形的结合解题关键是掌握待定系数法求函数解析式掌握轴对称求最短路线问题．【变式8-1】如图抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点与y轴交于C点OA＝2OC＝6连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式不写过程）（2）点D在抛物线的对称轴上当△ACD的周长最小时点D的坐标为（﹣5）．【分析】（1）由OA＝2OC＝6得到A（﹣20）C（0﹣6）用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）先确定BC交对称轴于点D由两点之间线段最短可知此时AD+CD有最小值而AC的长度是定值故此时△ACD的周长取最小值求出直线BC的解析式再求出其与对称轴的交点即可．【解答】解：（1）∵OA＝2OC＝6∴A（﹣20）C（0﹣6）将A（﹣20）C（0﹣6）代入y＝x2+bx+c得解得：b＝﹣1c＝﹣6∴抛物线得解析式为：y＝x2﹣x﹣6．（2）在y＝x2﹣x﹣6中对称轴为直线x＝∵点A与点B关于对称轴x＝对称∴如图1可设BC交对称轴于点D由两点之间线段最短可知此时AD+CD有最小值而AC的长度是定值故此时△ACD的周长取最小值在y＝x2﹣x﹣6中当y＝0时x1＝﹣2x2＝3∴点B的坐标为（30）设直线BC的解析式为y＝kx﹣6将点B（30）代入得k＝2∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6当x＝时y＝﹣5∴点D的坐标为（﹣5）；故答案为：（﹣5）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式二次函数的图象及性质轴对称的性质等解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．【变式8-2】如图已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（20）、B（0﹣6）两点其对称轴与x轴交于点C．（1）求该抛物线和直线BC的解析式；（2）设抛物线与直线BC相交于点D求△ABD的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△QAB的周长最小？若存在求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在请说明理由．【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式从而得出点C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式．（2）求出点D的坐标然后根据S△ABD＝S△ACD+S△ABC进行计算即可得出答案．（3）AB长度固定只需满足QA+QB最小即可找点A关于对称轴的对称点A'连接A'B则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置求出其坐标即可．【解答】解：（1）将A（20）、B（0﹣6）代入抛物线解析式得：解得：故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣6其对称轴为：x＝4故点C的坐标为（40）设直线BC的解析式为y＝kx+b将点B、点C的坐标代入可得：解得：故直线BC的解析式为y＝x﹣6；（2）联立直线BC与抛物线的解析式：解得：或故点D的坐标为（5）则S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝AC×D纵+AC×|B纵|＝．（3）存在点Q使得△QAB的周长最小；点A关于抛物线对称轴的对称点为A'连接A'B则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：A'坐标为（60）B（0﹣6）设直线A'B的解析式为：y＝mx+n代入两点坐标可得：解得：即直线A'B的解析式为y＝x﹣6故点Q的坐标为（4﹣2）．△QAB周长的最小值为+＝2+6．即存在点Q的坐标（4﹣2）时使得△QAB的周长最小最小值为2+6．【点评】本题考查了二次函数综合题涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积及利用轴对称求最短路径的问题解答第二问需要我们将要求图形的面积分割第三问的关键是利用轴对称的性质得出点Q的位置难度较大．题型9：综合-二次函数中线段最值与面积最值问题9.如图二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（40）另一个交点为B且与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上是否存在点D使△ABD与△ABC的面积相等？若存在请求出D点的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）把A点代入＝x2﹣3x+c中求出c的值从而得到抛物线解析式；（2）先解方程x2﹣3x﹣4＝0得到B（﹣10）再确定C（0﹣4）然后利用三角形面积公式计算；（3）设D（tt2﹣3t﹣4）根据三角形面积公式得到×5×|t2﹣3t﹣4|＝10然后解方程得到D点坐标．【解答】解：（1）把A（40）代入y＝x2﹣3x+c得16﹣12+c＝0解得c＝﹣4∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当y＝0时x2﹣3x﹣4＝0解得x1＝﹣1x2＝4∴B（﹣10）当x＝0时y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4∴C（0﹣4）∴△ABC的面积＝×（4+1）×4＝10；（3）存在．设D（tt2﹣3t﹣4）∵△ABD与△ABC的面积相等∴×5×|t2﹣3t﹣4|＝10即|t2﹣3t﹣4|＝4解方程t2﹣3t﹣4＝4得t1＝t2＝此时D点坐标为（4）或（4）；解方程t2﹣3t﹣4＝﹣4得t1＝0t2＝3此时D点坐标为（3﹣4）；综上所述D点坐标为（4）或（4）或（3﹣4）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（abc是常数a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式9-1】如图抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于AB两点与y轴交于C（03）直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点连接PAPD求△PAD的面积的最大值．【分析】（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A可求出点A的坐标将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标过点P作PE∥y轴交AD于E设P（t﹣t2+2t+3）则E（t﹣t﹣1）表示PE的长根据三角形面积公式可得△APD的面积配方后可得结论．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A∴令y＝0则0＝﹣x﹣1∴x＝﹣1∴A（﹣10）将A（﹣10）C（03）代入y＝ax2+2x+c得：解得：∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1解得：x1＝﹣1x2＝4∴D（4﹣5）过点P作PE∥y轴交AD于E设P（t﹣t2+2t+3）则E（t﹣t﹣1）∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4∴△PAD的面积＝•PE•（4+1）＝（﹣t2+3t+4）＝﹣（t﹣）2+当t＝时△PAD的面积最大且最大值是．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质待定系数法求二次函数的解析式三角形的面积以及面积的最值等知识解题关键是会利用配方法确定三角形面积的最大值．【变式9-2】如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣20）、B（60）两点与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点与y轴交于点E点D的坐标为（43）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方连接PA、PD求△PAD面积最大值；（3）由（2）并求出点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m﹣m2+m+3）则K（mm+1）．因为S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK所以PK的值最大值时△PAD的面积最大求出PK的最大值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣20）、B（60）两点∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）∵D（43）在抛物线上∴3＝a（4+2）×（4﹣6）解得a＝﹣∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）即y＝﹣x2+x+3∵直线l经过A（﹣20）、D（43）设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0）则解得∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图1中过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m﹣m2+m+3）则K（mm+1）．∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK∴PK的值最大值时△PAD的面积最大∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+∵﹣＜0∴m＝1时PK的值最大最大值为此时△PAD的面积的最大值为；（3）由（2）可知m＝1时△PAD面积最大∵P（m﹣m2+m+3）∴P（1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式一次函数和二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质等知识解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题属于中考压轴题．题型10：综合-二次函数中面积倍数关系问题10.如图在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣20）、B（30）与y轴交于点C（0﹣3）点P是二次函数图象上的一点．（1）求二次函数和直线BC的解析式．（2）若点P在直线BC的下方当△PBC的面积最大时求点P的坐标．（3）当S△PBC＝S△ABC时求点P的横坐标．【分析】（1）把ABC三点坐标代入函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）作PD⊥x轴交BC于点DPE⊥y轴延长EP与过点B的x轴垂线交于F设P点坐标为（m）则点D坐标为（mm﹣3）然后根据S△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD•OB＝﹣（m﹣）2+求出△PBC的面积最大时m的值从而求出点P的坐标；（3）根据（2）先求出S△ABC＝再根据S△PBC＝S△ABC列出方程求出m的值即可．【解答】解：（1）把点A（﹣20）B（30）C（0﹣3）代入二次函数解析式则解得：∴二次函数的解析式为y＝﹣x﹣3；设直线BC的解析式为y＝kx+d则解得：∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图作PD⊥x轴交BC于点DPE⊥y轴延长EP与过点B的x轴垂线交于F设P点坐标为（m）则点D坐标为（mm﹣3）∴PD＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+mS△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD•PE+PD•PF＝PD•EF＝PD•OB∴S△PBC＝（﹣m2+m）×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时S△PBC取最大值此时P点坐标为（﹣）；（3）∵S△ABC＝AB•OC＝×5×3＝∴S△PBC＝S△ABC＝×＝设P（mm2﹣m﹣3）由（2）知PQ＝|﹣m2+m|S△PBC＝（xB﹣xC）PQ＝×|﹣m2+m|∴×|﹣m2+m|＝即|m2﹣3m|＝2当m2﹣3m＝2时解得m＝；当m2﹣3m＝﹣2时解得：m＝1或m＝2∴点P的横坐标为或或1或2．【点评】考查了抛物线与x轴的交点待定系数法求函数解析式三角形面积解题的关键是将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．【变式10-1】如图抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B．与y轴交于点COB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接BC点D是线段BC上方抛物线上的一点连接ODCDOD交BC于点E是否存在点D使S△COE：S△CDE＝3：2若存在请直接写出点D的坐标若不存在请说明理由．【分析】（1）c＝3点B（30）将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1即可求解；（2）S△COE：S△CDE＝3：2则OE：ED＝3：2DH∥CO故CO：DM＝3：2则DM＝CO＝2而DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2即可求解．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3∴c＝3点B（30）将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在如图：过点D作DH⊥x轴于点H交BC于点MS△COE：S△CDE＝3：2则OE：ED＝3：2∵DH∥CO故CO：DM＝3：2则DM＝CO＝2由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3设点D（x﹣x2+2x+3）则点M（x﹣x+3）DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2解得：x＝1或2．故点D（14）或（23）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式二次函数图象上点的坐标特征三角形的面积平行线分线段成比例定理求得DM的长是解题的关键．【变式10-2】如图已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣10）和点C（05）．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧）抛物线L′上是否存在点Q使得15S△BDQ＝4S△ABC若存在请求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求出翻折后的函数解析式求出BD的坐标再根据15S△BDQ＝4S△ABC可求出Q到x轴的距离从而确定Q的纵坐标然后再用解析式求出Q的横坐标即可．【解答】解：（1）将（﹣10）（05）代入y＝x2+bx+c得∴∴y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4（2）由题意得L'的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4令（x﹣3）2﹣4＝0∴x1＝1x2＝5∴D（10）B（50）∴AB＝5﹣（﹣1）＝6∴∴15S△BDQ＝4S△ABC∴S△BDQ＝4∵BD＝5﹣1＝4∴Q到BD的距离为2当yQ＝2时（x﹣3）2﹣4＝2∴当yQ＝﹣2时（x﹣3）2﹣4＝﹣2∴综上所述：Q的坐标为【点评】本题考查了二次函数的图象特征关键是求出翻折后的函数解析式．一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+x…054…y…0.37-10.37…则方程ax2+A．0或4 B．5或4-5 C．4+5或5 【答案】B【解析】【解答】由图象可知对称轴为直线x=∵(0,0.37).∴0.37=c∴aax∴a即y=-1时由表可知x1∵对称轴为x=2∵另一个解x2∴a2+bx+1.37=0故答案为：B.【分析】根据抛物线经过点（00.37）可求得c＝0.37由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2抛物线经过点（5−1）由于方程ax2＋bx＋1.37＝0变形为ax2＋bx＋0.37＝−1则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根则为函数值为−1所对应的自变量的值.2．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图对称轴为直线x=2若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-m2·-1=2解得m=4所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。

如图

关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线当x=1时y=3当x=5时y=﹣5由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4∴﹣5＜t≤4．故答案为D．【分析】如图关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标利用图象法即可解决问题．3．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（）

A．x1=-1x2=3 B．x1=-2x2=3 C．x1=1x2=3 D．x1=-3x2=1【答案】A【解析】【分析】由图象可得二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴为x=1且图象与x轴的一个交点坐标为（30)根据抛物线的对称性即可得到结果.

由图象可得对称轴为x=1且与x轴的一个交点坐标为（30)

则关于的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1x2=3

故选A.

【点评】本题属于基础应用题只需学生熟练掌握抛物线的对称性即可完成.4．已知一元二次方程ax2+bx+c=0根据下列表格中的对应值：x…

3.09

3.10

3.11

3.12

…

ax2+bx+c

…

﹣0.17

﹣0.08

﹣0.01

0.11

…

可判断方程的一个解x的范围是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.12【答案】D【解析】【解答】根据表格可知ax2+bx+c=0时对应的x的值在3.11～3.12之间．故选D．【分析】观察表格可知随x的值逐渐增大ax2+bx+c的值在3.11～3.12之间由负到正故可判断ax2+bx+c=0时对应的x的值在3.11～3.12之间．5．若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（﹣1A．x1=-3x2=-1 B．C．x1=-1x2=3 D．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（﹣10）∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1∵抛物线的对称轴为：直线x=1∴二次函数y=ax故答案为：C。【分析】根据抛物线的对称轴直线公式得出该抛物线的对称轴直线是x=1从而根据抛物线的对称性得出二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点坐标求方程ax2-6．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图那么关于xA．无实数根 B．有两个相等实数根C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根【答案】C【解析】【解答】∵y=ax2+bx+c∵方程ax2∴ax2+bx+c=-2时即是由图象可知：有两个同号不等实数根．故答案为：C．【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断二、填空题7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x…－5－4－3－2－1…y…3－2－5－6－5…则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是.【答案】x1=-4x2=0【解析】【解答】解：∵x=﹣3x=﹣1的函数值都是﹣5相等

∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2.

∵x=﹣4时y=﹣2∴x=0时y=﹣2

∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4x2=0.

故答案为：x1=﹣4x2=0.

【分析】根据表格中的信息和二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线x=-2；于是可得当y=-2时x=-4或x=0然后把y=-3代入函数解析式可得y=ax2+bx+c从而可得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根.8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－30)(20)则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是.【答案】x1＝－3x2＝2【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−30)(20)∴当x=−3或x=2时y=0即方程ax2+bx故答案为：x【分析】根据抛物线与x轴的两个交点的坐标可得抛物线方程的解。9．抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示对称轴是直线x=-1则关于x的一元二次方程【答案】x【解析】【解答】由图象可得抛物线y=-x2+bx+c与x轴的一个交点为（1则抛物线与x轴的另一个交点为（-30）即当y=0时-x2+bx故答案为：x1=1【分析】根据二次函数的性质和函数的图象可以得到该函数图象与x轴的另一个交点从而可以得到一元二次方程-x2+bx10．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示则关于x的一元二次方程-【答案】-1或【解析】【解答】解：由函数图象可知二次函数与x轴的交点为（-10）对称轴为直线x=1根据二次函数的对称性可知另一个交点为（30）∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为【分析】根据函数图象求出二次函数与x轴的交点利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题.11．抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣30）则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝