初中数学第五章《相交线与平行线》总培训教程

PAGEPAGE49初中数学第五章《相交线与平行线》培训教程（总3课时）第1课时：相交线、垂线知识点精讲问(1)：如何判断两条直线相交？答：当两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交。这个公共点叫做这两条直线的交点。问(2)：两条直线相交可以形成什么角？其中有什么特殊的关系角？答：如图，两条直线AB、CD相交，从交点O出发，形成了四条射线。其中，每相邻两条射线组成一个角，可以组成四个角。这四个角可以是锐角、直角、钝角。从交点O出发，同一直线上的两条射线可以组成两个平角。答：①其中每相邻的两个角互为邻补角：顶点重合，有一边重合的公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。互为邻补角的两个角组成一个180平角，所以邻补角之和等于180。如图，∠1和∠2的顶点O重合，一边OC是重合的公共边，另一边OA和OB互为反向延长线，所以∠1和∠2互为邻补角，∠1＋∠2=180。同理，这样的邻补角还有：∠1和∠3，∠2和∠4，∠3和∠4。注：同一条直线上从同一个公共端点出发的两条方向相反的射线或线段，其中一条射线或线段叫做另一条射线或线段的反向延长线，或者说这两条射线或线段互为反向延长线。如图，同一直线上的射线OA和OB、OC和OD，或线段OA和OB、OC和OD都是从同一个公共端点O出发，且方向相反，都互为反向延长线。②其中每相对的两个角互为对顶角：顶点重合，其中一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，具有这种位置关系的、0度到180度之间的两个角，互为对顶角。对顶角相等。规定：零度角、平角和大于平角的角没有对顶角。如图，∠2和∠3的顶点O重合，∠2和∠3的两边互为反向延长线，所以∠2和∠3互为对顶角，∠2=∠3。同理，∠1和∠4互为对顶角，∠1=∠4。【例】已知：∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，且∠1和∠2是对顶角。求∠3的邻补角度数。分析：由两角互余和对顶角相等求∠2的度数，再由两角互补求∠3的度数，最后由“邻补角之和等于180”，求∠3的邻补角解：∵∠1和∠2互余，∠1和∠2是对顶角。∴∠1＋∠2=90，∠1=∠2。代换得：2∠2=90。解得：∠2=90·=45。∵∠2和∠3互补。∴∠2＋∠3=180。代换得：∠3=180－45=135。又∵邻补角之和等于180。∴∠3的邻补角=180－135=45。问(3)：依据两条直线相交形成的角，如何判断两条直线互相垂直？两条直线互相垂直，具有什么特殊性质？答：两条直线相交形成的角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示。如图，两条直线AB、CD交于点O，若∠COB=90，则AB⊥CD，垂足为O。答：由两条直线互相垂直可知：互相垂直的两条直线相交形成的角都是直角。这是两条直线互相垂直不同于其他相交直线的特殊性质。证明：如图，由两条直线AB、CD互相垂直可知：有一个角∠COB=90°。由“邻补角之和等于180°可知：∠COA＋∠COB=180°，则∠COA=90°。由“对顶角相等”可知：∠DOA=∠COB=90°，∠DOB=∠COA=90°。即：互相垂直的两条直线AB、CD相交形成的角都是直角。问(4)：“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。”如何证明这一结论成立？求证：在同一平面内，过一点P有且只有一条直线与已知直线垂直。分析：此题目中可利用的已知数据和条件很少，直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明。运用“反证法”证明时，分以下两种情况证明此结论成立：一种是点在直线外，一种是点在直线上。证明：分以下两种情况证明此结论成立。1)点P在已知直线外。如图，过点P作直线PO⊥，垂足为O。假设要求证的结论不成立，过P还有一条直线P⊥，垂足为。∵PO⊥，P⊥。∴∠PO=90，∠PO=90。∵∠PO和∠PO是△PO的两个内角。∴△PO的两内角之和等于180。这显然与已知定理“三角形三内角之和等于180”所以，假设不成立，原结论成立。2)点P在已知直线上。如图，过点P作直线PP⊥，垂足为P。∠PPA=90。假设要求证的结论不成立，过点P还有一条直线PP⊥，垂足为P。如图，∠PPA和∠PPA一边重合，另一边PP、PP不重合。则：∠PPA≠∠PPA，∠PPA≠90。这显然和已知定理“互相垂直的两条直线相交形成的角都是直角”相矛盾。所以，假设不成立，原结论成立。由以上证明可知：在同一平面内，过一点P有且只有一条直线与已知直线垂直。【注】此结论经过证明是正确的结论，可以作为定理运用。问(5)：连接直线外一点与直线上任意一点的所有线段中，哪一条线段最短？如何证明？答：连接直线外一点与直线上任意一点的所有线段中，垂线段最短。在平面内，过直线外一点作已知直线的垂线，它们的交点叫做垂足。该点与垂足之间的线段叫做已知直线的垂线段。如图，过直线外一点P作的垂线PO，PO⊥，垂足为O。线段PO是直线的垂线段。求证：连接直线外一点P与直线上任意一点的所有线段中，垂线段PO最短。分析：直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明。证明：假设垂线段PO不是最短，PA＜PO。把PA延长至点B，使PB=PO。则：△POB是等腰△，两底角∠POB=∠PBO。由PO⊥可知：∠POA=90。如图，∠POB＞∠POA。则：∠POB＞90。由“∠POB=∠PBO”可知：∠PBO＞90。则：等腰△POB的两内角之和大于180。这显然和已知定理“三角形三内角之和等于180”所以，假设不成立，原结论成立。即：连接直线外一点P与直线上任意一点的所有线段中，垂线段PO最短。【注】此结论经过证明是正确的结论，可以作为定理运用。问(6)：一条直线与两条直线都相交，可以形成同位角、内错角和同旁内角。什么是同位角、内错角和同旁内角？图1图2图3答：①一条直线与两条直线都相交，若其中的两个角都在两条直线的同一方位（比如：上方或下方），并且都在另一条直线的同一侧（比如：左侧或右侧），具有这种位置关系的两个角叫做同位角。可简记为：同方同侧，是同位角。如图1，∠1和∠2都在两直线、的上方，直线的右侧。所以∠1和∠2是同位角。同理，∠3和∠4也是同位角。②一条直线与两条直线都相交，若其中的两个角都在两条直线之间，并且分别在另一条直线的两侧（比如：左右两侧），具有这种位置关系的两个角叫做内错角。可简记为：之间交错，是内错角。如图2，∠5和∠6都在两直线、之间，并且分别在直线的左右两侧，所以∠5和∠6是内错角。同理，∠7和∠8也是内错角。③一条直线与两条直线都相交，若其中的两个角都在两条直线之间，并且分布在另一条直线的同一侧（比如：左侧或右侧），具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角。可简记为：之间同侧，是同旁内角。如图3，∠9和∠10都在两直线、之间，直线的右侧，所以∠9和∠10是同旁内角。同理，∠11和∠12也是同旁内角。典型题型精讲解析选择题：1.下列判断错误的是（）A.互为邻补角的两个角一定互补B.邻补角的顶点和一条边重合，对顶角只有顶点重合C.对顶角既能互余，又能互补D.锐角、直角、钝角和平角既有邻补角，又有对顶角【答案】D【解析】顶点重合，有一边是重合的公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。由邻补角的定义可知：A、B两项正确。顶点重合，其中一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，具有这种位置关系的、0度到180度之间的两个角，互为对顶角。当两对顶角都等于45度时，互余。当两对顶角等于90度时，互补。故C项正确。依据对顶角的定义，规定：平角和零度角都没有对顶角。故D项错误。选D。2.如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（  ）A．3对     B．4对   C．5对   D．6对【答案】B【解析】顶点重合，有一边是重合的公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。观察图示，依据邻补角的定义可确定有4对邻补角，分别是：∠COA和∠COB，∠EOA和∠EOB，∠EOC和∠EOD，∠BOC和∠BOD。3.过平面内直线上一点O作OM⊥，ON⊥，以下结论正确的一组是（）①垂线OM、ON是同一条直线②过直线上一点O有两条垂线③点O、M、N在同一条直线上④OM、ON都是直线的垂线段A.②④B.①③④C.①③D.②③④【答案】C【解析】由垂线定理可知：“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。”所以，OM、ON是同一条直线点，O、M、N在同一条直线上。故①③正确，②④错误。选C。4.如图所示，AB⊥AC，点E、F是线段AB、BC上端点间的两动点，则从点D出发，到线段AB、BC的最短距离可能是线段()  ①DA和DC②DE和DC③DE和DF④DA和DF【答案】④【解析】连接直线外一点与直线上任意一点的所有线段中，垂线段最短。由已知AB⊥AC得：AB⊥AD，此时，点D到线段AB的距离DA最短。如图，当动点F移动至使DF⊥BC时，点D到线段BC的距离DF最短。所以，从点D出发，到线段AB、BC的最短距离是DA和DF。故选④。5.如图，下列说法错误的一组是(

)

①∠4与∠6是同旁内角②∠3＋∠4与∠6是同旁内角③∠4＋∠5与∠2是内错角④∠5与∠6是同位角⑤∠2与∠7是同位角⑥∠5与∠7是内错角A.①③⑥B.①⑥C.①⑤⑥D.①⑤【答案】B【解析】如图所示：∠4与∠6在两条直线AD、BC之间，但不在另一条直线DC的同一侧，所以∠4与∠6不是同旁内角。故①错误。同理，∠3＋∠4与∠6符合同旁内角的定义，是同旁内角。故②正确。∠4＋∠5与∠2在两条直线AD、DE之间，又在另一条直线AC的两侧，是内错角。故③正确。∠5与∠6在两条直线AD、BC的同一方位，又在另一条直线DE的同一侧，是同位角。故④正确。同理，∠2与∠7符合同位角的定义，是同位角。故⑤正确。∠5与∠7，在另一条直线AC的两侧，但不在两条直线AD、BC之间，不符合内错角的定义，故⑥错误。填空题：1.如图，三条直线交于点O，∠1=∠2，∠3=8∠1，则∠4的度数为________。【答案】36【解析】如图，∠4和∠1＋∠2是对顶角。对顶角相等。则：∠4=∠1＋∠2。已知：∠1=∠2。代换得：∠4=2∠1。如图，∠3和∠1＋∠2是邻补角。邻补角之和等于180。则：∠3＋(∠1＋∠2)=180。已知：∠1=∠2，∠3=8∠1。代换得：8∠1＋2∠1=180。解得：∠1=18。所以，∠4=2∠1=2·18=36。2.如图，∠AOD=∠COD，OB、OE分别是OD、OA的反向延长线，且∠COE=45，则∠BOC的度数为________。【答案】100【解析】如图，∠AOC和∠COE是邻补角，∠AOC＋∠COE=180。已知：∠COE=45。∴∠AOC=135。如图，∠AOC=∠AOD＋∠COD。已知，∠AOD=∠COD，即∠COD=2∠AOD。代换得：∠AOD＋2∠AOD=135。解得：∠AOD=45。如图，对顶角相等，∠BOE=∠AOD=45。且：∠BOC=∠BOE＋∠COE。已知：∠COE=45，∠BOE=45。∴∠BOC=45＋45=90。3.直线上有三点A、B、C，直线外有一点P，若PA=5cm，PB=3cm，PC=2cm，且PC⊥AB。设点P和线段AC和BC上所有点的连接线段长分别为m、n，则m、n的取值范围分别是____________。【答案】2≤m≤5，2≤n≤3【解析】PC⊥AB，由“垂线段最短”可知：m、n的最小取值范围都是2，且PC＜PA，PC＜PB。当m=PA时，m取得最大值5，则m的取值范围分别是2≤m≤5。当n=PB时，n取得最大值3，则n的取值范围分别是2≤m≤3。4.图中8个角中，与∠1是同位角的是_______，与∠2是内错角的是_______，与∠3是同旁内角的是_______。【答案】∠7；∠5、∠8；∠2、∠4、∠1＋∠2、∠4＋∠5【解析】依据同位角、内错角和同旁内角的定义即可判定。如图，∠7和∠1在同一条直线的同侧，且在两条直线的上方，是同位角。如图，∠5和∠2、∠8和∠2在同一条直线的两侧，且在两条直线之间，是内错角。如图，∠2和∠3、∠4和∠3在同一条直线的同侧，且在两条直线之间，是同旁内角。同理，∠1＋∠2和∠3、∠4＋∠5和∠3也是同旁内角。解答题：1.如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE。求∠DOE的度数。【解题思路】（1）如图，∠DOE和∠EOC是邻补角，则∠DOE＋∠EOC=180；（2）由互余求∠BOE的度数；（3）由互补求∠EOC的度数。解：∵OE⊥OF。∴∠FOE=90。∴∠BOF＋∠BOE=90。由已知∠BOF=2∠BOE代换得：2∠BOE＋∠BOE=90。解得：∠BOE=30。如图，∠AOE和∠BOE是邻补角，则∠AOE＋∠BOE=180。∴∠AOE=180－30=150。∵OC平分∠AOE。∴∠EOC=∠AOE=·150=75。如图，∠DOE和∠EOC是邻补角，则∠DOE＋∠EOC=180。∴∠DOE=180－75=105。2.如图，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点。过点P作CD的垂线交AB于点F，同时过点P作AB的垂线段PE，再过点O作AB的垂线段交于点Q，P是上一点。已知∠BOD=40。(1)求∠OQR邻补角的度数；(2)比较线段PO、PE、OF、OQ的大小；(3)求∠OQR的同位角、内错角和同旁内角的度数。【答案】(1)求∠OQR邻补角的度数；解：如图，∠OQA是∠OQR的邻补角。对顶角∠1=∠BOD=40。已知：⊥CD，QO⊥AB。则：△FPO和△FOQ是Rt△。∵Rt△两锐角互余。∴在Rt△FPO中，∠2=90－∠1=90－40=50。∴在Rt△FOQ中，∠OQA=90－∠2=90－50=40。(2)比较线段PO、PE、OF、OQ的大小；解：∵垂线段最短。PE是FO的垂线段。∴在△PFO中，PE＜PO。已知：△FPO是Rt△。∴Rt△FPO的斜边FO大于直角边PO，即FO＞PO。已知：在Rt△FOQ中，∠2=50。则：∠OQF=40。∴∠2＞∠OQF在△FOQ中，由“三角形大角对大边”可知：OQ＞OF。∴PE＜PO＜OF＜OQ。(3)求∠OQR的同位角、内错角和同旁内角的度数。解：①如图，∠OQR的同位角是∠2和∠QPO。由(1)已求得：∠2=50。由已知⊥CD可知：∠QPO=Rt∠=90。②∠OQR的内错角是∠PFA和∠QPC。如图，∠2和∠PFA互为邻补角。则：∠PFA=180－∠2=180－50=40。由已知⊥CD可知：∠QPC=Rt∠=90。③∠OQR的同旁内角是∠QOD和∠QOB。由已知QO⊥AB可知：∠QOB=Rt∠=90。如图，∠QOD=∠QOB＋∠BOD。已知∠BOD=40。∴∠QOD==90＋40=130。本课时培训收获通过本课时的培训，我们能做到：1、知道两条直线相交形成的角及其关系。2、知道如何判断两条直线互相垂直。3、掌握结论“两条直线垂直相交，形成的邻补角和对顶角都是直角”，并能证明。4、掌握定理“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会运用反证法证明这一定理成立。5、掌握定理“连接直线外一点与直线上任意一点的所有线段中，垂线段最短”，会运用反证法证明这一定理成立。6、知道什么是同位角、内错角和同旁内角，能够辨别同位角、内错角和同旁内角。第2课时：两条直线的位置关系、直线平行的判定及性质同一平面内的两条直线或者有一个公共点，或者没有公共点，或者有无数个公共点。问(1)：依据同一平面内两条直线公共点的个数，如何判断两条直线的位置关系？相交平行重合答：依据同一平面内两条直线公共点的个数，可以判断两条直线有以下三种位置关系：①当两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交。如图，若直线a、b有一个公共点O，则直线a、b相交；②当两条直线没有公共点时，这两条直线平行。如图，若直线a、b没有公共点，则直线a、b平行；③当两条直线有无数个公共点时，这两条直线重合。如图，若直线a、b有无数个公共点，则直线a、b重合。问(2)：过直线外一点，有几条直线与这条直线平行？答：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。这一结论又称之为“平行公理”。公理是经过长期反复实践检验，总结得出的正确的事实，不需要再证明。如图，过直线a外一点P，有且只有一条直线b与直线a平行。问(3)：同一平面内，平行于同一条直线的两条直线是什么位置关系？答：同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行。如图，a、b、c是同一平面内的三条直线，b∥a，c∥a。求证：b∥c。分析：题目中可利用的已知条件很少，直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明。证明：假设若直线b∥a，c∥a，直线b、c不平行。直线b、c是两条直线，不重合。不平行，必然相交，设交点为P。且已知：b∥a，c∥a。点P为直线a外有一点。由此可知：过直线a外一点P，有两条直线b、c都与直线a平行。这显然与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。所以，假设不成立，原结论成立。若直线b∥a，c∥a，则b∥c。即：同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行。注：此结论经证明是正确的结论，可以作为定理运用。问(4)：两条直线被第三条直线所截，如何判定两条直线平行？答：①判定定理1：两条直线被第三条直线所截，若形成的同位角相等，则这两条直线平行。简记为：同位角相等，两直线平行。图1如图1，直线和被所截，形成的同位角是∠1、∠2，且∠1=∠2。求证：∥。分析：直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明。图2证明：假设直线、不平行。如图2，、是两条直线，不重合。若不平行，则：、必然相交。设交点为P，则∠2和∠3是△PPP的两个内角。如图2，∠1和∠3互为邻补角，∠1＋∠3=180。由已知∠1=∠2代换得：∠2＋∠3=180由此可知：△PPP的两内角之和等于180。这显然与已知定理“三角形三内角之和等于180”所以，假设不成立，原结论成立。若∠1=∠2，则∥。即：同位角相等，两直线平行。②判定定理2：两条直线被第三条直线所截，若形成的内错角相等，则这两条直线平行。简记为：内错角相等，两直线平行。图3如图3，直线和被所截，形成的内错角是∠1、∠2，且∠1=∠2。求证：∥。分析：由已知∠1和∠2两个内错角相等得出两个同位角相等，运用已证明的结论“同位角相等，两直线平行”，证明两直线∥。图4证明：如图4，∠1、∠3互为对顶角，对顶角相等，∠1=∠3。由∠1=∠2代换得：∠2=∠3。且：∠2、∠3是同位角。∵同位角相等，两条直线平行。∴∥。由此可知：若∠1=∠2，则∥。即：内错角相等，两直线平行。③判定定理3：两条直线被第三条直线所截，若形成的同旁内角互补，则这两条直线平行。简记为：同旁内角互补，两直线平行。图5如图5，直线和被所截，形成的同旁内角∠1、∠2互补。求证：∥。分析：直接证明或运用“反证法”间接证明都可以。图6证明：已知∠1＋∠2=180。∴∠2=180－∠1。如图6，邻补角∠1＋∠3=180。∴∠3=180－∠1。∴∠2=∠3。且：∠2、∠3是内错角。∵内错角相等，两条直线平行。∴∥。∴若∠1、∠2互补，则∥。即：同旁内角互补，两直线平行。图7证明：假设直线、不平行。如图7，、是两条直线，不重合。若不平行，则：、必然相交。设、交于点P。如图6，∠1和∠2是△PPP的两个内角。由∠1、∠2互补可知：∠1＋∠2=180。由此可知：△PPP两内角之和等于180。这显然与已知定理“三角形三内角之和等于180”所以，假设不成立，原结论成立。若∠1、∠2互补，则∥。即：同旁内角互补，两直线平行。问(5)：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线是什么位置关系？如何证明这一结论成立？答：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。如图，同一平面内，两条直线、都与直线垂直。求证：∥。分析：如图，由⊥，⊥，可知两直线、与直线相交的同位角都是相等的直角，由“同位角相等，两直线平行”，即可证明∥。证明：∵⊥，⊥。∴如图，、与相交形成的同位角都是相等的直角。∵同位角相等，两直线平行。∴∥。由此可知：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。注：此结论也可由“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”证明。此结论经证明是正确的，可以作为定理运用。问(6)：两条平行线被第三条直线所截，具有什么性质？答：①性质1：两条平行线被第三条直线所截，形成的同位角相等。简记为：两直线平行，同位角相等。图1图2如图1，两条平行线、被直线所截，形成的同位角是∠1、∠2。求证：∠1=∠2。分析：直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明。证明：假设∠1≠∠2。如图2，从∠1的顶点P出发，引出一条射线，与直线所成的角为∠3，使∠3=∠2。且：∠3、∠2就是直线、被直线所截形成的同位角。由“同位角相等，两直线平行”可知：∥。且：已知∥。则：和都是过点P与平行的直线。由此可知：过直线外一点P，有两条直线、与平行。这显然与平行公理“过直线外一点，有且只一条直线与这条直线平行”相矛盾。所以，假设不成立，原结论成立，∠1=∠2。即：两直线平行，同位角相等。②性质2：两条平行线被第三条直线所截，形成的内错角相等。简记为：两直线平行，内错角相等。图3图4如图3，两条平行线、被直线所截，形成的内错角是∠3、∠4。求证：∠3=∠4。分析：如图4，由已知“两直线平行，同位角相等”可知：∠=∠4，再由“对顶角相等”得∠=∠3，代换即可证明∠3=∠4。证明：如图4，∠、∠4是两条平行线、被直线所截形成的同位角。∵两直线平行，同位角相等。∴∠=∠4。又∵∠、∠3是对顶角，对顶角相等。∴∠=∠3。∴∠3=∠4。即：两直线平行，内错角相等。③性质3：两条平行线被第三条直线所截，形成的同旁内角互补。简记为：两直线平行，同旁内角互补。图5图6如图5，直线平行线、被所截，形成的同旁内角是∠5、∠6。求证：∠5＋∠6=180。分析：如图6，由已知“两直线平行，内错角相等”得∠=∠6，再由“邻补角之和等于180”得∠=＋∠5=180,代换即可证明。证明：如图6，∠、∠6是两条平行线、被直线所截形成的内错角。∵两直线平行，内错角相等。∴∠=∠6。又∵∠、∠5是邻补角，邻补角之和等于180。∴∠＋∠5=180。由已知∠=∠6代换得：∠5＋∠6=180。即：两直线平行，同旁内角互补。【例】如图，∠ABD和∠BDC的角平分线BF、DG交于点E，∠1＋∠2=90。求证：①AB∥CD；②∠2＋∠3=90。分析：此题重在考察两直线平行的判定及性质。①已知∠1＋∠2=90，由∠1=∠ABD，∠2=∠BDC代换得∠ABD＋∠BDC=180，依据“同旁内角互补，两直线平行”可求证AB∥CD。②依据“两直线平行，内错角相等”得∠3=∠4，且BF是∠ABD的平分线，∠1=∠4，代换得：∠1=∠3。再由已知∠1＋∠2=90代换，即可求证∠2＋∠3=90。①证明：∵BF、DG分别是∠ABD、∠BDC的角平分线。∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC。∵∠1＋∠2=90。∴代换得：∠ABD＋∠BDC=90。整理得：∠ABD＋∠BDC=180。即：∠ABD和∠BDC互补。且：如图，∠ABD和∠BDC是同旁内角。∵同旁内角互补，两直线平行。∴AB∥CD。②证明：已知：AB∥CD。如图，∠3和∠4是内错角。∵两直线平行，内错角相等。∴∠3=∠4。已知：BF是∠ABD的平分线，∠1=∠4。代换得：∠1=∠3。又已知：∠1＋∠2=90。由∠1=∠3代换得：∠2＋∠3=90。典型题型精讲解析选择题：1.同一平面内，关于不重合的四条直线的位置关系描述错误的一项是()A．同时都相交或同时都平行 B．既可能相交，又可能平行 C．两两相交或两两平行  D．两两相交，同时又两两平行【答案】D【解析】A、B、C项都描述了四条直线相交或平行的两种可能性，都正确。D项错误。四条直线两两相交，不可能出现既相交，又平行。故选D。2.已知∥，∥，且⊥，⊥，若直线，，，相交形成一个四边形，则这个四边形相邻的两条边的位置关系是（）A.重合B.垂直C.平行D.不能确定【答案】B【解析】如图，⊥，形成的角是直角。由∥，∥，可知同位角相等，和、相交形成的角都是直角，故⊥，⊥。同理，⊥，⊥。所以，这个四边形的四个角都是直角，相邻的两条边一定垂直。故选B。3.平面内，若∥，∥。以下判断正确的是（）A.直线、一定重合B.直线、、都没有公共点C.直线、不可能相交D.直线、是同一条直线【答案】B【解析】直线、既可能重合，又可能平行。故A项错误。直线、可能重合，重合有无数公共点。故B项错误。直线、若重合，是同一条直线；若平行，则是两条直线。故D项错误。由“平行公理”可知：同一平面内，平行于同一条直线的两条直线若不重合，则必然平行，不可能相交。故C项正确。选C。4.将一条对边平行的纸带折叠成如图所示的形状，已知∠1=52，∠2=48，则∠3的度数为（）A.60B.80C.100D.120【答案】B【解析】如图，由纸带对边平行可知：同位角相等，∠1=∠4=52。同旁内角互补，(∠3＋∠4)＋∠2=180。已知：∠2=∠4=52。代换得：∠3=180－∠2－∠4=180－48－52=80。填空题：1.已知：直线CD、CE交于点C，且CD∥，CE∥，则直线CD、CE的位置关系是________，∠DCE是_________角。【答案】重合；0或180【解析】图1图2由“平行公理”可知：“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。”所以，直线CD、CE是重合的一条直线。如图1，若点D、E在点C的同一侧，则∠DCE=0；如图2，若点D、E分别在点C的两侧，则∠DCE=180。2.如图，直线a外有两动点A、B。过点A、B分别作直线a的垂线，连接点A、B，围成的图形可能是_________。延长线段AB，直线AB和直线a的位置关系是__________。【答案】正方形、长方形、直角梯形；平行或相交【解析】注意动点A、B的位置变化。线段AB可能与直线a平行或不平行，也可能在同一条垂线上。(1)当线段AB与直线a平行时，由平行的性质可知：围成的四边形的四个角都是直角，长宽相等时，四边形是正方形；长宽不相等时，四边形是长方形。(2)当线段AB与直线a不平行时，由平行的判定可知：围成的四边形的两条对边平行，两同旁内角是直角，围成的四边形是直角梯形。(3)当直线AB和直线a没有公共点时，直线AB和直线a平行；有1个公共点时，直线AB和直线a相交；已知两动点A、B都在直线a外，直线AB和直线a不可能重合。3.如图，直线∥，AB⊥，BC与交于点C，过点C与、相交。若∠1=133°，∠2=55°，则∠3=______。【答案】98°【解析】注意需作辅助线求解。如图，过点B作直线BD∥。且：已知直线∥，由平行的性质可知BD∥。由AB⊥可知：∠4=Rt∠=90。∵BD∥。∴内错角相等，∠4=∠ABD=90。如图，∠1=∠ABD＋∠CBD。已知：∠1=133°。代换得：90＋∠CBD=133°。解得：∠CBD=43°。∵BD∥。∴内错角相等，∠=∠CBD=43。如图，对顶角相等，∠=∠=43。∵∥，。∴同位角相等，∠3=∠＋∠2。已知：∠2=55°。代换得：∠3=43°＋55°=98°。4.如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是_________。【答案】平行【解析】设这组同旁内角为∠、∠。由已知得：=，∠－∠=36°。由=得：∠=∠。代入∠－∠=36°得：∠－∠=36°。解得：∠=72°。则：∠=∠=·72°=108°。∴∠＋∠=108°＋72°=180°。即：同旁内角为∠、∠互补。∴这两条直线平行。解答题：1.如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，CB⊥AB，EA平分∠DAB，FC平分∠DCB，AE交CD于点E，CF交AB于点F。证明：AE∥FC。【解题思路】（1）作辅助线。如图，连接点A、C。（2）由已知求四边形ABCD的内角和，由此得出∠A＋∠C=180，由已知代换得∠1＋∠3=90；（3）已知△ADE是Rt△，两锐角互余，∠1＋∠DEA=90，即∠1=90－∠DEA；（4）由∠1＋∠3=90代换得出同位角∠DEA=∠3，所以AE∥FC。证明：如图，连接点A、C。∴四边形ABCD的内角和=两个三角形的内角和=2·180=360。∴∠A＋∠C=360－(∠B＋∠D)。由AD⊥CD，CB⊥AB得：∠D=∠B=Rt∠=90。∴∠A＋∠C=360－180=180。由EA平分∠DAB，FC平分∠DCB得：∠A=2∠1，∠C=2∠3。代换得：∠1＋∠3=90。如图，在Rt△△ADE中，两锐角互余，∠1＋∠DEA=90。∴∠1=90－∠DEA。代换得：（90－∠DEA）＋∠3=90。整理得：∠DEA=∠3。且：如图，∠DEA和∠3是同位角。∴两直线AE∥FC。2.如图，已知直线∥，直线和直线、交于点C和D，在直线CD上有一动点P。(1)当动点P在点C、D之间运动时，求：∠CAP、∠APB、∠PBD的数量关系。(2)当动点P在点C、D的外侧运动时，则：∠CAP、∠APB、∠PBD具有怎样的数量关系？【答案】(1)解：图1如图1，动点P在点C、D之间运动。过点P作直线∥。已知∥，则∥。直线把∠APB分成两个角，∠APB=∠1＋∠2。∵∥。∴内错角相等，∠CAP=∠1。又∵∥。∴内错角相等，∠PBD=∠2。代换得：∠APB=∠CAP＋∠PBD。(2)解：图2分动点P在点C、D的外侧下端和上端运动两种情况求解。如图2，动点P在点C、D的外侧下端运动，过点P作直线∥。已知∥，则∥。如图2，∵∥。∴内错角相等，∠CAP=∠1＋∠2。又∵∥。∴内错角相等，∠2=∠PBD。且：∠1=∠APB。代换得：∠CAP=∠APB＋∠PBD。

图3如图3，动点P在点C、D的外侧上端运动，过点P作直线∥。连接点A、P和B、P。已知∥，则∥。如图3，∵、∥。∴内错角相等，∠PBD=∠1＋∠2。∵∥。∴内错角相等，∠1=∠CAP。且：∠2=∠APB。代换得：∠PBD=∠CAP＋∠APB。本课时培训收获通过本课时的培训，我们能做到：1、知道同一平面内，两条直线的三种位置关系。2、能够依据同一平面内两条直线公共点的个数，判断两条直线的位置关系。3、掌握“平行公理”。掌握定理“同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”，并能证明。4、掌握判定两条直线平行的三个判定定理，能证明这三个判定定理成立。5、能熟练运用平行线的判定定理判定两条直线是否平行。6、掌握定理“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”。能证明这一定理成立。7、掌握两直线平行的三个性质，能证明这三个性质成立。8、能熟练运用平行线的性质判定同位角、内错角和同旁内角之间的关系。第3课时：命题、定理数学中有许多结论性语句。比如：正数的相反数一定是负数；︱0︱=0；a＋c=b＋c或a－c=b－c；立体图形的展开图是平面图形。类似这样的结论性语句称之为“命题”。问(1)：什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？答：命题就是用语言、符号或式子表达的，通过实践检验、推理证明可以判断真假的结论性语句。命题由条件和结论两部分组成，通常都可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”之后是条件，“那么”之后是结论，即由已知条件得出判断结论。答：①若一个命题由条件得出的结论成立，这样的命题就是真命题，即正确的命题。②若一个命题由条件得出的结论不成立，这样的命题就是假命题，即错误的命题。【注】经过推理证实的真命题叫做定理。定理是推理证明命题的依据。【例1】判定以下命题的真假：①如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；②锐角三角形中最大的角一定大于或等于60；③若∣a∣=，则a=b；④两互补的角一定是邻补角。判断：①如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。若三角形的两个角互余，则这两个角之和等于90°。已知三角形三内角之和等于180°，则另一个内角等于180°－90°=90°。因为有一个角是90°直角的三角形，所以这个三角形是直角三角形。该命题由条件得出的结论成立，所以它是一个真命题。②锐角三角形中最大的角一定大于或等于60。三角形三内角之和等于180。若锐角三角形最大的角小于60，则另外两个角都小于最大的角，也都小于60。所以，三内角之和小于180。这显然与已知定理“三角形三内角之和等于180所以锐角三角形最大的角不能小于60，只能大于或等于60。该命题由条件得出的结论成立，所以它是一个真命题。③若∣a∣=，则a=b。因为“正数的绝对值就是其本身，0的绝对值是0”，若a、b都是正数或都是0，由∣a∣=可得：a=b；因为“负数的绝对值就是其本身的相反数”，若a、b都是负数，由∣a∣=可得：－a=－b，即：a=b；若a是正数，b是负数，由∣a∣=可得：a=－b；若a是正数，b是负数，由∣a∣=可得：－a=b。该命题由条件推出的结论不一定成立，所以它是一个假命题。④两互补的角一定是邻补角。邻补角是既互补，又相邻的两个角。两角互补，但两角不一定相邻，所以两互补的角不一定是邻补角。比如：两直线平行，同旁内角互补，但同旁内角不相邻，不是邻补角。该命题由条件推出的结论不成立，所以它是一个假命题。在同一平面内，把平面内的某个图形变换位置，不改变图形的形状、大小，形上的所有点都沿某个方向作等距离的平行移动。这样的图形运动称之为“平移”。问(2)：什么是平移？平移具有什么性质？答：平移是指在同一平面内，把平面内的某个图形上的所有点都沿某个方向作等距离的平行移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。由平移的定义可知：【注1】平移的图形是指在同一平面内平移，不能平移至另一平面。【注2】平移的图形可以是平面内包括点、线、面在内的任意平面图形，但不能是立体图形。【注3】平移的方向是平面内包括上下竖直移动和左右水平移动在内的任意方向的直线移动。图1图2答：由平移的定义可知，平移具有以下性质：①平移后的图形只是图形位置的变换，形状、大小和原图形相同；如图，△ABC向右平移后得到△，△ABC和△形状、大小相同，放在一起能够完全重合，对应边和对应角都相等。②平移后的图形上的每一点都和原图形上的某一点对应，每一对对应点的连接线段平行或共线，且长度相等。如图1，△ABC沿水平线向右平移后得到△。如图2，△ABC沿BA边向右上方平移后得到△。其中的点A和，B和，C和都是对应点。连接对应点A、，B、，C、。如图1，线段A∥B∥C，且A=B=C。如图2，线段A和B共线，在同一条直线BA上，A∥C，B∥C，且A=B=C。平移的图形可以是同一平面内包括点、线、面在内的任意平面图形。问(3)：如何把一个图形平移到指定位置？如何判定一个图形是原图形平移后的图形？答：依据平移的定义，把一个图形平移到指定位置，可由以下步骤完成：第一步：先在原图形上选取决定图形形状、大小的关键点，按要求把这些关键点沿某一方向作等距离的平行移动，平移到指定位置。第二步：依据原图形的形状，用直线或曲线连接各对应点，由此把原图形平移到指定位置。答：由平移的定义可知，判定一个图形是原图形平移后的图形，必须具备以下两个特征：①平移后的图形只是图形位置的变换，形状、大小和原图形相同；②平移后的图形上的每一点都和原图形上的某一点一一对应，每一对对应点的连接线段平行或共线，且长度相等。【例2】把网格中的黑色鱼形图平移至蓝色鱼形图的位置。(1)有几种平移方法？写出这几种平移方法的步骤；(2)网格中的蓝色、黑色鱼形图就是平移前后的两个图形，说明理由。（注：图中每小格代表一个单位长度）分析：平移就是同一平面内沿某一方向的平行移动，图中的平移有三个方向，有三种平移方法。(1)答：有三种方法。方法①：选取决定黑色鱼形图形状、大小的两个三角形的各顶点，把各顶点沿网格线分别向左平移6格，得到各对应点，再把各对应点沿网格线分别向上平移2格；方法②：选取决定黑色鱼形图形状、大小的两个三角形的各顶点，把各对应点沿网格线向上平移2格，再向左平移6格；方法③：用线段连接蓝色、黑色鱼形图的各对应点，把黑色鱼形图上的各对应点沿连线平移至蓝色鱼形图上的各对应点。(2)理由：如图，蓝色、黑色鱼形图形状、大小相同，每一对对应点的连接线段平行且相等。所以，蓝色、黑色鱼形图就是平移前后的两个图形。典型题型精讲解析选择题：1.以下不属于命题的是（）①︱0︱=0；②两条直线互相垂直；③有公共点的两条直线一定相交；④ax＋b=0；⑤连接直线上一点和直线外一点；⑥代数式不一定是整式。A.①②④B．②④⑤C．②④⑥D.①③⑥【答案】D【解析】命题就是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的结论性语句。②⑤是陈述性语句，④是一元一次方程表达式，都不是结论性语句，不能判断真假，都不是命题。只有①③⑥是能判断真假的结论性语句。其中，①是真命题，③⑥是假命题。故选D。2.下列命题错误的是()①如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等。  ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行。③过直线外一点垂直于这条直线的垂线段的长，叫做这点到这条直线的距离。④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。A.①③B．①③④C．②④D.②③④【答案】C【解析】命题②④必须在同一个平面内才能成立，缺少条件，故错误。命题①经平行线的性质证明正确。命题②是定义，定义是对事物本质特征的说明，属于真命题，故命题②正确。故选C。3.下列运动：①把水桶从井中提起来；②汽车在弯道上行驶；③电梯的升降；④钟表上指针的运动。其中，一定不是平移的是()A.①④B．①③C．②④D.②③【答案】C【解析】平移是指在同一平面内，把一个图形上的所有点都沿某个方向作等距离的平行移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。由平移的性质可知：平移中的平行是指平移前后物体两对应点之间的连接线段平行且相等。所以，平移的物体要作等距离的平行移动，就必须在平面上进行直线运动。②④是曲线运动，不是直线运动，所以都不是平行移动。故选C。4.如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm。把长方形ABCD沿边AB向上平移4cm，再沿DA方向向左平移2cm。则平移后的长方形与原来的长方形重叠部分(图中划横线部分)的面积等于()A.16B.20C.24D.28【答案】A【解析】由平移的性质可知：平移前后的长方形形状大小相同，图中划横线部分是一个四个角都是直角的长方形。如图，横线部分长方形的长=10－2=8cm，横线部分长方形的宽=6－4=2cm。∴S长方形=8·2=16。选A。填空题1.命题“垂线段最短”可以表述为“如果__________________那么______________”，条件是_____________，结论是_____________，它是一个_______命题（填“真或假”）。【答案】把直线外一点和直线上所有点连接起来；在所有连线中，垂线段最短直线外一点和直线上所有点的连线；垂线段最短真【解析】命题由条件和结论两部分组成，通常都可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”之后是条件，“那么”之后是结论，即由已知条件得出判断结论。“垂线段最短”是能经过推理证明的正确的命题，是真命题。由此得出以上答案。2.以下结论中属于定理的有___________（填序号）。①两点确定一条直线；②平面内，若⊥，⊥，则∥；③平移就是在同一平面内上下或左右移动；④两点之间线段最短；⑤平面内，若∥，∥，则∥。【答案】②⑤【解析】经过推理证实的真命题叫做定理。①④是公理，不需要证明。③是命题，但是假命题。平移在平面内，不只是上下或左右移动，可以向其他任意方向、沿直线平行移动。②⑤都是能经过推理证明得出的真命题。3.如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm，得到△，则四边形的周长为________。【答案】23【解析】由等边△的性质可知：AB=BC=AC=5。由平移的性质可知：A=C=4。∵平移前后的图形形状大小相同。∴△ABC和的对应边相等，AC==5。由平移可知：CAB=BC=AC。∴四边形的周长=5＋5＋4＋5＋4=23。4.如图所示，大圆O内有一小圆O，小圆O从现在的位置沿OO的方向平移4个单位长度后，得到小圆O。若小圆O的半径为1个单位长度，则小圆在平移过程中扫过的面积等于________。【答案】8＋【解析】如图，由平移的性质可知：小圆O在平移过程中形成了一个两端为半圆，中间为长方形的形状。这就是小圆在平移过程中扫过的