线性的代数应用实例

线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f(t上4个点的值，试求三次插值多项式p(t)a0

ata1

t2at3，3并求f(1.5)的近似值。解令三次多项式函数p(t)a0

ata1

t2at3过titif(t)i03102-136表中的4点，可以得到四元线性方程组：a 3a0 a a a 0a0 1 2 3a0

2a1

4a28a3

1a03a1

9a2

27a 63对于四元方程组，笔算就很费事了。应当用计算机求解了，键入：>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b])得到x=100030100-20010-200011得到a0

3,a1

2,a2

2,a3

1，三次多项函数为p(t)32t2t2t3，故f(1.5)近似等于p(1.5)32(1.5)2(1.5)2(1.5)31.125。在一般状况下，当给出函数f(t在n+1个点t(i1,2,Ln1)上的值f(t时，就可i i以用n次多项式p(t)a0

ata1

t2Lan

tn对f(t进展插值。在数字信号处理中的应用 数字滤波器系统函数u2x1y1/4u2x1y1/41/4xx32z13/8图1 某数字滤波器构造图也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。图1表示了某个数字滤波器的构造图，现在要求出它的系统函数y与输入u之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。由于拖延算子z1不是数，要用符号代替，所以取qz1，依据图示状况，可以写出：12xqx 2u12x 3q1x1u 842 3 484x x写成矩阵形式为

3 10 q 0

2

x13 11

1xx0

0 q x u x=Qx-Pu2

8 42

4x3

x301 0

0 经过移项后，系统函数W可以写成：W=x/u=inv(I-Q)*P现在可以列写计算系统函数的MATLAB程序ea705，symsq %规定符号变量Q(1,2)qQ(2,3)=3/8*q1/4Q(3,1)=1; %给非零元素赋值Q(3,3)=0;P=[2;1/4;0]W=inv(eye(3)Q)*P程序运行的结果为

%给右下角元素Q〔3,3〕赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零%给P%用信号流图求传递函数的公式W=[16/(83*q^22*q)2*q/(83*q^22*q)][2*(3*q2)/(83*q^22*q)2/(83*q^22*q)][16/(83*q^22*q)2*q/(83*q^22*q)]我们关心的是以yx3作为输出的系统函数，故再键入 pretty(W(3))y 162q q8 z18整理后得到

W(3) u 83q22q 1.5q2q4 1.5z2z14用线性代数方法的好处是适用于任何简单系统，并能用计算机解决问题。信号与系统课程中的应用 线性时不变系统的零输入响应描述n阶线性时不变〔LTI〕连续系统的微分方程为adnya

dn1y

a

dya

dmub

u, n≥m1dtn

2

ndt

n1

1dtm

mdt

m1y及其各阶导数的初始值为(0(1(0(n-1)(0解：当LTI〔即令微分方程等号右端为0，其形式为〔设特征根均为单根〕y(t)C1

eptC121

ep2tCn

epnt其中p，p，…，p

是特征方程aa-a+

=0的根，它们可用roots(a)1 2 n

1 2

n+1语句求得。各系数C，…，C由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有1 nC+C+…+C=y

y=y(0)1 2 n 0 0pC+pC+…+pC=Dy (Dy

表示y的导数的初始值(1(0))11 22 nn 0 0…………………pn1C1 1

pn1C2

pn1Cn

y0 1 1 1 C

y 1 0 写成矩阵形式为p1

p p2

C2 Dy0 pn11

pn12

n

0 Dn1y0即 V·C=Y0

，其解为 C=V\Y0式中 C[C,C1 2

,L,Cn

]T;Y0

[y0

,Dy0

,L,Dn1y]T0 1 1 1 ppV

p p 2 n pn1

pn1

pn1 1 2 n V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特别矩阵库中有vander函数可直接生成。MATLAB程序ea703.ma=input(a=[a1，a2n=length(a)-1;Y0=input(”输入初始条件向量Y0=[y0，Dy0，D2y0，p=roots(a);V=rot90(vander(p));cV\Y0”;dt=input(”dt=”);tf=input(”tf=”)t=0:dt:tf;y=zeros(1，length(t));fort=0:dt:tf;y=zeros(1，length(t));fork=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t，y)，grid程序运行结果并输入a=[3，5，7，1];dt=0.2;tf=8;[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]

2三阶系统的零输入响应三种状况，用holdon语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。减肥配方的实现设三种食物每10080年月的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个养分要求。养分脱脂牛奶每100g食物所含养分(g)大豆面粉乳清减肥所要求的每日养重量蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为1个单位，大豆面粉的用量为2个单位，乳清的用量为3个单位，表中的三个养分成分列向量为：36 51 13a52, a34, a74,1 0

2 7

1 36365113axaxax52x34x7411 22 33 1 2 3 x0

7

使这个合成的养分与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：36

51 13x

332522

34 74145

Axb

x37 3

3用MATLAB解这个问题格外便利，列出程序ag763如下：A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]b=[33;45;3]x=A\b程序执行的结果为：0.2772x0.39190.2332即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合养重量。人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假设开头时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个重量表示，即xx ,ck

x

x

为郊区人口所占比例，kk x sk

sx 0.3k=0x

c0 。0 x 一年以后，市区人口为x=(1-0.02)x

+0.06x，郊区人口x

=0.02x+(1-0.06)x，c1用矩阵乘法来描述，可写成：

c0

s1 c0 s0xx

0.940.020.3Ax0.2960c1 1 x 0.060.98 0.7 0 0.7040此关系可以从初始时间到k年,扩展为x Ax A2x LAkx ,用以下k k1 k2 0MATLAB程序进展计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98]x0=[0.3;0.7]x1=A*x0,x10=A^10*x0x30=A^30*x0x50=A^50*x0程序运行的结果为：x0.2960,x 0.2717,x 0.2541, x 0.2508,1 0.7040 10 0.7283 30 0.7459 50 0.7492 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这以矩阵Au为稳态向量[0.25,0.75]Tu=[1,3]T和u=[-1,1]T。1 1 2可以看到，用A乘以这两个向量的结果不过是转变向量的长度，不影响其相角〔方向：Au0.94 0.0211u1 0.06 0.983

3 1 Au0.94 0.0210.920.92u2 0.06 0.981 0.92 2 初始向量x0u1和u2的线性组合；x0.300.2510.0510.25u0.05u0.70 3 0.70 3 0 1 2k因此 xk

Akx0

0.25u1

0.05(0.82)ku2式中的其次项会随着k的增大趋向于零。假设只取小数点后两位，则只要k>27，这其次项就可以无视不计而得到xkk27

Akx0

1

0.250.750.75得问题简洁化。这也是方阵求特征值的根本思想。这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列x1,x2,...,xk称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1k-1交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。〔每小时的车流数计算每两个节点之间路段上的交通流量x,x,x,x。1 2 3 4解：在每个节点上，进入和离开的车数应当相等，这就打算了四个流通的方程：节点A: x+450＝x+6101 2节点B: x+520＝x+4802 3节点C: x+390＝x+6003 4节点D: x+640＝x+3104 2将这组方程进展整理，写成矩阵形式：xx1 2xx2 3x - x3 4

=160=-40=210x1其系数增广矩阵为：1 1

x=-3304M160 1 1[A,b] 1

M-401M210

3单行线交通流图1 1M-330U0=rref([A,b]),可以得出其精简行阶梯形式为 1 0 0 -1M 0 1 0 -1MU0=

330170 0 0 1 -1M210 0 0 0 0M0 x,x,x,x

的系数，1 2 3 4果为：x=x+330,1 4x=x+170,2 4x=x+2103 40＝0来唯一地确定x,x,x,和x。其缘由也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个1 2 3 4但可以全面增加四条路上的流量。所以x被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自4由，由于规定了这些路段都是单行道，x,x,x,和x。都不能取负值。1 2 3 4所以要准确了解这里的交通流状况，还应当在x,x,x,和x中，再检测一个变量。1 2 3 4价格平衡模型在Leontiff的根本思路。假定一个国家或区域的经济可以分解为n个部门，这些部门都有生产产品或n元向量x是这些nRn空间的产出向量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简洁的状况。因此各经济部门生产出的产品，完Leontiff提出的第一个问题是，各生产部门的实际产出的价格p应当是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。Leontiff的输入输出模型中的一个根本假定是：对于每个部门，存在着一个在Rn空间单位消耗列向量v，它表示第i个部门每产出一个单位〔比方100万美金〕产品，由本部门i1。把这n个vn×n的系数矩阵，可称为内部需求矩阵V。i由以下部每单位输出的消耗安排销售价格p由以下部每单位输出的消耗安排销售价格p门购置煤炭业电力业钢铁业〔收入〕煤炭业0.0.40.6pc电力业0.60.10.2pe钢铁业0.40.50.2ps假设电力业产出了100个单位的产品，有40个单位会被煤炭业消耗，10个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是50个单位，各行业付出的费用为：0.4pve 2

p0.1 e0.5 e这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出p pc各部门消耗本钱＝pv [v,v,v]p销售收入 ccpv pvcc ee ss

c e s

e pe其中 c

,v,ve

0. 0.4 0.6 0.6 0.1 0.2 0.4 0.5 0.2

ps

ps于是总的价格平衡方程可以写成为：p–Vp=0(I–V)p=0或者用行阶梯简化来求解。用MATLAB语句写出其解的表示式：V=[0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2],U0=rref([[eye(3)-V],zeros(3,1)])程序运行的结果为1.0000 0 -0.9394 0U0 0 1.0000 -0.8485 00 0 0 0[I-V]的秩是2，所以它的行列式必定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住U0矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中p，p，p，的系数，所以简化行阶梯矩阵U0表示的是以下方程：

c e sp -0.9394pc s

=0

p=0.9394pc sp -0.8485pe s

=0

p =0.8485pe s这里取p为自由变量0.94和0.85s倍。假设钢铁业产品价格总计为100