2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版）根的判别式和根与系数的关系（重点题专项讲练）（原卷版）

专题21.2根的判别式和根与系数的关系【典例1】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+x22＝2，求m的值；（2）令T=mx1【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根，∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m≤1，∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3．（1）∵x12+x22＝2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2，整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），∴m的值为1；（2）T==m=m[(=m(4−2m−2=−2m(m−1＝2﹣2m．∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3．此时T没有意义．当m≠0时，﹣1≤m≤1，所以0≤2﹣2m≤4．即0≤T≤4且T≠2．1．（2021秋•南海区期末）已知5+12是一元二次方程x2﹣x+A．5−12 B．3−52 C．2．（2021秋•莲池区期末）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③3．（2020•江汉区校级自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．24．（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且1βA．254 B．−254 C．−5．（2020•江岸区校级自主招生）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（）A．−32＜m＜−14 B．mC．m≤−32或m≥−14 6．（2021秋•永春县期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；②若a+2c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；④若x＝2m方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．以上说法正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021秋•郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．8．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．9．（2020•涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．10．（2021秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2=−ba，x1•x211．（2021秋•绵阳期末）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2．（1）求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个实数根是﹣p+1，求p的值及方程的另一个实数根．12．（2021•江汉区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．13．（2021秋•九江期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．（1）请说明该方程实数根的个数情况；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求m的值．14．（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．15．（2021秋•麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．16．（2021秋•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的取值范围．17．（2021秋•乐平市期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣3）x+k＝0．（1）若原方程有实数根，求k的取值范围．（2）设原方程两根为x1，x2，是否存在实数k，使得1x1+118．（2021秋•黄石期末）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值．19．（2021秋•恩施市期末）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|=3？若存在，试求出k20．（2021秋•石狮市期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果x1，x2是方程的两个解，令w＝x1x22+x12x2+k，求w的最大值．21．（2021秋•鄞州区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根，解方程组xa22．（2021春•花山区校级月考）综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．（1）