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文档简介
第二十一讲
I.平均值,本征方程和薛定谔方程的矩阵形式。
(1)平均值:力学量在体系(处于态)中的平均值为
1
是在中的表示。若 包括力学量
北京大学量子力学ppt课件-第21讲2
B.对于两个算符乘积的平均值(2)本征方程:算符的本征方程在表象为
B.对于两个算符乘积的平均值3
从而有要方程组有非零解,即不全为,则要求系数行列式为,即
4由这求出.然后代入方程组求出相应的(3)薛定谔方程
在表象中,基矢为,则北京大学量子力学ppt课件-第21讲5
这即为表象中的薛定谔方程的矩阵形式。若不显含,而
表象就是表象,则
从而得
6
当不显含t,在表象中的表示为北京大学量子力学ppt课件-第21讲7
,由初态给出(它是时,在表象中表示),由在任一表象中求出。
,由初态给出8Ⅱ.量子态的不同描述波函数和算符不是直接观测量.仅力学量取值,及其几率分布(或几率)是直接观测量。因此,重要的是:①可能取的值
②
测量取的几率振幅
9
A.薛定谔绘景(SchrodingerPicture)若不显含,则A.薛定谔绘景(SchrodingerPict10
所以,这一变换是一幺正变换而本征方程若不显含,那,也与无关时刻,测量取值的几率振幅为
11
在薛定谔绘景的描述中,态矢量随t的变化,反映在它的表示随t的变化。而力学量的本征值及本征矢不随t变化。在薛定谔绘景的描述中,态矢量随t的变12B.海森堡绘景(HeisenbergPicture)
1.态矢量
2.算符和本征方程
13
本征值相同,基矢随时间演化
对易关系保持不变
本征值相同,基矢随时间演化14
3.算符随时间变化(运动方程)不显含北京大学量子力学ppt课件-第21讲15
这时北京大学量子力学ppt课件-第21讲16
4.本征矢随t变化
17
这表明,在H.P.中态矢量不随t变,而相应的本征矢沿一定方向反“转动”北京大学量子力学ppt课件-第21讲18将算符方程用于,将算符方程19
例:求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动量算符。
北京大学量子力学ppt课件-第21讲20显然,
21
但
22北京大学量子力学ppt课件-第21讲23第七章
自旋
在讨论电子在磁场中的运动时,我们发现电子具有轨道磁矩。如有外场存在,则这一轨道磁矩所带来的附加能量为
第七章自旋在讨论电子在磁场中的运动时,我24
如在方向北京大学量子力学ppt课件-第21讲25
显然是量子化的,它取个值在较强的磁场下(),我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象,而轨道磁矩的存在,能很好地解释它。但是,当这些原子或离子置入弱磁场~1T的环境中,或光谱分辨率提高后,发现问题并不是那么简单,这就要求人们进一步探索。
26§7.1电子自旋存在的实验事实(1)Stern-Gerlach实验(1922年)当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时,如果原子无磁矩,它将不偏转;而当原子具有磁矩,那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上,磁场在Z方向上有梯度即不均匀,则受力
§7.1电子自旋存在的实验事实27
从经典观点看取值(从),因此,不同原子(磁矩取向不同)受力不同,而取值
所以原子应分布在一个带上。但Stern-Gerlach发现,当一束处于基态的北京大学量子力学ppt课件-第21讲28银原子通过这样的场时,仅发现分裂成二束,即仅二条轨道(两个态)。银原子通过这样的场时,仅发现分裂成二束,29
而人们知道,银原子()基态,所以没有轨道磁矩.而分成二个状态(二个轨道),表明存在磁矩,这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的(核磁矩可忽),这磁矩称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋,它是电子的一个新物理量,也是一个新的动力学变量。(2)电子自旋存在的其他证据
A.碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线,波长为5893Å。
而人们知道,银原子()基态,30但精细测量发现,实际上,这是由两条谱线组成ÅÅ这一事实,从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B.反常塞曼效应(AnomalousZeemaneffect)原子序数为奇数的原子,其多重态是偶数,在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠和的两条光谱线,在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。
但精细测量发现,实际上,这是由两条谱线组成31北京大学量子力学ppt课件-第21讲32
C.在弱磁场中,能级分裂出的多重态的相邻能级间距,并不一定为
,而是。对于不同能级,可能不同,而不是简单为( 称为因子)。根据这一系列实验事实,G.Uhlenbeck)(乌伦贝克)和S.Goudsmit(古德斯密特)提出假设①电子具有自旋,并且有内禀磁矩,它们有关系
C.在弱磁场中,能级分裂出的多重态的相33
②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值
,所以以为单位,则(而)北京大学量子力学ppt课件-第21讲34
现在很清楚,电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正
现在很清楚,电子自旋的存在可由Dirac提出35
§7.2自旋-微观客体的一个动力学变量(1)
电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋,实验发现,它也具有内禀磁矩
36
假设:自旋算符有三个分量,并满足角动量所具有的对易关系A.对易关系
B.由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值,所以
37
于是
是一常数
C.
矩阵形式由于其分量仅取二个数值,也即本征值仅二北京大学量子力学ppt课件-第21讲38
个,所以可用矩阵表示。
①
若选作为力学量完全集,即取表象,那在自身表象中的表示自然为对角矩阵,而对角元就是它的本征值
39相应的本征矢其对应的表示为,
②
在表象中的矩阵表示
相应的本征矢40
我们知道,这只要将作用于的基矢并以基矢展开,从展开系数来获得.由
因此
我们知道,这只要将作用于的41和标积北京大学量子力学ppt课件-第21讲42
同理可得
43
得系数矩阵为转置得
44北京大学量子力学ppt课件-第21讲45系数矩阵为转置得对于在方向上的分量为
北京大学量子力学ppt课件-第21讲46北京大学量子力学ppt课件-第21讲47则本征矢
北京大学量子力学ppt课件-第21讲48
③
PauliOperator;为方便起见,引入泡利算符
于是,在表象中有(或称Pauli表象)
③PauliOperator;为方便起见,引49称为泡利矩阵由此得
称为泡利矩阵50
于是有
∴例.求的本征值,本征矢在表象中表示因已知在表象中的矩阵形式为
于是有
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