北京大学量子力学课件-第21讲

第二十一讲

I.平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式。

（1）平均值：力学量在体系（处于态）中的平均值为

1

是在中的表示。若 包括力学量

北京大学量子力学ppt课件-第21讲2

B.对于两个算符乘积的平均值（2）本征方程：算符的本征方程在表象为

B.对于两个算符乘积的平均值3

从而有要方程组有非零解，即不全为，则要求系数行列式为，即

4由这求出.然后代入方程组求出相应的（3）薛定谔方程

在表象中，基矢为，则北京大学量子力学ppt课件-第21讲5

这即为表象中的薛定谔方程的矩阵形式。若不显含，而

表象就是表象，则

从而得

6

当不显含t，在表象中的表示为北京大学量子力学ppt课件-第21讲7

，由初态给出（它是时，在表象中表示），由在任一表象中求出。

，由初态给出8Ⅱ.量子态的不同描述波函数和算符不是直接观测量.仅力学量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量。因此，重要的是：①可能取的值

②

测量取的几率振幅

9

A.薛定谔绘景（SchrodingerPicture）若不显含，则A.薛定谔绘景（SchrodingerPict10

所以，这一变换是一幺正变换而本征方程若不显含，那，也与无关时刻，测量取值的几率振幅为

11

在薛定谔绘景的描述中，态矢量随t的变化，反映在它的表示随t的变化。而力学量的本征值及本征矢不随t变化。在薛定谔绘景的描述中，态矢量随t的变12B.海森堡绘景（HeisenbergPicture）

1.态矢量

2.算符和本征方程

13

本征值相同，基矢随时间演化

对易关系保持不变

本征值相同，基矢随时间演化14

3.算符随时间变化（运动方程）不显含北京大学量子力学ppt课件-第21讲15

这时北京大学量子力学ppt课件-第21讲16

4.本征矢随t变化

17

这表明，在H.P.中态矢量不随t变，而相应的本征矢沿一定方向反“转动”北京大学量子力学ppt课件-第21讲18将算符方程用于，将算符方程19

例：求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动量算符。

北京大学量子力学ppt课件-第21讲20显然，

21

但

22北京大学量子力学ppt课件-第21讲23第七章

自旋

在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩。如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为

第七章自旋在讨论电子在磁场中的运动时，我24

如在方向北京大学量子力学ppt课件-第21讲25

显然是量子化的，它取个值在较强的磁场下（），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场~1T的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。

26§7.1电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度即不均匀，则受力

§7.1电子自旋存在的实验事实27

从经典观点看取值（从）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值

所以原子应分布在一个带上。但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的北京大学量子力学ppt课件-第21讲28银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，29

而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩.而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据

A．碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线，波长为5893Å。

而人们知道，银原子（）基态，30但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成ÅÅ这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B．反常塞曼效应（AnomalousZeemaneffect）原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。

但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成31北京大学量子力学ppt课件-第21讲32

C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为

，而是。对于不同能级，可能不同，而不是简单为( 称为因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设①电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系

C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相33

②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值

，所以以为单位，则（而）北京大学量子力学ppt课件-第21讲34

现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正

现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出35

§7.2自旋－微观客体的一个动力学变量(1)

电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩

36

假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系A.对易关系

B.由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值，所以

37

于是

是一常数

C.

矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二北京大学量子力学ppt课件-第21讲38

个，所以可用矩阵表示。

①

若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值

39相应的本征矢其对应的表示为，

②

在表象中的矩阵表示

相应的本征矢40

我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得.由

因此

我们知道，这只要将作用于的41和标积北京大学量子力学ppt课件-第21讲42

同理可得

43

得系数矩阵为转置得

44北京大学量子力学ppt课件-第21讲45系数矩阵为转置得对于在方向上的分量为

北京大学量子力学ppt课件-第21讲46北京大学量子力学ppt课件-第21讲47则本征矢

北京大学量子力学ppt课件-第21讲48

③

PauliOperator；为方便起见，引入泡利算符

于是，在表象中有（或称Pauli表象）

③PauliOperator；为方便起见，引49称为泡利矩阵由此得

称为泡利矩阵50

于是有

∴例．求的本征值，本征矢在表象中表示因已知在表象中的矩阵形式为

于是有