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文档简介

第二十一讲

I.平均值,本征方程和薛定谔方程的矩阵形式。

(1)平均值:力学量在体系(处于态)中的平均值为

1

是在中的表示。若 包括力学量

北京大学量子力学ppt课件-第21讲2

B.对于两个算符乘积的平均值(2)本征方程:算符的本征方程在表象为

B.对于两个算符乘积的平均值3

从而有要方程组有非零解,即不全为,则要求系数行列式为,即

4由这求出.然后代入方程组求出相应的(3)薛定谔方程

在表象中,基矢为,则北京大学量子力学ppt课件-第21讲5

这即为表象中的薛定谔方程的矩阵形式。若不显含,而

表象就是表象,则

从而得

6

当不显含t,在表象中的表示为北京大学量子力学ppt课件-第21讲7

,由初态给出(它是时,在表象中表示),由在任一表象中求出。

,由初态给出8Ⅱ.量子态的不同描述波函数和算符不是直接观测量.仅力学量取值,及其几率分布(或几率)是直接观测量。因此,重要的是:①可能取的值

测量取的几率振幅

9

A.薛定谔绘景(SchrodingerPicture)若不显含,则A.薛定谔绘景(SchrodingerPict10

所以,这一变换是一幺正变换而本征方程若不显含,那,也与无关时刻,测量取值的几率振幅为

11

在薛定谔绘景的描述中,态矢量随t的变化,反映在它的表示随t的变化。而力学量的本征值及本征矢不随t变化。在薛定谔绘景的描述中,态矢量随t的变12B.海森堡绘景(HeisenbergPicture)

1.态矢量

2.算符和本征方程

13

本征值相同,基矢随时间演化

对易关系保持不变

本征值相同,基矢随时间演化14

3.算符随时间变化(运动方程)不显含北京大学量子力学ppt课件-第21讲15

这时北京大学量子力学ppt课件-第21讲16

4.本征矢随t变化

17

这表明,在H.P.中态矢量不随t变,而相应的本征矢沿一定方向反“转动”北京大学量子力学ppt课件-第21讲18将算符方程用于,将算符方程19

例:求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动量算符。

北京大学量子力学ppt课件-第21讲20显然,

21

22北京大学量子力学ppt课件-第21讲23第七章

自旋

在讨论电子在磁场中的运动时,我们发现电子具有轨道磁矩。如有外场存在,则这一轨道磁矩所带来的附加能量为

第七章自旋在讨论电子在磁场中的运动时,我24

如在方向北京大学量子力学ppt课件-第21讲25

显然是量子化的,它取个值在较强的磁场下(),我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象,而轨道磁矩的存在,能很好地解释它。但是,当这些原子或离子置入弱磁场~1T的环境中,或光谱分辨率提高后,发现问题并不是那么简单,这就要求人们进一步探索。

26§7.1电子自旋存在的实验事实(1)Stern-Gerlach实验(1922年)当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时,如果原子无磁矩,它将不偏转;而当原子具有磁矩,那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上,磁场在Z方向上有梯度即不均匀,则受力

§7.1电子自旋存在的实验事实27

从经典观点看取值(从),因此,不同原子(磁矩取向不同)受力不同,而取值

所以原子应分布在一个带上。但Stern-Gerlach发现,当一束处于基态的北京大学量子力学ppt课件-第21讲28银原子通过这样的场时,仅发现分裂成二束,即仅二条轨道(两个态)。银原子通过这样的场时,仅发现分裂成二束,29

而人们知道,银原子()基态,所以没有轨道磁矩.而分成二个状态(二个轨道),表明存在磁矩,这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的(核磁矩可忽),这磁矩称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋,它是电子的一个新物理量,也是一个新的动力学变量。(2)电子自旋存在的其他证据

A.碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线,波长为5893Å。

而人们知道,银原子()基态,30但精细测量发现,实际上,这是由两条谱线组成ÅÅ这一事实,从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B.反常塞曼效应(AnomalousZeemaneffect)原子序数为奇数的原子,其多重态是偶数,在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠和的两条光谱线,在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。

但精细测量发现,实际上,这是由两条谱线组成31北京大学量子力学ppt课件-第21讲32

C.在弱磁场中,能级分裂出的多重态的相邻能级间距,并不一定为

,而是。对于不同能级,可能不同,而不是简单为( 称为因子)。根据这一系列实验事实,G.Uhlenbeck)(乌伦贝克)和S.Goudsmit(古德斯密特)提出假设①电子具有自旋,并且有内禀磁矩,它们有关系

C.在弱磁场中,能级分裂出的多重态的相33

②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值

,所以以为单位,则(而)北京大学量子力学ppt课件-第21讲34

现在很清楚,电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正

现在很清楚,电子自旋的存在可由Dirac提出35

§7.2自旋-微观客体的一个动力学变量(1)

电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋,实验发现,它也具有内禀磁矩

36

假设:自旋算符有三个分量,并满足角动量所具有的对易关系A.对易关系

B.由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值,所以

37

于是

是一常数

C.

矩阵形式由于其分量仅取二个数值,也即本征值仅二北京大学量子力学ppt课件-第21讲38

个,所以可用矩阵表示。

若选作为力学量完全集,即取表象,那在自身表象中的表示自然为对角矩阵,而对角元就是它的本征值

39相应的本征矢其对应的表示为,

在表象中的矩阵表示

相应的本征矢40

我们知道,这只要将作用于的基矢并以基矢展开,从展开系数来获得.由

因此

我们知道,这只要将作用于的41和标积北京大学量子力学ppt课件-第21讲42

同理可得

43

得系数矩阵为转置得

44北京大学量子力学ppt课件-第21讲45系数矩阵为转置得对于在方向上的分量为

北京大学量子力学ppt课件-第21讲46北京大学量子力学ppt课件-第21讲47则本征矢

北京大学量子力学ppt课件-第21讲48

PauliOperator;为方便起见,引入泡利算符

于是,在表象中有(或称Pauli表象)

③PauliOperator;为方便起见,引49称为泡利矩阵由此得

称为泡利矩阵50

于是有

∴例.求的本征值,本征矢在表象中表示因已知在表象中的矩阵形式为

于是有

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