北师大版九年级数学下册练习：章末复习(一)　直角三角形的边角关系

第页章末复习(一)直角三角形的边角关系分点突破知识点1锐角三角函数1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，以下等式中，正确的选项是(C)A.sinA＝eq\f(b,c)B.cosB＝eq\f(c,a)C.tanA＝eq\f(a,b)D.tanB＝eq\f(a,b)2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，以下结论成立的是(C)A.sinA＝eq\f(12,5)B.cosA＝eq\f(5,13)C.tanA＝eq\f(5,12)D.cosB＝eq\f(12,13)知识点2特殊角的三角函数值3.eq\r(〔tan30°－1〕2)的值是(A)A.1－eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),3)－1D.1－eq\r(3)4.∠A，∠B，∠C分别是△ABC的三个内角，假设(2sinA－1)2＋eq\r(cosB－\f(1,2))＝0，那么△ABC的形状为直角三角形.5.计算：(1)(－1)2－2cos30°＋eq\r(3)＋(－2019)0；解：原式＝1－2×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＋1＝1－eq\r(3)＋eq\r(3)＋1＝2.(2)eq\f(3tan30°－2tan60°,cos60°)＋4sin60°.解：原式＝eq\f(3×\f(\r(3),3)－2×\r(3),\f(1,2))＋4×eq\f(\r(3),2)＝－2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝0.知识点3解直角三角形6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，b＝1，那么a＝eq\r(3)，∠B＝30°.7.(2023·自贡)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的长.解：过点C作CD⊥AB交AB于点D.∵∠B＝30°，BC＝12，∴CD＝6.在Rt△BDC中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝6eq\r(3).∵tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3,4)，∴AD＝8.∴AB＝AD＋BD＝8＋6eq\r(3).在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10.知识点4三角函数的实际应用8.(2023·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，那么小河宽PA等于(C)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米9.(2023·宜宾)某游乐场一转角滑梯如下图，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高(结果保存根号).解：过点C作CF⊥AB于点F，设CD为x米.由题意知，∠ACF＝∠FCE＝30°，BF＝x，AF＝30－x.在Rt△AFC中，tan30°＝eq\f(AF,FC)，∴FC＝eq\f(30－x,\f(\r(3),3))＝30eq\r(3)－eq\r(3)x.在Rt△CED中，∠CED＝∠FCE＝30°，tan∠CED＝eq\f(x,DE)，∴DE＝eq\f(x,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)x.∴BD＝BE＋DE＝10＋eq\r(3)x.又∵FC＝BD，∴30eq\r(3)－eq\r(3)x＝10＋eq\r(3)x.解得x＝15－eq\f(5,3)eq\r(3).∴立柱CD的高为(15－eq\f(5,3)eq\r(3))米.易错题集训10.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－eq\r(3))·(2sinA－eq\r(3))＝0，那么△ABC一定是(D)A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.有一个角是60°的三角形11.等腰三角形两条边的长分别是3，7，底角为α，那么cosα＝eq\f(3,14).12.AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝eq\r(3)，那么∠BAC＝75°或15°.13.在△ABC中，tanA＝eq\f(3,4)，AB＝5，BC＝4，那么AC的长等于4＋eq\r(7)或4－eq\r(7).中考题型演练14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，假设斜边AB是直角边BC的3倍，那么tanB的值是(D)A.eq\f(1,3)B.3C.eq\f(\r(2),4)D.2eq\r(2)15.(2023·宜昌)△ABC在网格中的位置如下图(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，以下选项中，错误的选项是(C)A.sinα＝cosαB.tanC＝2C.sinβ＝cosβD.tanα＝116.如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3eq\r(5)米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.假设AB＝10米，那么旗杆BC的高度为(A)A.5米BC.8米D.(3＋eq\r(5))米17.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)假设∠A＝60°，求BC的长；(2)假设sinA＝eq\f(4,5)，求AD的长.解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝eq\f(BE,AB)，∴∠E＝30°，BE＝tan60°×6＝6eq\r(3).又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝eq\f(CD,CE)，∠E＝30°，∴CE＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq\r(3)－8.(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(4,5)，∴设BE＝4x，那么AE＝5x.∴AB＝3x.∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(6,8)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(4,DE)，解得DE＝eq\f(16,3).∴AD＝AE－DE＝10－eq\f(16,3)＝eq\f(14,3).18.(2023·河南)“上下杠〞是女子体操特有的一个竞技工程，其比赛器材由高、低两根平行杠及假设干支架组成，运发动可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据上下杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答.如下图，底座上A，B两点间的距离为90cm，低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm.低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm，参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.495，sin80.3°≈0.98