“创新杯”全国数学邀请赛金牌辅导（初中一年级）

目录2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级复试2005年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试2005年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第二试2004年第二届“创新杯”数学邀请赛初中一年级初试2003年第一届“创新杯”全国数学邀请赛初中一年级第一试2003年第一届“创新杯”全国数学邀请赛初中一年级第二试2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试一、选择题．有理数，在数轴上的位置如图所示，则在，，，，这五个数中，正数的个数是（ ）。A． B． C． D．【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】B查看答案【解析】由图可得：，。，，，，，即正数共有2个。【评注】只需根据数轴判断每项的正负号。．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西，如果这枚指针再按逆时针方向旅转周，则所得指针的的指向是（ ）。A．南偏东 B．西偏北C．南偏东 D．西偏北【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】C查看答案【解析】如图所示：周即是90°，故逆时针旋转90°后，达到射线的位置，即南偏东40°或东偏南50°。【评注】只要画出具体的方位图，即可很快得到结果。．以不在一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多可作（）。A．个 B．个 C．个 D．个【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】B查看答案【解析】不妨记已知的三个点为A、B、C，另一个点为D。当AB、BC为该平行四边形的边时，有1种情况（AC为对角线）；当AC、BC为该平行四边形的边时，有1种情况（AB为对角线）；当AC、AB为该平行四边形的边时，有1种情况（BC为对角线）。【评注】三个顶点可连成三条线段，从中选两条分别作为平行四边形的两条相邻边即可作平行四边形，而这种选择有三种。．（）。A． B． C． D．【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】A查看答案【解析】，，，。故，。令，则。原式。【评注】善于发现规律，并灵活运用整体代换的思想。．在一个圆形时钟的表面，为指针的旅转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是点整，当的面积刚好达到最大值时，经过了（）。A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】C查看答案【解析】秒针一秒走6度，分针一秒走0.1度，即秒针与时针一秒相距5.9度。，、固定不变，故的面积只与和的夹角有关。夹角越趋近90度时，的面积越大。设经过的时间为秒，则有，故秒。【评注】关键是找到面积最大时的情形。．如图，，，则（）。A． B． C． D．【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】C查看答案【解析】在中，由三角形内角之和等于180°，可得，故。【评注】直接利用三角形内角和为的性质。．为了了解一批灯泡的寿命，我们①把这批灯炮称为总体；②可以进行全面调查；③可以选取第一批出厂的100个灯泡被称为样本；④从中取100个灯泡作试验，这100个灯泡被称为样本。在上述说法和做法构成的4个条款中，正确条款的个数是（）。A．0 B．1 C．2 D．3【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】C查看答案【解析】①是正确的；②是可以操作的，但是，如果这样操作的话，没有必要，浪费不必要的时间和精力；③是错误的，应在每一批中都选取一部分，不应该都在一批同时出厂的里面选取，这样不能反应总体灯泡的寿命情况；④是正确的。故①④正确。【评注】对于大数量的产品，一般不可能全面调查，只会从中抽取一些样本作试验。8如图，表示某位学生平时一天的作息时间安排，只是其中反映其它活动时间的条形图不幸被墨水复盖，为迎接“创新杯”竞赛，该生准备调整自己的作息时间，即减少1个小时的睡觉时间和其它活动时间的，全部用于在家学习，那么现在他用于在家学习的时间是（）。A．4小时 B．5小时C．6小时D．7小时【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】C查看答案【解析】从图中可以看到，在校的时间是10小时，睡觉的时间是7小时，在家学习的时间是3小时。因为一天共有24小时，故其它活动的时间等于小时。调整后，睡觉的时间是6小时，其它活动的时间是2小时，在校的10小时不变，故在家学习的时间是小时。【评注】这里有一个隐含条件，即全天的总时间24小时不变，这样即可求出其它活动的时间。9在正方形的表面上有如图所示的粗线，将其展开，但展开图只在A面上画有粗线，那么将展开图中剩余两个粗线画出，画法正确的是（）。A． B．C． D．【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】A查看答案【解析】记原来未张开的图的六个面分别为前、后、左、右、上、下，故前、上、右三个面上有粗线。将图张开后的图如下：故正确选项为A。【评注】关键是找准粗线所在的具体方位。10用表示不大于的最大整数，如，=3，设，则（ ）。A．0 B．1 C．2 D．3【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】B查看答案【解析】，，，…，。猜测（）后一项与前一项的差依次为22，24，26，28，…。第项比108大。故原式中的分母分别为108，130，154，180，208，238，270，…，2160，2254，2350，2448。，，，，，，…，，，，。故。，故。【评注】要善于发现规律从而化简求解。二、填空题。11某电台“市民热线”对上周内接到的热线电话进行了分类统计，得到的扇形图如图所示，其中有关房屋建筑的电话有30个，则有关环境的电话有     个。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】45查看答案【解析】有关房屋建设的电话占了，有关道路交通的电话占了，有关医疗卫生的电话占了，故有关环境卫生的电话占了。有关房屋建设的30个电话占了总数的，故电话总数为个，故有关环境的电话有个。【评注】只要求出有关环境的电话占总共电话的份数和总共的电话数即可。12     。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】1.59查看答案【解析】【评注】提取公因式以简化运算。13某商场计划每月销售900台电脑，10月1日至7日黄金周期间，商场决定开展促销活动，10月的销售计划又要增加了30%，己知黄金周这7天平均每天销售54台，则这个商场本月后24天平均每天至少销售台才能完成这个月的计划。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】33查看答案【解析】10月的销售计划增加了30%后，要销售台。黄金7天总共销售了台，故剩余24天共要销售台，故平均每天至少要销售台。【评注】主要是求出这个月必须要达到的总的销售额。14如图一个3×3的正方形，则图中     度。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】【解析】由对称性（正方形的对角线为对称轴）可得：，，。由图可得：。故【评注】注意各角度之间的关系，以及余角的灵活运用。15某房地产开发公司计划筹资建A，B两种户型的住房80套，所筹资金不少于2090万元，不超过2096万元，两种户型的建房成本和售价如下表 AB成本（万元/套）2528售价（万元/套）3034该公司可获得的最大利润是     万元．（注：利润=售价－成本）【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】1948查看答案【解析】设资建A，B两种户型的住房分别为、套，均为正整数。依题意得：，利润。现在在坐标轴上画出不等式组的范围：如图所示，EF的斜率小于AC，BD，沿着AC和BD所构成的区域平移EF，得到应该在B点达到最大值。而B点的坐标可求出为（，），这里y不为整数，故不是最优解。于是我们在此点周围寻求最优解。经验证得，在点（2，73）处取得最大值为1948。即该公司可获得的最大利润为1948万元。【评注】利用线性规划的方法简单明了，要注意的是满足最优解的点必须要符合题意。【说明】图画的有问题，EF应该更倾斜一些。16有一机器人，它能根据指令进行走旋转，某一指令规定：机器人先向前走一米，然后左转15°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了     米。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试17在，，的条件下，考察下列推导过程：，①；∴②；∴③；即④；∴⑤；∴⑥；在上述①→②，②→③，③→④，④→⑤，⑤→⑥等5个步聚中，错误的步聚是     。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】④→⑤【解析】因为若，即，故无法根据，即而得到。【评注】当等式两边消去相同的因子时，一定要考虑因子是否为0的情况。18一个二位数加上9后，得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍，则原来的二位数是     。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】63查看答案【解析】设原来的二位数是，则有。假设：因为，所以，即，故的取值有2，…，9。因为，所以的个位数为，十位数为；当时，的个位数为0，十位数为．此时：，即（舍）；当时，的个位数为，十位数为；此时：，，联立解得：，。综上：原来的二位数＝63。【评注】类似问题一般都是设未知数找等量关系从而进行求解。19记关于的方程为A，考虑如下说法：①当的取某些值时，方程A有两个整数解；②对某个有理数，方程A有唯一整数解；③当不是整数时，方程A没有整数解；④不论为何值，方程A至少有4个整数解．其中正确说法的序号是     。【来源】2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试【答案】②③【解析】当时，方程化简为：，每个值，只有一个值与其对应；当时，方程化简为：，每个值，只有一个值与其对应；当时，方程化简为：，即当时，方程的整数解为；故方程解的情况只有两种：唯一解或多解；当，时，都是每个值，只有一个值与其对应，即与时一一对应的，故当为整数时，也必须为整数。综上：①、④是错误的，②、③是正确的。【评注】去绝对值时必须分类讨论。20设和是两个自然数，考虑下述四句话：①＋1能被整除；②；