有限元法基础课件

2023/8/4有限元法基础2023/7/31有限元法基础2研究方法1.理论分析2.科学实验3.科学计算将实际结构简化，得到简化模型，通过简化模型求得变形、应力等。缺点：与实际结构有差别；优点：计算简单。采用实际结构，并利用实验的方法得到结构在各种工况下的变形和应力。优点：与实际情况符合；缺点：代价高。采用实际结构相类似的模型，并利用科学计算的方法得到结构在各种工况下的变形和应力。优点：与实际情况符合，代价低；缺点：需要经验，且需要大型计算机。2研究方法1.理论分析2.科学实验3.科学计算将应用产品结构表示应用产品结构表示有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元发展过程有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEM在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制

近年来随着计算机技术的普及和计算机速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：<1>增加产品和工程的可靠性；<2>在产品的设计阶段发现潜在的问题；<3>经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本；<4>缩短产品投向市场的时间；<5>模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费。

有限元的应用范围近年来随着计算机技术的普及和计算机速度的不断提高，有从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。各个方向的发展过程和方向从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题各个方向的发展过程由求解线性工程问题进展到分析非线性问题线性理论已经远远不能满足设计的要求。

例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABAQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。各个方向的发展过程和方向由求解线性工程问题进展到分析非线性问题各个方向的发展过程和方增强可视化的前置建模和后置数据处理功能随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。各个方向的发展过程和方向增强可视化的前置建模和后置数据处理功能各个方向的发展过程和方增强可视化的前置建模和后置数据处理功能目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。各个方向的发展过程和方向增强可视化的前置建模和后置数据处理功能各个方向的发展过程和方与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用，即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。

各个方向的发展过程和方向与CAD软件的无缝集成各个方向的发展过程和方向过程仿真可对一些物理过程进行仿真，如冲压成型，金属切削，注射成型，碰撞过程等，以计算一些比较复杂的过程参数。

各个方向的发展过程和方向过程仿真各个方向的发展过程和方向目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABAQUS、ADINA、Midas、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、力学基础：弹性力学2023/8/4有限单元法简介14方程求解原理：加权余量法和泛函求极值原理实现方法：数值离散技术载体：有限元分析软件力学基础：弹性力学2023/7/31有限单元法简介14方程求应用实例鸟巢奥运会场馆应用实例鸟巢奥运会场馆水轮机叶轮的受力分析模拟应用实例水轮机叶轮的受力分析模拟应用实例轴承强度分析应用实例轴承强度分析应用实例三维椭圆封头开孔补强应用实例三维椭圆封头开孔补强应用实例应用实例应用实例三、有限元法的特点和应用优点：

1.概念清楚，容易理解。可以在不同水平上建立起对该方法的理解。

2.适应性强，应用范围广泛。可用于求解采用其他数值方法求解困难的问题。特别适合求解具有复杂几何形状的问题，因为它可以划分各种形式的网格。如复杂结构形状的问题，复杂边界条件问题，动力学问题，非线性问题。

3.采用矩阵形式来表达，便于编制计算机程序，可以充分利用计算机资源，

4.有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可充分利用计算机的优势。目前在国内外有许多通用程序，可以直接套用。著名的有SAP系列，ADINA，ANSYS，ASKA，NASTRAN，MARK，PATRAN等。三、有限元法的特点和应用优点：5、有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。5、有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其有限单元法一、数值模拟方法概述二、有限单元法简介三、有限单元法分析步骤四、利用有限元软件进行工程分析有限单元法一、数值模拟方法概述一、数值模拟方法概述

工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，但是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和边界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的载荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。一、数值模拟方法概述工程技术领域中的许多力学一、数值模拟方法概述

解决这类复杂问题主要有两种方法：1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态，然后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解答）2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题的近似解（较多采用）数值模拟技术（即CAE技术，Computer-AidedEngineering）是人们在现代数学、力学理论的基础上，借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值近似解，是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。一、数值模拟方法概述解决这类复杂问题主要有两种方法一、数值模拟方法概述

目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：

1、有限单元法FEM（FiniteElementMethod）

2、边界元法BEM（BoundaryElementMethod）

3、有限差分法FDM（FiniteDifferenceMethod4、离散单元法DEM（DiscreteElementMethod）其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。一、数值模拟方法概述目前在工程技术领域内常用的数一、数值模拟方法概述

数值模拟结合计算机技术形成的应用软件在工程中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用软件有：ANSYS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MSC.MARC,ABAQUS,ADINA,FLAC等它们大多采用FORTRAN语言编写，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理和后处理程序。大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使用方便，功能强大。一、数值模拟方法概述数值模拟结合计算机技术形二、工程和科学中典型问题

在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第有限元法基础ppt课件有限元法基础ppt课件

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统，或场问题。

尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，有限元法基础ppt课件三、有限单元法简介

虽然近些年才采用了有限元这个名字，有限元的概念在几个世纪以前就已经用过了。例如：古代数学家用多边形逼近圆的办法求出圆周长以及圆的面积；现在人们日常生活中丈量土地的时候也是分成一块一块进行的，这都是利用了有限元的基本思想－化整为零。现代有限元法第一个成功的尝试，是Tunner，clough等人于1956年将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，并分析飞机结构的各杆件的受力和变形，他们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。三、有限单元法简介虽然近些年才采用了有限元这个结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提供整体结构的力学特性。结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。前者只能用以分析具有已知单元节点力—单元节点位移关系的杆系结构，而不能分析非杆系的连续体结构。因为对于离散所得的非杆系连续体单元，无法像矩阵位移法那样用传统方法建立起单元节点力和单元节点位移之间的关系。结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限个力学小单元相分析具有已知单元节点力—单元节点位移关系的杆系结构，而不能分析非杆系的连续体结构。矩阵位移法既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续体结构。有限元法分析具有已知单元节点力—单元节点位移关系的杆系结构，而不能分有限单元法的常用术语：三、有限单元法简介真实系统有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义有限单元法的常用术语：三、有限单元法简介真实系统有限元模型自由度（DOFs－degreeoffreedoms）自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs

结构 位移热

温度电 电位流体压力磁 磁位

研究方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ自由度（DOFs－degreeoffreedoms）自节点和单元节点:

空间中的坐标位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。单元:

一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷...AB节点和单元节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和单元节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点

单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点单元类型变化的单元形函数FEA（Finiteelementanalysis）仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。单元形函数FEA（Finiteelementanalys真实的二次曲线.节点单元

二次曲线的线性近

(不理想结果).2单元形函数(续)节点单元DOF值二次分布..1节点

单元

线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)

(最理想结果)..4真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近.2单元形函数

随着所分析问题的大型化、复杂化，除了需要进一步研究各种高精度单元外，考虑到多年来力学研究成果已经取得部分“精确解”，人们开始利用这些成果将有限元的离散思想和经典解法的解析结果结合起来，以便获得效率、精度更高的方法。研究的结果就产生了一类“半解析”的数值方法，例如有限条法，组合条元法、边界元法等。随着所分析问题的大型化、复杂化，除了需要进一四、有限单元法分析步骤有限元法分析问题的基本步骤：1、结构的离散化离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容量来决定.四、有限单元法分析步骤有限元法分析问题的基本步骤：用于离散求解区域连续体的单元类型大致有如下几种：1)一维线性单元a一个单元b二个单元cn个单元用于离散求解区域连续体的单元类型大致有如下几种：1)一维线性有限元法基础ppt课件2)二维结构最常用的为三角形单元、四边形单元、八边形单元等a三角形单元b四边形单元2)二维结构最常用的为三角形单元、四边形单元、八边形单元等a有限元法基础ppt课件2023/8/4有限单元法简介473)三维结构一般用四面体单元和六面体单元a四面体单元b六面体单元2023/7/31有限单元法简介473)三维结构一般用四面体2023/8/4有限单元法简介48单元划分时，应注意以下几点：

1）从有限元本身看，单元划分得越细，节点布置得越多，计算结果也越准确。

2）在边界比较曲折，应力比较集中，且变化较大的地方，单元应分得细一些，相反，变化不大的地方则单元可划分得大一些，单元由小到大应逐步过渡。

3）对三角形单元，三条边长度应尽量接近，也不应出现钝角，对矩形单元，长度比不宜过大。

4）任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元的角点，而不能是相邻单元边上的内点。2023/7/31有限单元法简介48单元划分时，应注意以下几2023/8/4有限单元法简介495）当系统由不同厚度或不同弹性系数时，则厚度或弹性系数突变之处应是单元的边线。6）应在分布载荷有突变之处或受有集中载荷处布置节点，其附近单元也应划得更小一些。单元划分完毕后，要将全部单元及全部节点按一定顺序编号，单元号及节点号均不能有错漏或重复。在三角形三节点单元中，节点的顺序必须是逆时针的。2023/7/31有限单元法简介495）当系统由不同厚度或不有限元法基础ppt课件四、有限单元法分析步骤2、选择位移插值函数为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。四、有限单元法分析步骤2、选择位移插值函数选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。选择位移模式四、有限单元法分析步骤3、分析单元的力学特性根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。四、有限单元法分析步骤3、分析单元的力学特性计算等效节点力

物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。计算等效节点力

物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元四、有限单元法分析步骤4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程

先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵5、由平衡方程求解未知节点位移按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求解。四、有限单元法分析步骤4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构四、有限单元法分析步骤6、单元应变和应力的计算根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位移插值函数算出单元的应变和应力。四、有限单元法分析步骤6、单元应变和应力的计算五、利用有限元软件进行工程分析

所有的通用有限元软件都包括：前处理、求解器、后处理三个有逻辑顺序的模块。在进行实际工程分析时，也该按照以上三个模块来进行。进入求解器进行求解（设定分析步骤，输出变量）前处理（建模、材料特性、单元选择及划分）进入后处理（变形图、等值线图，列表显示等等后处理）五、利用有限元软件进行工程分析所有的通用有限元软件都包四、利用有限元软件进行工程分析利用有限元软件进行工程问题的分析，一般应按下列步骤进行：（一）、制订分析方案需考虑以下几个方面：important四、利用有限元软件进行工程分析利用有限元软件进行工程问题的分1、分析领域

几何体

载荷

物理系统结构热电磁1、分析领域几何体2、分析目标力？位移？温度？还是其他？2、分析目标力？位移？温度？还是其他？3、线性/非线性分析“我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线性特性？”许多情况和物理现象都要求进行非线性计算。(a)订书钉t0t1t2t3Fu(b)木制书架b1b2(c)气动带FuFu3、线性/非线性分析“我的物理系统是在线性还是非线性状态4、静力/

动力分析静力求解能否满足你的分析要求？如果不能，应当进行那种动力分析？动力分析的所有载荷都是随时间变化的，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。一般情况下，激励频率低于结构最小固有频率的1/3时静力求解就足够了。惯性力是动力问题不同于静力问题的关键之处。准则4、静力/动力分析静力求解能否满足你的分析要求？如果不能结构分析的类型:静力分析-用于静态载荷.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如:大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.模态分析-计算线性结构的自振频率及振形.谱分析

是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作

响应谱或

PSD).结构分析的类型:5、分析细节的考虑在建立分析模型之前必须制订好建模方案：必须考虑那些细节问题？对称/反对称/轴对称？模型中存在应力奇异？选用那种类型的单元？线单元壳单元X－Y平面单元平面应力或应变单元轴对称单元谐单元实体单元专用单元线性单元/高阶单元/P单元四边形单元/三角形单元，块单元/四面体单元5、分析细节的考虑在建立分析模型之前必须制订好建模方案：6、充分利用结构的对称性PPPPP6、充分利用结构的对称性PPPPP有限元法基础ppt课件7、网格密度相邻单元的尺寸尽可能接近应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算机的容量和计算精度结点所连接的单元个数尽可能一致。宜不宜7、网格密度相邻单元的尺寸尽可能接近应力变化大处单元应密集一8、单位制注意：ANSYS和ABAQUS大型有限元软件中，没有固定的单位制，大家在使用的过程中，可以自己选用前后一致的一套单位制，则最后所得结果的单位即为即为所选单位制对应的单位。建议：尽量采用国际单位制8、单位制注意：ANSYS和ABAQUS大型有限元软件中，没9、材料特性材料特性是有限元分析必须提供的数据，其准确与否直接影响到计算的精度；必要的时候需通过试验提供；一个复杂分析中可能包含很多种性质截然不同的材料，建模的时候应以足够的关键字以识别；很多有限元软件中，都提供用户接口，若软件中没有现成的材料模型，用户可以自行添加9、材料特性材料特性是有限元分析必须提供的数据，其准