安徽省2024年中考数学试卷附真题解析

安徽省2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．的绝对值是（）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：|-5|=-(-5)=5.故答案为：A.【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数可求解.2．据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：944万=994×104=9.94×106.故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：上面是个锥体，下面是个柱体，

由俯视图为圆，可得上面是个圆锥，下面是个圆柱.故答案为：D.【分析】由主视图和左视图知：上面是个锥体，下面是个柱体，由俯视图可知上面是个圆锥，下面是个圆柱.4．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，故不符合题意；

B、，故不符合题意；

C、，正确，故符合题意；

D、当a≥0时，，故不符合题意；故答案为：C.【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及算术平方根的性质的双重非负性分别计算，再判断即可.5．若扇形AOB的半径为6，，则的长为（）A．2π B．3π C．4π D．6π【答案】C【解析】【解答】解：的长为=4π.故答案为：C.【分析】弧长公式为，据此计算即可.6．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（）A． B． C．1 D．3【答案】A【解析】【解答】解：把x=3代入中，得y=-1，

∴交点坐标为（3，-1），

把（3，-1）代入中，得k=xy=3×(-1)=-3.故答案为：A.【分析】把x=3代入中求出y值，即得交点坐标，再将交点坐标代入中即可求出k值.7．如图，在中，，点D在AB的延长线上，且，则BD的长是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB，在中，，

∴AB=AC=2，

∴AB=CD=2，

∵CE⊥AB，AC=BC，

∴CE=AB=，

∴DE==，

∴BD=DE-BE=-.

故答案为：B.【分析】过点C作CE⊥AB，由等腰直角三角形的性质可得CD=AB=AC=2，CE=AB=，利用勾股定理求出DE的长，根据BD=DE-BE即可求解.8．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵，

∴b=a+1，a=b-1

∵，

∴0＜2a+2＜1，0＜2b＜1

解得-1＜a＜，0＜b＜，故A、B不符合题意；

2a+4b=2（b-1）+4b=6b-2，

∵0＜b＜，

∴0＜6b＜3，

∴0-2＜6b-2＜3-2，即-2＜6b-2＜1，

∴，故C符合题意；

4a+2b=4（b-1）+2b=6b-4，

∵0＜b＜，

∴0＜6b＜3，

∴0-4＜6b-4＜3-4，即-4＜6b-4＜-1，

∴-4＜4a+2b＜-1，故D不符合题意.故答案为：C.【分析】由可得b=a+1，a=b-1，利用分别建立关于a或b的不等式组，利用不等式的性质逐项判断即可.9．在凸五边形ABCDE中，，，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、如图，连接AC，AD，

∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，

∴△ABC≌△AED，

∴AC=AD，

∵F是CD的中点，

∴AF⊥CD，故A不符合题意；

B、∵AB=AE，BC=DE，CF=DF，

∴五边形ABCDE为轴对称图形，其中AF所在的直线为对称轴，

∴AF⊥CD，故B不符合题意；

C、连接BF、EF，

∵CF=DF，，BC=DE，

∴△BCF≌△EDF，

∴BF=EF，

∵AB=AE，AF=AF，

∴△ABF≌△AEF，

∴∠BAF=∠EAF，

由B知：AF⊥CD，故C不符合题意；

D、根据不能推出AF平分∠BAD，继而不能得出AF与CD一定垂直，故D符合题意.故答案为：D.【分析】如图，连接AC，AD，可证△ABC≌△AED（SAS），可得AC=AD，利用等腰三角形的性质可判断A；由AB=AE，BC=DE，CF=DF，可得五边形ABCDE为轴对称图形，其中AF所在的直线为对称轴，结合已知即可判断B；连接BF、EF，证△BCF≌△EDF，可得BF=EF，再证△ABF≌△AEF，可得∠BAF=∠EAF，结合B项即可判断C；根据不能推出AF平分∠BAE，继而不能得出AF与CD一定垂直，据此判断D项.10．如图，在中，，，，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且．设，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：过点D分别作DG⊥AB，DH⊥BC，在中，，，，

∴由勾股定理得AC=，

∵BD⊥AC，

∴AC·BD=AB·BC，

∴BD=，

∴AD==，

∵∠A+∠DBA=∠DBA+∠DBH=90°，

∴∠A=∠DBH

∴sinA==sin∠DBH=，

∴，

∵∠ADE+∠BDE=∠FDB+∠EDB=90°，

∴∠ADE=∠FDB，

∵∠A=∠DBH

∴△ADE∽△BDF，

∴

∵DG·BA=AD·BD，

∴DG=，则DH=，

∵AE=x，，

∴BF=x，BE=4-x，

∴四边形DEBF的面积为y=△BDE的面积+△BFD的面积=（4-x）·+·x·=x+.

故答案为：A.【分析】由勾股定理及等积法分别求出BD、AD、BF，再利用四边形DEBF的面积为y=△BDE的面积+△BFD的面积可求出y关于x得关系式，继而判断即可.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若分式有意义，则实数x的取值范围是．【答案】【解析】【解答】解：由题意得：x-4≠0，

解得x≠4.故答案为：x≠4.【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.12．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：（填“>”或“<”）．【答案】>【解析】【解答】解：，，

∵＞，

∴＞.故答案为：＞.【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.13．不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：从4个球中任取2个球分别为：黄白，黄红，黄红，白红，白红，红红共6种取法，

其中恰为2个红球得只有1种结果，

∴从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是.故答案为：.【分析】列举出任取2个球得所有等可能结果，再找出其中恰为2个红球的结果数，再利用概率公式计算即可.14．如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．（1）若点N在边CD上，且，则（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形EFGH是正方形，．、MN与GH的交点为P，则PH的长为．【答案】（1）（2）​​​​​​​【解析】【解答】解：（1）∵EF⊥MN，∠BEF=α，

∴∠EMN=90°-α

在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴∠CNM=∠EMN=90°-α，

由折叠得∠CNM=90°-α，故答案为：90°-α.（2）设GH交C'N于点I，

∵四边形ABCD，EFGH为正方形，

易证△DHG≌△AEH≌△BFE≌△CGF，∠D=∠C=90°，

∴DH=AE=4，DG=BE=8，

∴GH==，

由折叠知：∠GD'H=∠D=90°，∠NC'B'=∠C=90°，D'H=DH=4，GD'=DG=8，

∴NC'∥D'G，

由折叠知∠C'NM=∠CNM，NC'=NC，且MN⊥GH，

易证△NIP≌△NGP

∴NI=GN，MN垂直平分GI，

∴C'I=CG=4，PI=GP，

∵IC'∥D'G，

∴△HC'I∽△HD'G，

∴，

∴HI=GI=GH=，

∴PI=GI=，

∴PH=HI+PI=3.

故答案为：3.

【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得∠EMN=90°-α，利用平行线的性质可得∠CNM=∠EMN=90°-α，根据折叠的性质可得∠CNM=90°-α.

（2）由正方形的性质可证△DHG≌△AEH≌△BFE≌△CGF，∠D=∠C=90°，可得DH=AE=4，DG=BE=8，利用勾股定理可得GH=，由折叠可证NC'∥D'G，D'H=DH=4，GD'=DG=8，C'I=CG=4，PI=GP，利用平行线可证△HC'I∽△HD'G，可得HI=GI=GH=，PI=GI=，利用PH=HI+PI即可求解.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：【答案】解：∵，∴，∴，∴，．【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．（1）以点D为旋转中心，将旋转180°得到，画出；（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分，写出点E的坐标．【答案】（1）解：如图，即为所求；

（2）四边形的面积为40（3）解：∵AC==5，AB=5，

∴AB=AC，

∴过点A及BC的中点，画出射线，

则此射线平分∠BAC，而射线所经过的格点即为点E，

此时点E坐标为（6，6）（5，4）（4，2）或（3，0）（写出一个即可）.【解析】【解答】解：（2）由图形可知四边形BC为矩形，

BC1=，BC=，

∴以B，，，C为顶点的四边形的面积为BC1·BC=×=40

故答案为：40.

【分析】（1）根据中心对称的性质画图即可；

（2）由图形可知四边形BC为矩形，由勾股定理分别求出BC1，BC，再利用矩形的面积公式求解即可；

（3）求出AB=AC，过点A及BC的中点，画出射线，则此射线平分∠BAC，而射线所经过的格点即为点E，写出其中一个坐标即可.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元。问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？【答案】解：设A，B这两种农作物的种植面积各x，y公顷，

根据题意得，

解得，

答：A，B这两种农作物的种植面积分别为3公顷，4公顷.【解析】【分析】设A，B这两种农作物的种植面积各x，y公顷，根据A、B每公顷所需投入资金，列出方程组并解之即可.18．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题．（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：N奇数4的倍数表示结果……一般结论▲按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）2；（ⅱ）；（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。【答案】（1）7；5；(n+1)2-(n-1)2（2）4（k2-m2+k-m）【解析】【解答】解：（1）（ⅰ）24=72-52，

（ⅱ）(n+1)2-(n-1)2；

故答案为：7；5；(n+1)2-(n-1)2；

（2）假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则4（k2-m2+k-m）为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．

故答案为：4（k2-m2+k-m）

【分析】（1）（ⅰ）观察已知等式，找出规律直接解答即可；（ⅱ）观察已知等式，找出规律直接解答即可；

（2）假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设，，②若x，y均为奇数，设，，③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数．据此分别求出，根据结果进行判断即可.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角，点B到水面的距离m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离m点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内。记入射角为β，折射角为γ，求的值（精确到0.1）．参考数据：，，．【答案】解：如图，过点E作EH⊥AD，垂足为H，

由题意得∠CEB=，EH=1.20，

∵tan∠CEB=tan∠36.9°=≈0.75，

∴CE=1.60m，

∴AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90m，

∴AE==1.50m，

∴sinγ==0.60，

∵EH∥BD，

∴β=∠CBE，

∴sinβ=sin∠CBE=cos∠CEB=cosα=0.80，

∴≈1.3.【解析】【分析】过点E作EH⊥AD，垂足为H，由题意得∠CEB=，EH=1.20m，由tan∠CEB=tan∠36.9°=求出CE的长，从而求出AH=AD-CE=0.90m，利用勾股定理求出AE=1.50m，从而得出sinγ==0.60，由sinβ=sin∠CBE=cos∠CEB求出sinβ的值，继而求解.20．如图，是的外接圆，D是直径AB上一点，的平分线交AB于点E，交于另一点F，．（1）求证：；（2）设，垂足为M，若，求AC的长．【答案】（1）证明：∵FA=FE，

∴∠FAE=∠AEF，

∵∠FAE=∠BCF，∠AEF=∠BEC

∴∠CEB=∠BCE，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ECD，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，

∴∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE）=90°

即CD⊥AB.（2）解：由（1）知：∠CEB=∠BCE，

∴BE=BC，

∵FA=FE，，

∴AM=ME=OM+OE=2，即AE=4，

∴AO=AE-OE=4-1=3，即AB=6，

∴BC=BE=OB-OE=3-1=2，

∴AC===.【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可推出∠CEB=∠BCE，由角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，由AB为直径可得∠ACB=90°，从而得出∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，再根据三角形内角和可得∠CDE=90°，继而得解；

（2）由（1）知：∠CEB=∠BCE，可得BE=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM=ME=OM+OE=2，即AE=4，从而求出AO=3，AB=6，再根据勾股定理求出AC即可.六、（本题满分12分）21．综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：cm）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别ABCDEx3.5≤x<4.54.5≤x<5.55.5≤x<6.56.5≤x<7.57.5≤x≤8.5整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：（1）任务1求图1中a的值．（2）【数据分析与运用】任务2A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．（3）任务3下列结论一定正确的是（填正确结论的序号）．①两园样本数据的中位数均在C组；②两园样本数据的众数均在C组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．（4）任务4结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．【答案】（1）解：a=200-15-70-50-25=40.（2）解：乙园样本数据的平均数为=6.（3）①（4）解：由样本数据的频数直方图知：乙园的一级柑橘所占比例大于甲园，根据样本估计总体，可以认为乙园柑橘的品质最优.【解析】【解答】解：（3）①两园样本数据的中位数均在C组，正确；②甲园样本数据的众数在B组，乙园样本数据的众数在C组，故②错误；③两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③错误．故答案为：①.

【分析】（1）利用样本容量分别减去A、B、C、E组的频数即得a值.

（2）利用加权平均数公式计算即可；

（3）根据中位数、众数及样本数据的最大数与最小数的差分别求解，再判断即可；

（4）由样本数据的频数直方图中的数据进行解答即可.七、（本题满分12分）22．如图1，的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．（1）求证：；（2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF．（ⅰ）如图2，若，求证：；（ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，

∴AM∥CN，

∵AM=CN，

∴四边形AMNC为平行四边形，

∴AN∥MC，

∴∠OAE=∠OCF，

∵OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF.（2）解：（ⅰ）∵，

∴，

在平行四边形ABCD中，OB=OD，OE=OF，

∴

∵∠HOF=∠AOD，

∴△HOF∽△AOD，

∴∠OHF=∠OAD，

∴；

（ⅱ）∵为菱形，

∴AC⊥BD，

∵OE=OF，，

∴∠EHO=∠OHF=30°，

∴OH=OE，

∵AM∥CB，，

∴AH：CH=AM