新华东师大版九年级下数学圆的复习课件

义务教育教科书（华师）九年级数学下册第27章圆小结与复习义务教育教科书（华师）九年级数学下册第27章圆小结与复

经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，与圆有关的概念弦知识回顾经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·COB弧⌒圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB

，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆·COAB劣弧与优弧⌒小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧.⌒（如图中的AC）(用三个字母表示,如图中的ACB)·COAB劣弧与优弧⌒小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做想一想判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧

随堂练习想一想判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，

2）两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个一、垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”

若①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

1.定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.一、垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定2、垂径定理的逆定理②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCD●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.2、垂径定理的逆定理②CD⊥AB,由①CD是直径③A直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?()错●OABCDM└垂径定理及其推论直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；知二得三注意●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，

AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cm●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.·OBA●OBAC二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上,

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:同弧所三、圆周角定理及推论90°的圆周角所对的弦是

.●OABC●OBACDE●OABC

定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.

推论:直径所对的圆周角是

.直角直径判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.(×)(×)(√)三、圆周角定理及推论90°的圆周角所对的弦是随堂练习

1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____；

2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（）；

A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定图1

随堂练习1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧A

3、如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于()；

A．150°B．130°C．120°D．60°

4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC=

；若O为△ABC的内心，∠BOC=

．

图23、如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O

5、两个同心圆的直径分别为5cm和3cm，则圆环部分的宽度为_____cm；

6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来

；

7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为

cm；图1图25、两个同心圆的直径分别为5cm和3c.p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系Op＜r点p在⊙o内Op=r点p在⊙o上Op＞r点p在⊙o外.p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系Op＜r

不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）

圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。想一想●OABC

有关概念经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．一个三角形的

分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.

做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它

1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内部B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外部D．点A不在⊙O上

2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OM=_____cm.

随堂练习1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是

3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（）

A、1∶2∶3∶4

B、1∶3∶2∶4

C、4∶2∶3∶1

D、4∶2∶1∶33、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可

练习：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值范围是＿＿＿＿＿.r<OP<R练习：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，r<OP<R1、直线和圆相交dr;dr;2、直线和圆相切3、直线和圆相离dr.五.直线与圆的位置关系●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐<=>1、直线和圆相交dr;dr;2、直线和圆相切切线的判定定理定理

经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.CD●OA如图∵OA是⊙O的半径,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.切线的判定定理定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直（１）定义（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法（１）定义（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r（３）切线的判切线的判定定理的两种应用

1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；

2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.∵CD切⊙O于Ａ,OA是⊙O的半径CD●OA∴CD⊥OA.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.CD●OA∴CD⊥切线的性质定理出可理解为

如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。如①②③①③②②③任意两个切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的

做一做：1、两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____cm；

2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；

3、下列四个命题中正确的是（）．①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．A.①② B.②③ C.③④ D.①④做一做：1、两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大一、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；（）2、直角三角形的外心是斜边的中点．（）二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径

，内切圆半径

；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比

．×√6.5cm2cm2:1随堂练习一、判断。×√6.5cm2cm2:1随堂练习三、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆C四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______．30cm随堂练习三、选择题：C四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆ABCO七.三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心实质性质三角形的外心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等ABCO七.三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O三角形的外心是否一定在三角形的内部？锐角三角形的外心位于三角形内,ABC●OABCCAB┐●O●从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.ABP●O┗┏12ABC●┗┏┓ODEF┗●ABC●O●┗┓ODEF┗切线长定理及其推论:直角三角形的内切圆半径与三边关系.三角形的内切圆半径与圆面积.∵PA,PB切⊙O于A,B∴PA=PB∠1=∠2从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.60度30或150度随堂练习1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿

2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠

AOC=140

°，求∠

B的度数．

3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.D

解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.∵∠AOC=140°

∴∠D=70

°∴∠B=180

°

－70

°

=110°2或4cm2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠AOC=弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：侧面展开图（1）圆柱侧面展开图

=（2）圆锥侧面展开图

=侧面展开图（1）圆柱侧面展开图

4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？ABCP

5、如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若CP=7cm，AB=28cm

，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径ABCP5、如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，

6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

补充：若∠B=70°,则∠DOE=＿＿＿．E40°6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，补充：E

要会用到解题中

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

几何表达式：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴

∠A+∠C=180°且∠B=∠1

要会用到解题中定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一练习:如图，四边形ABCD为⊙O

的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数。AODBC练习:如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD例

如图，△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的⊙O切AB于D,问:⊙O与AC相切吗?说明理由.解：⊙O与AC相切∵AB=AC

，O是BC的中点，∴AO平分∠

BAC.连接OA,OD,作OE⊥AC于E.∴OE=OD∵⊙O切AB于D,∴OD⊥AB.又∵

OE⊥AC,∴AB是⊙O的切线.AOBCDE例题欣赏根据切线的性质,遇到切点,连接半径

,这是在圆中添加辅助线的常用方法之一

.当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径.即“作垂直,证半径”.相信你是好样的!例如图，△ABC中,AB=AC,O是BC的中点例题欣赏相信你能行!变式(一)如图,直角梯形ABCD中,∠A=900,AD//BC,E为AB上一点,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?线段CD与AD,BC之间又有怎样的关系?说明理由.ABCDEF解：(1)以AB为直径的圆与CD相切.∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠A=∠B=

900,过点E作EF⊥CD于F.∴以AB为直径的圆与边CD相切.∴AE=EF=BE=AB.12(2)CD=AD+BC.∴CD=DF+CF=AD+BC.∴AD=DF∴AD与⊙E相切.∵