天津蔡公庄中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

天津蔡公庄中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两条直线a，b与两个平面，给出下列命题:①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确的命题个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】结合线面平行定理和举例判断.【详解】若，则可能平行或异面，故①错误；若，则可能与的交线平行，故②错误；若，则，所以，故③正确；若，则可能平行，相交或异面，故④错误；故选A.【点睛】本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.2.设二次函数的值域为，则的最小值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C3.运行右图框图输出的S是254，则①应为________（1）

（2）

（3）

（4）参考答案：（3）4.已知f（x）=x2+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象．【解答】解：∵f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，设g（x）=f′（x）=x﹣sinx，则g（x）=0，得x=sinx，由图象可知方程有三个根，在图象A正确，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导函数的性质是解决本题的关键．5.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由函数f（x）=x2-lnx，可以求出函数的导函数的解析式，进而判断出函数的单调性，进而得出当x=时，函数取最小值．【详解】∵函数f（x）=x2-lnx，∴f′（x）=2x-（x＞0）令f′（x）=2x-=0解得x=∵当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0故在区间（0，）上，函数f（x）为减函数，在区间（，+∞）上，函数f（x）为增函数，则当x=时，函数取最小值．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，其中求出函数的导函数，进而分析函数的单调性及函数的最小值点是解答本题的关键．6.函数在区间内可找到个不同数，使得，则的最大值等于（）9

10

11

12命题意图:考查三角函数图像、周期性、数形结合、直线斜率等知识，稍难题.

参考答案：B7.若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（–∞，1）

（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）

（D）（–1，+∞）参考答案：B，因为对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.

8.函数的部分图像大致为参考答案：C由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A.故选C.9.设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】画出，，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，当，即时，最小，满足，对于任意的，所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.

10.函数图像的大致形状是参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概为

参考答案：12.已知，则

．参考答案：由得，所以，故答案为．13.已知向量，，若，则实数______;参考答案：214.函数单调递减区间为

▲

参考答案：略15.若过点（0,2）的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______.参考答案：试题分析：设直线方程为，由得，当时，，当时，．所以倾斜角范围是．考点：直线与圆的位置关系，直线的倾斜角．16.设的内角A,B,C所对的边长为，若，且，则角B=

.参考答案：略17.已知锐角三角形的边长分别为2、4、x，试求x的取值范围

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，b=1，=，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，设出直线l的方程，求得圆的方程，求得定点T，讨论直线l的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，结合向量垂直的条件，即可得到存在定点T．【解答】解：（1）由题意，b=1，=，∴a=2，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为=1；（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，∵（x，）在椭圆上，∴=1，∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣，=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k?+=0，∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.(1)求证：平面；（2）求四面体的体积.参考答案：

20.记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.参考答案：或略21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．22.（2017?四川模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0（Ⅰ）求角C的大小．（Ⅱ）若c=6，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将（2a+b）cosC+ccosB=0化简，可得角C的大小．c=6，利用余弦定理，构造基本不等式，即可求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据（2a+b）cosC+ccosB=0，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBc