2023年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团中考数学三模试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一个数的相反数是，这个数是()

A.B.C.D.

2.根据国家统计局调查显示，年我国全年出生人口万人，出生率为，用科学记数法可以表示为()

A.B.C.D.

3.已知如图：，，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

4.已知不等式组的解为，则下列各式正确的是()

A.B.C.D.

5.从下列四个命题中任选一个，是真命题的概率是()

同角的补角相等：

一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等：

有公共顶点且相等的两个角是对顶角；

两个无理数之和仍为无理数

A.B.C.D.

6.计算的结果是()

A.B.C.D.

7.若方程组的解也是方程的解，则的值是()

A.B.C.D.

8.如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

9.如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是()

A.

B.

C.

D.

10.如图，一只正方体箱子沿着斜面向上运动，，箱高米，当米时，点离地面的距离是米．()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.求值：______．

12.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的大约有______个

13.分解因式：______．

14.如图，已知矩形中，，以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于，则图中阴影部分的面积是______．

15.如图，是的边上的一点，若，，，则线段的长为______．

16.如图，在矩形中，，点为射线上一点，且，点为的中点，连接，，将沿直线折叠，若点的对应点恰好落在上，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，点与点表示的数分别为和，宸宸同学在数轴上以为直角顶点作，，再以为圆心，为半径画圆，交数轴于、两点，莲莲同学说，若、分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根．

写出与表示的数

求出的值

你认为琮琮说的对吗？为什么？

18.本小题分

在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：

求一班参赛选手的平均成绩；

此次竞赛中，二班成绩在级以上包括级的人数有几人？

求二班参赛选手成绩的中位数，众数．

19.本小题分

如图，在中，，点为边上一点，且，过点作的垂线交于点．

求证：；

当时，求证：．

20.本小题分

如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，．

求一次函数和反比例函数的解析式；

结合图象，请直接写出不等式的解集．

21.本小题分

如图，在中，点在边上，，与边交于点，连接若，三角形的面积为，记，的面积分别为，．

若，求与；

若，

试求出关于的函数表达式；

当，试比较与的大小．

22.本小题分

已知二次函数，当时，，时，．

求与的值．

当取何值时，．

抛物线上有两点，，当时，直接写出的取值范围．

23.本小题分

已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点．

求证：．

若，，求的半径长；

若是的中点，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：一个数的相反数是，这个数是．

故选：．

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．

本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】

【解析】解：．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

故选：．

根据平行线的判定与性质求解即可．

此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：不等式组的解为，

，

，

故选：．

根据不等式组的解集可列出关于、的不等式，根据不等式的基本性质求出、的关系即可．

本题主要考查不等式组的解集，解答此题的关键是熟知解一元一次不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

5.【答案】

【解析】解：同角的补角相等，是真命题：

一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等，是假命题：

有公共顶点且相等的两个角是对顶角，是假命题；

两个无理数之和仍为无理数，是假命题，

故是真命题的概率是．

故选：．

直接利用实数的运算法则、对顶角的定义、补角的定义、平行线的性质分别判断，进而得出答案．

此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．

6.【答案】

【解析】解：

，

故选：．

根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．

本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：由题意知，，

将方程得，

，

，

把代入得，

，

，

把代入方程，得

，

；

故选：．

由题意知方程组，可将方程乘以减去方程，得到一个关于的方程从而解出值，再代入方程求出的值，又方程组的解也是方程的解，把方程组的解代入即可求出值．

此题考查二元一次方程解的定义和解法，解二元一次方程首先要消元，然后再求解，同时也考查的方程的同解，比较简单．

8.【答案】

【解析】解：在矩形中，平分，

，，，

，

．

，，

，

又，

为等边三角形，

，

，

，

为等边三角形，

，

，

．

故选：．

根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，进一步推出，然后求得，则可在中求得的度数．

本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：连接、，如图，

，

为等边三角形，

，

，

，

，

在中，，

，

，

同理可得，

在中，，

，

．

故选：．

连接、，如图，先证明为等边三角形得到，再利用圆周角定理，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，然后在中利用勾股定理得到，从而可确定、、的关系．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．

10.【答案】

【解析】解：过点作于点，

依题意得：，，，

又，

四边形为矩形，

，，

在中，，米，

，

，

在中，，米，

，

．

故选：．

过点作于点，则，先证在中得，然后在中得，据此可得出答案．

此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，理解如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．

11.【答案】

【解析】解：．

根据特殊教的三角函数值直接解答．

本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．

12.【答案】

【解析】解：由题意可得，个，

即袋子中红球的个数大约有个，

故答案为：．

根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数．

13.【答案】

【解析】解：原式，

故答案为：．

直接提公因式即可进行因式分解．

本题考查提公因式法因式分解，找出各项的公因式是正确解答的关键．

14.【答案】

【解析】解：

．

求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积扇形的面积矩形的面积的面积．然后按各图形的面积公式计算即可．

本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

15.【答案】

【解析】解：，，

∽，

，即，

，

．

由，，证出∽，得出：：，求出的长，即可求出的长．

本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似是关键．

16.【答案】或

【解析】解：分两种情况：

设，

当在边上时，如图，连接，则，

四边形是矩形，

，，

，，

，

由折叠得：，，，

点为的中点，

，

，

，

在和中

≌，

，

，

，

，

；

当点在的延长线上时，如图，连接，则，

，

，

，

，

综上，的长是或．

故答案为：或．

连接，设，先利用勾股定理计算的长，分两种情况：点在边上和的延长线上，根据全等三角形的性质可解答．

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接，构造全等三角形，最终利用全等的性质求出结果．

17.【答案】解：在中，，，

，

，

，

，，

点表示的数为，即，

点表示的数为，即；

把代入方程得，

解得，

即的值为；

琮琮说得不对．

理由如下：

把代入方程得，

所以一定是此方程的根．

【解析】先利用勾股定理计算出，则，，然后表示出点、表示的数，从而得到、的值；

把代入方程得，然后解关于的方程即可；

把代入方程得，所以可判断一定是此方程的根，原式可判断琮琮说得不对．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

18.【答案】解：一班参赛选手的平均成绩为分；

二班成绩在级以上包括级的人数有人；

、等级人数所占百分比为，总人数为，

二班参赛选手成绩的中位数级的分，

众数是分．

【解析】根据算术平均数的定义列式计算可得；

总人数乘以、、等级所占百分比可得；

根据中位数的定义求解可得．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19.【答案】证明：在和中，

，

≌，

．

证明：≌，

，

，

又，

，

，

，

，

又，

．

【解析】利用得到直角三角形与直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

由全等三角形的性质证出，得出，由等腰三角形的判定可得出，由等腰三角形的性质可得出，则可得出结论．

此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明≌是解本题的关键．

20.【答案】解：反比例函数的图象交于点，．

，

，，

反比例函数的解析式为：，

一次函数的图象经过点，，

，解得，

一次函数的解析式为；

由图象可知，不等式不等式的解集为或．

【解析】将、两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式；

根据图象即可求出该不等式的解集．

本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型．

21.【答案】解：如图，过点作于，过点作于，

当时，，即是的中点，

，

是的中点，

，

，，

，

，

三角形的面积为，

，

，

，

；

如图，过点作于，过点作于，

，，

，

，

，

，

，

，

三角形的面积为，

，

，

，

，

把代入得：，

，

；

，

，

当时，随的增大而增大，

当时，，当时，，

当，，

．

【解析】作辅助线，构建，的高线和，根据三角形的面积计算即可得结论；

根据平行线分线段成比例定理和三角形的面积为分别表示和的值，代入中可解答；

根据二次函数的增减性和差比较法可解答．

本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，正确表示和与的关系是解本题的关键和难点．

22.【答案】解：当时，，时，．

，解得．

．

二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．

当时，有，解得或；

当时，有，解得或．

当或时，．

当两点不在对称轴的右侧时，有，解得；

当两点不在对称轴的左侧时，即当时，有，无解；

当时，．

【解析】分别将当时，，时，代入，得到关于和的一元二次方程组，解出和的值即可；

由可知，根据该二次函数的增减性即可求解；

根据该二次函数的增减性，分两种情况讨论：两点不在对称轴的右侧、两点不在对称轴的左侧，分别得到关于的一元一次不等式组，解此不等式组即可．

本题考查二次函数及图象的性质、坐标特征等，这部分内容非常重要，且所考题目往往需要分情况讨论，有一定难度，需要深入理解，牢固掌握．

23.【答案】证明：如图，连接

是的直径，弦，

弧弧，

，

，

点、、、在上，

，

，

；

是的直径，于点，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

解得：或舍，

，

的半径为：；

解：如图，过