材料力学第9章-应力状态分析课件

第九章应力状态分析第九章应力状态分析本章主要内容应力状态的概念二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的图解法三向应力状态简介广义胡克定律复杂应力状态下的应变比能本章主要内容②只存在t：自由扭转、梁截面中性轴处zyNFF一、为什么要研究一点的应力状态§9-1应力状态的概念1、sa和ta是a的函数，需要研究一点处不同方位上的应力情况，找到smax和tmax2、全面进行强度计算的需要

一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。①只存在s：轴向拉压、梁截面上下边缘③同时存在s和t：梁截面其它各点如何进行强度计算，强度条件如何建立？αFFσNFFασaτaa②只存在t：zyNFF一、为什么要研究一点的应力状态§9-1二、研究一点应力状态的方法①单元体各个面上的应力是均匀分布的；②两个平行面上的应力大小相等。（一个面的两侧）§9-1应力状态的概念单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）单元体的特点：只要知道单元体三对相互平行面上的应力，其它任意截面上的应力均可用截面法求出，因此可用单元体三个互相垂直平面上的应力来表示一点的应力状态。FFA二、研究一点应力状态的方法①单元体各个面上的应力是均匀分布的三、主平面、主应力与主单元体主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。

主平面：切应力为零的截面（t=0）。主应力：主平面上的正应力。可以证明，通过一点处的各不同方位的截面中，一定存在三对相互垂直的截面，这些截面上的切应力t=0，只有正应力s。三个主应力记为：例：已知三个主应力数值为：三、主平面、主应力与主单元体主单元体：三对相互垂直的平面均四、应力状态分类1、单向应力状态三个主应力只有一个不等于02、二向应力状态3、三向应力状态三个主应力有两个不等于0三个主应力全不等于0简单应力状态复杂应力状态单向应力状态二向应力状态三向应力状态平面应力状态空间应力状态四、应力状态分类1、单向应力状态三个主应力只有一个不等于02§9-2平面应力状态分析1、正负号规定：一、斜截面上的应力σ：拉为正压为负，τ：绕单元体内部一点顺时针转为正，逆时针为负。α逆时针为正，顺时针为负。截面法2、解：应力平衡（×）力平衡（√）各面上的力efnfebntσyτyσxτxaaaantxy§9-2平面应力状态分析1、正负号规定：一、斜截面上的应力§9-2平面应力状态分析一、斜截面上的应力解：aaaantxyefnfebntσyτyσxτx§9-2平面应力状态分析一、斜截面上的应力解：aaaant数学整理关系式数学整理关系式3、讨论：结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力符合切应力互等定理。febntσyτyσxτx3、讨论：结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切空间应力状态（弹性力学）应力张量的第一、第二和第三不变量。空间应力状态（弹性力学）应力张量的第一、第二和第三不变量。二、应力圆圆的方程德国1895年提出febntσyτyσxτx二、应力圆圆的方程德国1895年提出febntσyτyσxτ1、应力圆的绘制②:确定点D1(sx,tx)③:确定点D2(sy,ty)tx=-ty④:连接D1D2与s轴交于C点⑤:以C为圆心，CD1（CD2

）为半径画圆。试作图示单元体的应力圆①:建立σ-τ坐标系otσC二、应力圆1、应力圆的绘制②:确定点D1(sx,tx)③:确定点D证明：otσC1、应力圆的绘制试作图示单元体的应力圆二、应力圆证明：otσC1、应力圆的绘制试作图示单元体的应力圆二、应力otσC2、应力圆求斜截面上的应力试求图示单元体α截面上的应力2、以CD1为起始半径，按α的旋转方向旋转2α，得到E点。efn1、作单元体的应力圆E点的坐标即为：只需证明：EFotσC2、应力圆求斜截面上的应力试求图示单元体α截面上的应otσC2、应力圆求斜截面上的应力证明式中：efnFE试求图示单元体α截面上的应力otσC2、应力圆求斜截面上的应力证明式中：efnFE试求图2、应力圆求斜截面上的应力作应力圆应注意的几点：①σ、τ正负号，与应力圆上点的象限关系。②点面对应关系：应力圆上一点对应于单元体中某一截面；单元体上A、B面夹角α，应力圆上弧长AB的圆心角为2α角,且转向一致。efnBAaoC③起始半径选择：需视α角从哪一个轴开始度量；④α与2α对应：单元体上斜截面方位角α，对应于应力圆上为2

α角，自起始半径旋转，且与α转向一致；AB试求图示单元体α截面上的应力otσCE2、应力圆求斜截面上的应力作应力圆应注意的几点：①σ、τ正负otσCE3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点数值efn方位A1点如何得到？以CD1点为起始半径，顺时针旋转2α0至CA1即可。otσCE3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点数值efn方位A1点如何得到？以CD1点为起始半径，顺时针旋转2α0至CA1即可。将负号放在分子上，以此确定的2α0的象限，α0为σ1与σx之间的夹角。otσCE3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点数值efnotσCE3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点数值efn方位主点法作D1K⊥σ轴，交圆与K点，则A2K方向即为σ

1方向。K点称为主点。主单元体KotσCE3、主应力、主平面与主单元体图解法注意A1、A2点3、主应力、主平面与主单元体解析法方位主单元体数值efn如何直观判断σ1的方位？3、主应力、主平面与主单元体解析法方位主单元体数值efn如何3、主应力、主平面与主单元体主单元体efn主应力方位所在的象限与正应力无关。方法很多如何证明？如何直观判断σ1的方位？3、主应力、主平面与主单元体主单元体efn主应力方位所在的象3、主应力、主平面与主单元体efn一种证明方法σ1的方位均在2、4象限内3、主应力、主平面与主单元体efn一种证明方法σ1的方位均在4、切应力极值极值方位最大切应力efnotσCE4、切应力极值极值方位最大切应力efnotσCE例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解:1、斜截面上的应力50MPa20MPa45°x例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解:

重新排序1、斜截面上的应力2、主应力50MPa20MPa45°x例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解:1、斜截面上的应力2、主应力3、方位4、主单元体50MPa20MPa45°x例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解:1、斜截面上的应力2、主应力3、方位4、主单元体50MPa20MPa45°x5、讨论例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法50MPa20MPa45°x图解法E②:作应力圆③:利用应力圆求：①:选择比例尺，建立σ-τ坐标系量得：④:作主单元体例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、例题2几种典型的单元体、应力圆纯切应力状态单向二向例题2几种典型的单元体、应力圆纯切应力状态单向二向例题3试作图示单元体的应力圆例题3试作图示单元体的应力圆§9-3梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态分析1、a点：单向应力状态2、e点：单向应力状态3、c点：纯切应力状态ql§9-3梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态§9-3梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态分析二向应力状态ql4、b、d两点：§9-3梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态q二、梁的主应力迹线主应力迹线主拉应力迹线主压应力迹线§9-3梁的主应力、主应力迹线

根据梁内各点处的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲线。在一组曲线上，各点的切向即为该点的主拉应力方向；ql在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直，所以，上述两组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。q二、梁的主应力迹线主应力迹线主拉应力迹线主压应力迹线§9-三、主应力迹线绘制及特点§9-3梁的主应力、主应力迹线1、绘制将梁划分成若干网格，计算节点的主应力方向。根据各点主应力方向，按主应力迹线的特点勾绘出主应力迹线。2、特点主拉应力迹线与主压应力迹线相互正交；主应力迹线在中性层处的切线方向与梁的轴线成45°在弯矩最大，剪力为0的截面上，主应力切线方向与轴线平行在梁的上下边缘处与梁轴线平行或正交。3、工程应用在钢筋混凝土梁内，主要承受拉力的钢筋应大致按σ1的迹线方向配置。q弯起钢筋三、主应力迹线绘制及特点§9-3梁的主应力、主应力迹线1、一、三类特殊平面上的应力三向应力状态是最一般的应力状态，在弹性力学中详细分析，（解析法，图解法），本节只介绍应用应力圆求其最大的应力。1、平行于σ3斜面上的应力§9-4三向应力状态的最大应力

前后两个面上(σ3作用面）是一对相互平衡的力，∴该斜截面上的应力（

σα

，τα）与σ3无关，只由σ1和σ2确定。2、平行于σ2斜面上的应力3、平行于σ1斜面上的应力一、三类特殊平面上的应力三向应力状态是最一般的应力状态，在一、三类特殊平面上的应力§9-4三向应力状态的最大应力1、平行于σ3斜面上的应力2、平行于σ2斜面上的应力

3、平行于σ1斜面上的应力二、其他任意斜截面上的应力研究表明:对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在σ

-

τ

坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。三、最大的应力一、三类特殊平面上的应力§9-4三向应力状态的最大应力1一、广义胡克定律单向应力状态胡克定律:横向应变:剪切胡克定律:§9-5广义胡克定律、体积应变图示单元体在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向均产生线应变。主应变:主应力方向的线应变1、σ1方向的主应变(分别求每个主应力引起的线应变，再叠加)++a）主应力单元体一、广义胡克定律单向应力状态胡克定律:横向应变:剪切胡克定一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变2、

σ2、

σ3方向的主应变同理可得a）主应力单元体++1、σ1方向的主应变一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变2、σ2一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变a）主应力单元体b）一般单元体可以证明，在线弹性，小变形条件下，各向同性材料正应力只引起线应变，切应力只引起同一平面内的切应变。

线应变只和正应力有关，与切应力无关；

切应变只和切应力有关，与正应力无关。一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变a）主应力单一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变广义胡克定律：空间应力状态下，应力分量与应变分量之间的物理关系，称为广义胡克定律应力分量应变分量三个弹性常数间关系a）主应力单元体b）一般单元体一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变广义胡克定律例题4解：例题4解：例题5解：铝块内取一单元体分析:平衡条件可求吗？因铝块较软，可视槽型钢块不变形。若采用主应力记号，则：F1010例题5解：铝块内取一单元体分析:平衡条件可求吗？因铝块较软，一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变二、体积应变体积应变：每单位体积的体积变化称为体积应变。解：一、广义胡克定律§9-5广义胡克定律、体积应变二、体积应变讨论§9-5广义胡克定律、体积应变该式表明任一点的体积应变与该点处三个主应力之和成正比。例:平面纯切应力状态有：故其体积不发生变化。在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。一般空间应力状态：体积应力：体积模量:纯切应力状态一、广义胡克定律二、体积应变讨论§9-5广义胡克定律、体积应变该式表明任一点的体积应变§9-6空间应力状态下的应变能密度

弹性体在外力作用下，将产生变形，外力对弹性体作功，按照功能原理，若不计能量的损失，则外力所作的功以变形能的形式积蓄在弹性体内，当卸载后，随着变形的消失，变形能全部转化为其他形式的能量。弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。在数值上等于外力所作的功。一、拉压杆的变形能§9-6空间应力状态下的应变能密度弹性体在外力作用下§9-6空间应力状态下的应变能密度弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。在数值上等于外力所作的功。一、拉压杆的变形能应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。杆内所有点应力状态相同单向应力状态应变能密