数学期望课件

*数学期望在生活中的应用医学信息工程系

1*数学期望在生活中的应用医学信息工程系1*

数学期望的起源1数学期望的定义2数学期望的应用3内容提要：2*数学期望的起源1数学期望的定义2数学期望的应用*

数学期望又称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。随机试验结果的量的表示

表示随机事件发生可能性大小的量表述随机变量取值的概率规律

3*数学期望又称期望或均值,是随机变量按*引例

分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100法郎,并约定先胜三局者为胜,取得全部200法郎.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的起源

4*引例分赌本问题(产生背景)A,*分析：

很容易设想出以下两种分法：（1）A得200·(1/2)法郎，B得200·(1/2)法郎；（2）A得200·(2/3)法郎，B得200·(1/3)法郎。5*分析：很容易设想出以下两种分法：5*

既然前两种分法都不合理，那么第（3）种更合理的办法又该怎样分呢？6*既然前两种分法都不合理，那么第（3）种更合理的办*A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAAB

BABBA胜B胜假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAAB

BABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负7*A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三*因此,A能“期望”得到的数为而B能“期望”得到的数目则为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的8*因此,A能“期望”得到的数为而B能“期望”得到的数*因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值等于即为

X的可能值与其概率之积的累加.若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:9*因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值等于即为X的可*

数学期望二、数学期望的定义数学期望的分类离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望10*数学期望二、数学期望的定义数学期*1、离散型随机变量的数学期望11*1、离散型随机变量的数学期望11*2、连续型随机变量的数学期望

定义设连续型随机变量X的概率密度为若积分绝对收敛，则称积分的值为即随机变量X的数学期望，记为12*2、连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量*关于定义的几点说明：

(2)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.

(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.13*关于定义的几点说明：(2)随机变量的数学*则随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.而其数学期望为：14*则随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量*三、数学期望的应用

数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，在社会生活中存在着广泛的应用。15*三、数学期望的应用 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均*问哪个射手技术比较好?实例1

谁的技术比较好?乙射手甲射手16*问哪个射手技术比较好?实例1谁的技术比较好?乙射手甲*分析：故有：设甲乙两射手射中的环数分别为：17*分析：故有：设甲乙两射手射中的环数分别为：17*实例2

发行彩票的创收利润

某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元。

设头等奖1个，

奖金1万元,二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，

奖金各1千元；

四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。每张彩票的成本费为0.3元，

请计算彩票发行单位的创收利润。分析：设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则18*实例2发行彩票的创收利润某一彩票*每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为19*每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行*实例3

投资决策问题

某人现有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元。若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?分析：设X为投资利润，则存入银行的利息:20*实例3投资决策问题某人现有10万*

某商场某月开展有奖促销活动，按规定100000人次中，一等奖1个，奖金500元；二等奖10个，各奖100元；三等奖100个，各奖10元；四等奖1000个，各奖2元。某人这个月内在该商场买了5次商品，他期望得奖多少元?实例4有奖促销决策问题21*某商场某月开展有奖促销活动，按规定100000人*设这个人一次购物得奖金X元，X的分布列为：

分析:22*设这个人一次购物得奖金X元，X的分布列为：分析*X的数学期望为：所以5次购物的期望得奖金数为：（元）E(5X)=5E(X)=5×0.045=0.225(元)23*X的数学期望为：所以5次购物的期望得奖金数为：（元）*实例5

经济方案决策问题

在商业活动中偷税漏税可非法获益而造成国家财政损失。国家为了防止税收流失，通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款。统计发现偷漏税者被查出的概率为0.2。这时罚款额度n至少多大才能起到惩罚作用?

24*实例5经济方案决策问题在商业活动中偷税*

假设偷税额为X，ξ为偷税时商家的受益数，则ξ的数学期望为：

E(ξ)=0.8X-0.2(1+n)X=(3-n)0.2X

要使处罚有效，必须使E(ξ)<0则3-n<0，即n>3

分析：25*假设偷税额为X，ξ为偷税时商家的受*实例6求职面试决策问题

设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位：极好的，工资4万；好的，工资3万；一般的，工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么