高数下第7讲之一二重积分

9.1.1二重积分的概念1.曲顶柱体的体积§9.1多元数量值积分的概念与性质设有一立体，它的底是xoy

面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于x

轴的柱面，它的顶是曲面z

f

(x,y)，这里f

(x,y)

0

且在D

上连续．这样的立体叫做曲顶柱体．定义xzoz

f

(

x,

y)yD2x0zyDS１.曲顶柱体的体积i（1）分割。将区域D

任意分成n

个子域：1，2

，…，n

。并以i

(i

1,2,,n)表示第i个子域的面积。然后以每个子域的边界曲线为准线，作母线平行于z

轴的柱面，这些柱面就把原来的曲顶柱体分成n

个小的曲顶柱体。3x0zyDn近似：以平代曲Vi

f

(i

,i

)

i求和：V

f

(i

,i

)

ii

1１分割：.i4x0zyDS

:

z

=

f

(x,y)i13

求和V

f

(i

,i

)

i4

取极限令分法无限变细Δσi１分割：任意分割区域D,

化整为零2

近似：以平代曲Vi

f

(i

,i

)

in.ii

ii1nlim

f

(

,

)V

=１.曲顶柱体的体积5yV..z１.曲顶柱体的体积S

:

z

=

f

(x,y)ni14

取极限2

近似：V

f

(i

,i

)

i１分割3

求和设d

max{i的直径}，01in当d

0

时上面和式的极限就是曲顶x柱体的体积，nd

0

i1即

V

lim

f

(i

,

i

)i

。2．平面薄片的质量x设有一平面薄片在xoy

平面上占有区域D，其面密度为

D

上的连续函数(

x,

y)

，求该平面薄片的质量

m。yoD均匀薄片的质量

面密度

薄片面积（1）分割将薄片(即区域D)任意分成n

个子域：1

,

2

,,

n

，并以

i

(i

1,

2,

,

n)

表示第

i

个子域的面积。（2）近似(

i

,

i

)

i

(i

1,

2,

,

n)

，第i

块薄片的质量的近似值为mi

(

i

,i

)

i

。xyoD(

i

,

i

)i（3）求和将这n个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到整个平面薄片质量的近似值，即n

ni1m

mi

(i

,

i

)ii1（4）取极限设d

max {

i

的直径}

，当d

0

上面和式的极限1

i

n就是所求薄片的质量，即nd

0

i1m

lim

(i

,

i

)i

。3．二重积分的定义定义

设

f

(

x,

y)

是有界闭区域

D

上的有界函数。将闭nD区域

D

任意分成

n

个小闭区域:

i

(i

1,

2, 3,

)

，并以i表示第i

个小闭区域的面积。(

i

,

i

)

i

，作和式

f

(i

,

i

)i

。若当各小闭区域的最大直径i1d

0

时，和式的极限存在，则称此极限为

f

(

x,

y)

在闭区域D

上的二重积分，记作

f

(x,y)d

，即nDd

0

i

1

f

(

x

,

y

)d

lim

f

(

i

,

i

)

i若函数

f

(

x,

y)

在有界闭区域

D

上连续，则二重积分

f

(x,y)d

必定存在。D积分和面积元素nDf

(

x,

y)d

lim

f

(i

,i

)i

.d0

i1积分区域被积函数被积表达式积分变量11也常因此面积元素如果

f

(x,

y)

在D上可积,

可用平行坐标轴的直线来划分区域D

,这时记作dxd

y,二重积分记作D

f

(x,

y)

dxd

y.由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的高

f

(

x,

y)

0

在底面区域

D

上的二重积分，即V

f

(x,y)d

。D非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度(x,

y)在薄片所占有的区域D上的二重积分，即m

(x,y)d

。D（1）当

f

(

x,

y)

0

时，曲顶柱体的体积V

f

(

x,

y)d

。oDzz

f

(

x,

y)yDx4.二重积分的几何意义（2）当

f

(

x,

y)

0

时，曲顶柱体在

xoy

平面的下方，曲柱体的体积V

f

(x,y)d

，或V

f

(x,y)d

。D

D（3）当

f

(

x,

y)

在

D上

有正有负时，若规定在

xoy

平面上方的柱体体积取正号，在xoy

平面下方的柱体体积取负号，则

f

(x,y)d

的值就是这些上下方柱体体积的代数和。D15性质１ 当k为常数时，

kf

(

x,

y)d

k

f

(

x,

y)d

.D

D性质２[

f

(

x,

y)

g(

x,

y)]dD

f

(

x,

y)d

g(

x,

y)d

.D

Dab

baf

(x)dxkf

(x)dx

k定积分的性质性质１bag(

x)]dx[

f

(

x)

baf

(

x)dxbag(

x)dx.性质２9.1.2二重积分的性质16性质３对区域具有可加性(

D

D1

D2

)

f

(x,

y)dDD2f

(x,

y)d

性质３baf

(

x)dxf

(x,

y)d

.

bccaf

(

x)dxf

(

x)dx

.

1

d

d

.D

DD1性质4若 为D的面积，baba1

dx

dx

b

a.性质417性质５若在D上f

(

x,

y)

g(

x,

y),

f

(

x,

y)d

f

(

x,

y)

d

.D

D则有

f

(

x,

y)d

g(

x,

y)d

.D

D特殊地性质５如果在[a,b]上f

(

x)

g(

x)ba则baf

(x)dx

g(

x)dx特殊地babaf

(

x)dx

f

(

x)dx.18性质６设M

、m

分别是f

(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，

为D

的面积，则m

f

(

x,

y)d

MD（二重积分估值不等式）证明：显然σ

≠

0

，由性质6中不等式mσ

≤

f

(x,y)dσ

≤

Mσ

，1

D得

m

≤

σ

f

(

x

,

y

)dσ

≤

M ，D根据闭区域上连续函数的介值定理，在D

上至少存在一点(,

)

，使得

1

f

(

x,

y)d

f

(,)

，

D从而

f

(

x,

y)d

f

(,)

。D

D性质7（二重积分中值定理）设

f

(

x,

y)

在闭区域

D

上连续，记

为

D

的面积，则在D

上至少存在一点(,

)

，使得

f

(

x,

y)d

f

(,)

。D通常称

1

f

(

x,

y)d

为

f

(

x

,

y)

在区域

D

上的平均值。20D例1

不作计算，估计I

e(x2

y2

)d

的值，

1b2其中D是椭圆闭区域：a2x

2

y2(0

b

a)在D上

0

x

2

y

2

a

2,2

2

21

e0

ex

y

ea

,解由性质

6

知

e(

x

2

y2

)d

ea2

,Dab

e(

x

2

y2

)d

abea2

.D区域

D

的面积

ab

,21D例

2

估计I

x2d的值，其中D：0

x

1,

y2

2

xy

160

y

2.区域面积

2,,1(

x

y)2

16

f

(

x,

y)

4(

x

y

0)在D上f

(x,y)的最大值M

1132

42f

(x,y)的最小值m

1

(

x

1,

y

2)52

2故5

I

4

0.4

I

0.5.解22例

3

比较积分ln(

x

y)d

与[ln(

x

y)]2

d的大小,D

D其中D

是三角形闭区域,(1,1),

(2,0).解三角形斜边方程x

y

2在

D

内有

1

x

y

2

e

,故ln(

x

y)

1,于是ln(

x

y)

ln(

x

y)2

,因此

ln(

x

y)d

[ln(

x

y)]2

d

.D

Dox三顶点各为(1,0)y121Do2Dxzy例题．试用二重积分表示由椭圆抛物面z2

x2

y2

，抛物柱面y

x2

及平面y42

，z0

所围成的曲顶柱体的

体积V

，并用不等式组表示曲顶柱体在xoy

面上的底。y

x2DDo2xzyx解：V

(2

x

2

y

2

)d

，yDoy

22

22D

:2

x

2x

y

20

y

2D

:

y

x

y例题．试用二重积分表示由椭圆抛物面z2

x2

y2

，抛物柱面y

x2

及平面y42，z0

所围成的曲顶柱体的

体积V

，并用不等式组表示曲顶柱体在xoy

面上的底。9.2．1直角坐标系中二重积分的计算当f

(x,y)0

时，

f

(x,y)d

的值等于以D

为底，D以曲面z

f

(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。而平行截面面积为已知的立体的体积又可以用定积分来计算。这就启示我们可以用二重积分的几何意义来寻求二

重积分的计算方法。26已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),的体积元素为bab

xxA(x)上连续,则对应于小区间dV

A(x)

d

x因此所求立体体积为V

a

A(x)

d

x如图所示的积分区域称为X

型区域。oxyaby2

(

x)y1(

x)Doxyaby1(

x)y2

(

x)D1．积分区域D

为X

型区域设D：2

1a

xb

(

x)

y

(

x)①其中1(x)C[a,b]，2

(x)C[a,b]。§9.2

二重积分的计算下面用切片法来计算二重积分

f

(x,y)dσ

所表示的柱体D的体积。)

ϕ

2

(x

)

。A(

x

ϕ

(

x

)

f

(

x

,

y

)dy1A(

x

)xx

xoxyDzy2

(

x)y1(

x)z

f

(

x,

y)ab1(

x

)A(

x

)z

f

(

x

,

y)x2

(

x

)

yz

(

x)A(

x)

21(

x)f

(

x,

y)dy

.一般地，过[a,b]上任一点x

且平行于yoz平面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为从而得曲顶柱体的体积a

b

b

(

x)A(

x)dx

V

2a

1(

x)[f

(

x,

y)dy]dx

，于是，二重积分f

(

x,

y)dy]dx

Db

(

x

)2a

1

(

x

)f

(

x,

y)d

[②公式②常记作

Ddxf

(

x,

y)d2b

(

x)a

1(

x)f

(x,y)dy

。③这是把二重积分化为先对y

后对x

的二次积分的公式。记忆口诀：“先积一条线，再扫一个面”。用公式③时，必须是X型区域。X型区域的特点是：穿过D

内部且平行于y

轴的直线与D

的边界相交不多于两点。oxya2y

(

x)y1(

x)bDxDdxf

(

x,

y)d2b

(

x)a

1(

x)f

(x,y)dy

。③1x

(

y)oxD

x2

(

y)cx1(

y)x2

(

y)oxyDcd

d如图所示的积分区域称为Y

型区域。2

1设

D：

(

y)

x

(

y)c

yd④其中1(y)C[c,d

]、2

(y)C[c,d

]。y2．积分区域D

为Y

型区域且平行于x

轴的直线与D

的边界相交不多于两点。类似可得，二重积分

21d

(

y)c

(

y)f

(

x,

y)dxdyf

(

x,

y)d⑤D上式右端的积分称为先对x

后对y

的二次积分公式。x2

(

y)oxyDx1(

y)c用公式⑤时，必须是Y型区域。dY型区域的特点是：穿过D

内部当平行于坐标轴的直线与D

的边界曲线的交点多于两点时，一般可把D

分成几个子区域，分别按X

型或Y

型区域计算，然后再根据区域可加性得到在整个区域D

上的二重积分。例如在图中，把D分成三部分，它们都是X

型区域。D1D2D3oxy3．积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域。D

：

2

1a

xb

(

x)

y

(

x)；D又是Y型的，可表示为2

1c

ydD

：

(y)

x

(y)，则有4．积分区域D

既是X型区域又是Y型区域。D是X型的，可表示为d

(

y)c

(

y

)b

(

x)a

(

x

)Df

(

x,

y)dx.dyf

(

x,

y)dy

dxf

(

x,

y)d2121oxabcydD二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。其定限方法如下：在xoy

平面上画出积分区域D

的图形；若区域D为X型的，则把D投影到x轴上，得投影区间[a,b]，a和b

就是对x

积分的下限和上限。x[a,b]，过点x画一条与y

轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为y1(x)和y2

(x)，且2

(x)1(x)，则1(x)和2

(x)就是对y

积分的下限和上限。

(

x)D定限原则：上限一定要大于下限，最外层的限不允许有积分变量。f

(

x,

y)dyf

(

x,

y)d2bdxa

1(

x)oxyy2

(

x)Dy1(

x)a

x

b解法1：D

是X型的。D例1．计算

xyd

，其中D是由直线y1

，x2

及y

x所围成的闭区域。2oxy(2,

2)(2,1)y

x(1,1)

y11

x211

12y2

xyd

dx

xydy

[

x

]1

dxx2

xD898

422131[

x4

x2]dx[

]

.x

x2

2解法2：D

是Y型的。21212x2

xyd

dyxydx

[

y

]

y

dy2

2yD898222211]

.y4]dy[

y

y3

[2

y

oxy2

x

y

x2注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序与积分顺序相反。②在计算内积分时，外积分变量是常数。y1解法1：先积x

后积y，D

：

21

y2,y

x

y

2，D例2．计算

xyd

，其中D

由y2

x

和y

x2

所围成。oyx

y

2x(1,1)(4,

2)x

y2

21

yxyd

2

dy

y2

xydx212

[

y(

y

2)2

y5

]dy

1dyy22yx

]1[2

y21D85]62

4

32245

.21y6

[

2

y

1

y

4

y312yxyy

x2(4,

2)y

xyD1

：

x

y0

x121

x4x

，D

：

x2

y

x

。84x

(1,1)121

1

x2x0

xDDDx

xydy55.dxxydydxxydxydxyd4D1D2o

1解法2：先积y

后积x，D

D1

D2且D1

D2

，oxy

xy1因为e

y

2

的原函数不是初等函数，y1则无法计算积分的值，故只能用y先积x

后积y

的次序进行计算。01

1xDdxe

y

2

dy

，D2解：若先积

y

后积

x，得e

y

d2例

3．

e

y

d

，其中

D

是由直线

y

x

，

y1

和

y

轴所围成。

100

02ye

dye

dxdye

d

y

21

y

y

2

D

y2201

1(1e1

).

1

e

y

2积分次序的选择原则：第一原则—函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出。第二原则—区域原则：若积分区域是X

型（或Y

型）则先对

y

(或

x)

积分。第三原则—分块原则：若积分区域既是X型又是Y型且满足第一原则时，要使积分分块最少。例4．交换二次积分的积分次序。（1）f(x,y)dxdy4

2

y0

y改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历“由限画图”和“由图定限”两个过程。程。先积y

后积x，则D

D1

D2

，D1

：x

y2

x22，

D

：0

y2

x2

x0

0

x2，f(x,y)dx4

2

ydy0

y20

22

x02

xx

2f(x,y)dy.f(x,y)dy

dx0dx解：先积x

后积y，则D：0

y4y

x2

y，oxy4(2,

4)y

x2-2D1y2

xD22D1

：

1

2

x2

y

1

y12，

D

：y

x21

y2，解：先积x

后积y，则D

D1

D2

，2D2

212y21yf(x,y)dxf(x,y)dx

dy1（2）

1

dy2

1

x2先积y

后积x，D：

1

y

x

，

x∴

1

2

2

2

2

x1

dy

1

f(x,y)dx

dy

f(x,y)dx

dx

1

f(x,y)dyy

1y

xoxy112D12y

x11yx例

5．设

D

是

xoy

平面上以(1,

1)

，

(1,

1)

和(1,

1)

为顶点的三角形区域，D1

是D

在第一象限的部分，若I

(xycos

xsin

y)dxdy

，试问下列等式是否成立？DI

2

xydxdy

；D1I

2

cos

xsin

ydxdy

；D1I

4

(xycos

xsin

y)dxdy

。D1(1,1)(1,1)(1,1)oxyD1DD1

与D2

关于y

轴对称，D3

与D4

关于x轴对称，将I

分为两个二重积分，记I1

xydxdy

，I2

cos

xsin

ydxdy

。D

D∵xy

关于x

和关于y

都是奇函数，∴

xydxdy0

,D1D2

xydxdy0

，∴I1

xydxdy0

。D3

D4

D解：将区域D

分为四个子区域：D1

、D2

、D3

、D4

。(1,1)(1,1)(1,1)oxyD2

D1D3D4∵cos

xsin

y

是关于y

的奇函数，关于x

的偶函数，∴

cos

xsin

ydxdy

2

cos

xsin

ydxdy

，D1

D2

D1cos

xsin

ydxdy

0

，D3

D4∴

I

2

cos

xsin

ydxdy

2

cos

xsin

ydxdy

，D

D1从而I

I1

I2

2

cos

xsin

ydxdy

，D1故等式（1）、（3）不成立；等式（2）成立。oxyD2

D1D34D5．利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算设f

(x,y)在有界闭区域D

上的可积，D

D1

D2

，（1）若D1与D2

关于y

轴对称，则0,当f

(

x,y)

f

(x,y)时.(即f

(x,y)关于x为奇函数)(即f

(x,y)关于x为偶函数)当f

(

x,y)

f

(x,y)时.

2

f

(

x,

y)dxdy,

f

(

x,

y)dxdyD1D（2）若D1与D2

关于x

轴对称，则0,当f

(x,

y)

f

(x,y)时.(即f

(x,y)关于y为奇函数)(即f

(x,y)关于y为偶函数)当f

(x,

y)

f

(x,y)时.

2

f

(

x,

y)dxdy,

f

(

x,

y)dxdyD1D（3）若D1与D2

关于原点对称，则0,当f

(

x,

y)

f

(x,y)时.(即f

(x,y)关于(x,y)为奇函数)(即f

(x,y)关于(x,y)为偶函数)当f

(

x,

y)

f

(x,y)时.

2

f

(

x,

y)dxdy,

f

(

x,

y)dxdyD1D积分区域对称于原点积分区域对称于y

x积分区域对称于y

x51D1D

f

(

x,

y)dxdy

2

f

(

x,

y)dxdy,

若

f

(

x,

y)

f

(

y,

x)0,

若f

(x,y)

f

(y,x)52x(4)

轮换对称性yyxD

:

x2

y2

a2

D

:

x2

y2

a2将坐标轴重新命名，区域的函数表达不变，称区域D具有轮换对称性。将坐标轴重新命名区域的函数表达不变53x(

x,

y)yxD

:

x2

y2

a2

D

:

x2

y2

a2

f

(

x,

y)dxdy

f

(

y,

x)dxdyD

D坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区域的函数表达不变，则被积函数中的

x,y也同样作变化后，积分值保持不变。(

y,

x)y面密度f

(x,y)面密度f

(y,x)例7．设f

(x)连续且恒不为零，证明af

(

x)bf

(

y)dxdy

abR2

.f

(

x)

f

(

y)

2I

x

2

y

2R2证：积分区域x

2

y2

R2

关于直线y

x

对称，所以交换被积函数中的x、y

的位置，结果不变，故有f

(

y)

f

(

x)I

af

(

y)bf

(

x)dxdy

，x

2

y

2R22x

2

y

2R22I

(ab)dxdy(ab)R2

，I

ab

R2

。55下面内容自习（4）若积分区域D关于直线y

x

对称（

(

x,

y)D(

y,x)D

），则

f

(x,y)dxdy

f

(y,x)dxdy

。D

D又若D

D1

D2

，且D1与D2

关于直线y

x

对称，则

f

(x,y)dxdy

f

(y,x)dxdy

。D1

D2积分区域对称于y

x解：抛物线y

x2

把D

分为两个子区域：D1

{(

x,

y)

x

1,

x2

y2}

，D2

{(x,y)

x

1, 0

y

x2

}。y

x2D1D2oxy-112D例6．求y

x2

dxdy

，其中

D{(

x,

y)

x

1, 0

y2}

。22y

x

2

, (

x

,

y

)

D1y

x

x

y

, (

x

,

y

)

D

2103102433423x

dx(2

x

)

dx3

25

.被积函数

y

x2

在

D

上是关于

x

的偶函数，积分区域D

关于y

轴对称，D1

、D2

也关于y

轴对称，故DD1y

x2dxdy

y

x2

dxdy

x2

ydxdydx

x

ydyD222221

2

1

x0

xy

x

dy

2

dx0

0213316404cos

tdt

x

2sint例8．求两个底圆半径都等于R

的直交圆柱面所围成的立体的体积。解：设这两个直交圆柱面的方程为x2

y2

R2

及x2

z2

R2

。并画出它们在第一卦限内的图形。yxzox2

y2

R2x

2

z2

R2RRyoxy

R2

x2DRRx3故所求体积为V

8V1

16

R3

。所求立体在第一卦限的部分可看作是以圆柱面z

R2

x2

为顶，以xoy

面上四分之一的圆域D为底的曲顶柱体，其体积为V

DR2

x2

d1

00R2

x

2R2

x2

dyRdx32302

2R

.R(

R

x

)dx

yoxy

R2

x2DRRxyxzox2

y2

R2x2

z2

R2RR作

业习题一（P169）1（2）（4）；2（3）（5）（6）；3（1）（4）（6）（7）（9）；4

（1）（2）（4）。9.2.2极坐标系下二重积分的计算当积分区域用极坐标表示比较简单，被积函数在极坐标下比较简单时，在极坐标系下计算二重积分。,1

2

(

)

r

(

)D

:oD

r

2

(

)r

1

(

)1r

(

)or

2

(

)or

(

)DD

f

(x,

y)

d

D

f

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r

ddrd

rrdd64Dor

1

(

)2r

(

)r

1

(

)or

2

(

)12

(

)

(

)f

(r

cos

,

r

sin

)r

d

r设1

2

(

)

r

(

)D

:,则D

f

(r

cos

,

r

sin

)r

d

r

dd

0

2特别,对D

:0

r

(

)Df

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r

df

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r2

(

)

0

d

0or

(

)D在极坐标系中，闭区域D

的面积

d

ddD

D若D

如图，则221221.

()[

()

()]ddd

d

2

()d

1DoxD2

()1()若D

如图，则12

2

()

0

()d.d

ddd

D()oxD67答:

(1) 0

;oy r

(

)Dxr

(

)Doyx思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问

的变化范围是什么?(1)(2)(2)

2

2例1．计算下列二重积分（1）

R2

x2

y2

d

，D

为圆x2

y2

Rx

所围成的区域。D解：把区域D

的边界曲线的直角坐标方程x2

y2

Rx化为极坐标方程，得

Rcos

，于是有D：

2

20

Rcosd∴

D22Rcos0R2

2

d2R2

x

2

y

dxo

RcosD2232

231d[

(

R

)

2

]Rcos0223331(1

sin

)d

R203332(1sin

)d

R32220303sin

d]d

R

[2

3

23

2

3

9R3R

[

]

(34)。

1

20

解：D：

4

，xD（2）

arctan

yd

，D：

1

x2

y2

4

，

y0

，

y

x所围成的区域。21402140sin

cosarctanddddarctan

dxyD32

2

6422110

.2

3

32

2

4

2

2

1xoy

421解：D

：

sincos120

.≤1例

2．将二次积分

dx

01

x

21

x1f

(x,y)dy

化为极坐标下的二次积分。xyo1sincos1∴

dx1sincos

2

d

1

f(cos,sin)df

(

x,

y)dy01

x

21

x10

2cos402443

8

4cos

3

d

ddI

解：例

3．计算二重积分

I

x2

y2

dxdy

，其中DD{(x,y)0

y

x,

x

2

y2

2

x}。2.9203160

4

(1sin2

)d

(sin)oxy4

42cos解：由对称性，得V

4

4a

2

x

2

y

2

dxdyDD：

20

。例4．球体x2

y2

z2

4a2

被圆柱面x

2

y2

2ax(a0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。o02acosxyzx2

y2

z2

4a2x2

y2

2axD

002acosD4a2

2

d4

2

dV

4

4a2

x2

y2

dxdy3

2

333203

332

3

2a

(

)

a

2

(1sin

)doxy2acosD例5．求三叶玫瑰线asin3

所围成的面积。060asin3dd

d6D解：S

6ox6d2

asin300

2

16

6

d660022(1cos6)d23a2sin

33a.46203a2

1a2[

sin6]6

x例6．计算无穷积分I

02e dx

。解：因为e

x

2

的原函数不能用初等函数表示，所以无法直接计算这个广义积分，在这里利用二重积分进行计算。

I

2

.

0

e

dx

0

e

dy