第十三章达朗贝尔原理哈工大理论力学课件

第十三章达朗贝尔原理(动静法)达朗贝尔原理动力学

达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍方法，即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。

第十三章达朗贝尔原理动力学达朗贝尔原第十三章达朗贝尔原理(动静法)

达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗贝尔原理。达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。第十三章达朗贝尔原理(动静法)达朗贝尔原理为解工程实际问题第十三章达朗贝尔原理(动静法)

工程实际问题第十三章达朗贝尔原理(动静法)车底盘距路面的高度为什么不同？第十三章达朗贝尔原理(动静法)

车底盘距路面的高度为什么不同？第十三章达朗贝尔原理(动静

质点达朗贝尔原理

质点系达朗贝尔原理§13-1

达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理§13-1达ABM该质点的动力学基本方程为

设质量为m的非自由质点M，在主动力F和约束力FN作用下沿曲线运动，FIFFN或引入质点的惯性力FI

=－ma

这一概念，于是上式可改写成

上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。ama§13-1达朗贝尔原理一、质点达朗贝尔原理ABM该质点的动力学基本方程为设质量为m的非自质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理§13-1达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理

这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。

上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。这就是质点系的达朗贝尔原理。§13-2质点系达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主

对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程，即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中空间任意力系的平衡条件，有质点系达朗贝尔原理§13-2质点系达朗贝尔原理对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方

上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于零。

达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。质点系达朗贝尔原理§13-2质点系达朗贝尔原理上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、由质心运动定理有F=maC

,得

对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO和FIR

，MIO，于是，由力系平衡条件，可得即,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而取相反方向。一、惯性力系的简化1.惯性力系的主矢§13-3惯性力系的简化由质心运动定理有F=maC,得对于由对任意固定点O的动量矩定理有，现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，

上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。2.惯性力系的主矩代入得●

对任意固定点●

对固定轴§13-3惯性力系的简化由对任意固定点O的动量矩定理有

上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。以及它在通过质心C的某一平动轴上的投影表达式

利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质心C的主矩表达式

惯性力系的主矩●

对质心点●

对质心轴§13-3惯性力系的简化上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的

惯性力系的主矩

惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。

注意§13-3惯性力系的简化惯性力系的主矩惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。1.刚体作平动aCa1a2anMm2mnm1FIRnFIR1FIR2FIR

刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。

刚体平移时，惯性力系向质心简化

●

主矢

●

主矩§13-3惯性力系的简化二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩

1.刚体作平动aCa1a2anMm2mnm1FIRnFIRαOCzyx2.刚体做定轴转动

设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬时的角速度为ω，角加速度为α。

●

主矢具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。

设质心C的转动半径为rC，则和的大小可分别表示为刚体做定轴转动§13-3惯性力系的简化rCαOCzyx2.刚体做定轴转动设刚体绕固定

显然，当质心C在转轴上时，刚体的惯性力主矢必为零。其中刚体做定轴转动§13-3惯性力系的简化αOCzyxrC显然，当质心C在转轴上时，刚体的惯性力主矢必

●

主矢

具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化，得到的惯性力系主矢的大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。刚体做定轴转动§13-3惯性力系的简化αOCzyxrC●主矢具有质量对称平面的刚体绕垂直αOCzyx即

●

对转轴的主矩将刚体对转轴Oz的动量矩代入可得刚体惯性力对轴Oz的主矩M*z刚体做定轴转动§13-3惯性力系的简化rCαOCzyx即●对转轴的主矩将刚体对转轴Oz的动量矩

具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。刚体做定轴转动

●

对转轴的主矩§13-3惯性力系的简化αOCzyxM*z具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平

●

主矢

●

对转轴的主矩

合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。

具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。

合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。刚体做定轴转动OCMIzα§13-3惯性力系的简化●主矢●对转轴的主矩合力的矢量3.刚体作平面运动

具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。§13-3惯性力系的简化3.刚体作平面运动具有质量对称平面的刚体作3.刚体作平面运动

若取质心C为基点，则刚体的平面运动可以分解为随质心C的平动和绕质心（通过质心且垂直于运动平面的轴）的转动。CαaCrimiaC

刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也可以分解为随质心的平动和绕质心轴的转动两部分。

于是，此刚体的牵连平动惯性力可合成为作用线通过质心、且在对称面内的一个力FI。

因质心C在相对运动的转轴上，故刚体的相对转动的惯性力合成为一力偶。FIMIC§13-3惯性力系的简化3.刚体作平面运动若取质心C为基点，则刚

具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平面内。

合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。

●

主矢§13-3惯性力系的简化CαaCrimiaCFIMIC具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动

合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。

●

主矩§13-3惯性力系的简化CαaCrimiaCFIMIC合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等3.刚体作平面运动

●

主矩

●

主矢向质心简化1.刚体作平动向质心简化

●

主矢

●

主矩2.刚体做定轴转动

●

主矢

●

对转轴的主矩向固定轴简化综上所述：§13-3惯性力系的简化3.刚体作平面运动●主矩●主矢向质心简化1.27§13-4定轴转动刚体的轴承动反力

静平衡与动平衡的概念

一、刚体的轴承动反力刚体的角速度，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化:主矢,主矩惯性力系向O点简化:主矢,主矩27§13-4定轴转动刚体的轴承动反力一、刚282829根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,OA=l1,OB=l2可得29根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,30

由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。

使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力30由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能31当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z轴惯性积为零，z轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心31当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z32

静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。

动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。二、静平衡与动平衡的概念32静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力33思考题1.

质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡：

(b)、(d)动平衡：

(a)33思考题1.质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结

例题13-1

汽车连同货物的总质量是m

，其质心C

离前后轮的水平距离分别是b

和c，离地面的高度是h

。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。ABCcbh

§13-5动静法应用举例例题13-1汽车连同货物的总质量是m，

取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力G，地面对前、后轮的铅直反力FNA

、FNB以及水平摩擦力FB(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。解：

因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心C上的一个力FI=ma

。ABCcbhFIaFBmgFNAFNB例题13-1§13-5动静法应用举例取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力于是可写出汽车的动态平衡方程由式(1)和(2)解得例题13-1§13-5动静法应用举例ABCcbhFIaFBmgFNAFNB于是可写出汽车的动态平衡方程由式(1)和(2)解得例题1汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死”？车轮防抱死装置ABS:Anti-BrakeSystem§13-5动静法应用举例

思考题汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死”？车轮防抱死装置ABS分析汽车刹车时的动力学特性刹车时的动力学特性：车头下沉；若质心在中间，后轮容易打滑。AB分析汽车刹车时的动力学特性刹车时的动力学特性：车头下沉；AB

例题13-2如图所示，匀质滑轮的半径为r，质量为m，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1

>m2

。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度和轴承反力。OABrO§13-5

动静法应用举例例题13-2如图所示，匀质滑轮的半径为r，

以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。作用在该系统上的外力有重力m1g，m2g，mg和轴承约束反力FN。OABraam1gmgm2gFNy解：

已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图所示。

在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。

重物的惯性力方向均与加速度a的方向相反，大小分别为：O§13-5

动静法应用举例例题13-2以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。作用在

滑轮定轴转动，惯性力向转轴O简化。应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢FI=maO=0主矩

MIO=JO

α

=OABraam1gmgm2gFNyOαMIO§13-5

动静法应用举例例题13-2滑轮定轴转动，惯性力向转轴O简化。应用达朗解得OABraam1gmgm2gFNyO

αM*O§13-5

动静法应用举例例题13-2α解得OABraam1gmgm2gFNyOαM*O§13-5

例题13-3飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。§13-5

动静法应用举例例题13-3例题13-3飞轮质量为m，半径为R，以匀角速

取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力建立平衡方程令，有解：xyθ∆θRABOFAFB§13-5

动静法应用举例例题13-3取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。将轮缘分由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。再建立平衡方程同样解得xyθ∆θRABOFAFB§13-5

动静法应用举例例题13-3由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。再建立平衡方程同样xyOCAaMW1FW

例题13-4车辆的主动轮如图所示。设轮的半径为r，重为W1(W1=mg)，在水平直线轨道上运动。车身对轮子的作用力可分解为W和F，驱动力偶矩为M。车轮对通过其质心并垂直于车轮对称面的轴的回转半径为ρC，轮与轨道间的滑动摩擦系数为fs，不计滚动摩阻的影响。求在不滑动条件下，驱动力偶矩M的最大值。§13-5

动静法应用举例例题13-4xyOCAaMW1FW例题13-4车辆的主惯性力系：因车轮作平面运动，设车身有向前的加速度a，则惯性力系向质心C简化的主矢量FI和主矩MIC为：分析车轮的受力情况如下。主动力系:车身的载荷F和W，驱动力偶矩M，车轮的重量W1=mg。约束力系：法线约束力FN，滑动摩擦力Ff。解：xyOCAaMW1FM

ICFIWFNFf§13-5

动静法应用举例例题13-4惯性力系：因车轮作平面运动，设车身有向前的加速度a，则惯性力应用动静法，写出动态平衡方程：xyOCAaMM

ICFNFfW1FFIW是否可以？§13-5

动静法应用举例例题13-4应用动静法，写出动态平衡方程：xyOCAaMMICFNFf再利用Ff≤

fsFN的条件，可得

上三式包含Ff，FN和a三个未知量，故可解出xyOOAaMM*CFNFfW1FF*W§13-5

动静法应用举例例题13-4再利用Ff≤fsFN的条件，可得上三式包

例题13-5

如图所示，匀质圆盘的半径为r，质量为m，可绕水平轴O转动。突然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴承O处的反力。ABrOC§13-5

动静法应用举例例题13-5如图所示，匀质圆盘的半径为r，ABrOCyαxMIO圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢FIt=matC=mrα主矩MIO=JOα

=

FOx+FIn=0mgFOxFOyFOy+FIt－mg=0FIn=mrω2=0是否可以？§13-5

动静法应用举例例题13-5α解：ABrOCyαxMIO圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。应用ABrOCyαxMIC若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心C简化。应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢FIt=matC=mrα主矩MIC=JCα

=

FOx+FIn=0mgFOxFOyFOy+FIt－mg=0FIn=mrω2=0§13-5动静法应用举例例题13-5

讨论ABrOCyαxMIC若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心C

例题13-6用长l

的两根绳子AO

和BO把长

l

，质量是m的匀质细杆悬在点O(图a

)。当杆静止时，突然剪断绳子

BO

，试求刚剪断瞬时另一绳子AO

的拉力。OlllBAC（a）§13-5动静法应用举例例题13-6例题13-6用长l的两根绳子AO

绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA的约束，点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg。解：

在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz如图(c)所示。aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anACOllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）

利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心C作基点，则点A的加速度为§13-5动静法应用举例例题13-6绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平

在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度ω

=0

，角加速度α

≠0。因此又

anA=0，加速度各分量的方向如图(c)所示。把aA投影到点A轨迹的法线AO上，就得到anAC

=AC·ω2=0atAC=lα／2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。即（1）OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）§13-5动静法应用举例例题13-6在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度ω=0

杆的惯性力合成为一个作用在质心的力FIC

和一个力偶MIC

，两者都在运动平面内，FIC的两个分量大小分别是FICx=maCx,FICy=maCy力偶矩MIC的大小是MIC=JCz´α旋向与α相反(如图b)。OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）§13-5动静法应用举例例题13-6FICxFICyMIC杆的惯性力合成为一个作用在质心的力FIC由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆,JCz´=ml2／12

。联立求解方程(1)～(4)，就可求出（2）（3）（4）OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）§13-5动静法应用举例例题13-6FICxFICyMIC由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆,JCz´=

例题13-7半径为R，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。AOCW1W2R§13-5动静法应用举例例题13-7例题13-7半径为R，重量为W1的大圆轮，

解：先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。1.应用动能定理。AOCW1W2RFFNFOxFOy§13-5动静法应用举例例题13-7解：先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法1.应用动能定理。两边对时间t求导，且得AOCW1W2RFFNFOxFOy§13-5动静法应用举例例题13-71.应用动能定理。两边对时间t求导，且得AOCW1W2RF2.应用动静法。取轮子为研究对象。CFFNJCαW1a将带入上式得FOxAOCW1W2RFFNFOy§13-5动静法应用举例例题13-72.应用动静法。取轮子为研究对象。CFFNJCαW1a将例13-8

铅直轴AB以匀角速度ω转动，轴上固连两水平杆CD和EF，两杆分别和转轴形成的平面夹角是α，两杆长度都是l，其余尺寸如图14-9所示。今在两杆端上各固连一小球D和F，它们的质量都是m，不计转轴和杆的质量。试求轴承A、B对轴的动反力。xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzαaahllEDFαGQFFAy§13-5动静法应用举例例13-8铅直轴AB以匀角速度ω转动，轴上固连两水平杆CD

当转轴以匀角速度ω转动时，两小球只有法向加速度，其大小是两小球惯性力的大小是方向分别沿CD和EF，真实力与惯性力构成空间任意力系，如图所示。因对象上的惯性力是两个集中力，所以不必简化。xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzαaahllEDFαGQFFAy§13-5动静法应用举例解：取转轴连同两杆和两小球为研究对象。它所受的真实力有两球的重力G=mg和轴承A、B的反力。当转轴以匀角速度ω转动时，两小球只有法向加速

取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzαaahllEDFαGQFFAy§13-5动静法应用举例取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程xFByFB

联立求解上列13个方程，得到轴承的反力是（1）§13-5动静法应用举例联立求解上列

上述解答式中，不含ω2的项是转子（机器中的转动部件，本题中是转轴、杆及小球所组成的转动刚体）静止时的静反力；而含ω2的项是转子匀速转动时的惯性力引起的附加动反力，它们的反作用力是轴承所受的附加动压力。

讨论

转子匀速转动时的附加动压力随ω的增大而急剧增大（与ω2成比例），且其在空间的方向随时间而周期性变化它将影响轴承的使用寿命，并引起周围物体的振动。§13-5动静法应用举例上

(2)

为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特例：

当α=π时，由式（1），有§13-5动静法应用举例xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy(2)为了

(2)

为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特例：当α=π时，由式（1），有

事实上，当α=π时，转子质心在转轴上，从而转子惯性力主矢等于零，使得附加动压力中由惯性力主矢引起的部分得以消除。注意到质心在转轴上的转子若除自身重力外不受其他主动力作用，则转子可在任意放置的位置上静止平衡，所以这种质心在转轴上的情况称为静平衡。§13-5动静法应用举例(2)为了

可以看出，式（2）中的第二式表示了两小球惯性力所形成的力偶所引起的附加动反力。一般也如此，即仅静平衡的转子，还不能完全消除附加动反力。§13-5动静法应用举例当α=π时，由式（1），有(2)xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy可以看出，式

2.当α=π时，，且h=2a时，由式（2）有(3)§13-5动静法应用举例当α=π时，由式（1），有(2)xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaah