反常扩散模型在风险管理中的应用

PAGEPAGEII宁波理工学院宁波理工学院毕业设计（论文）题目反常扩散模型在风险管理中的应用姓名学号专业班级信计1班指导教师学院信息科学与工程学院完成日期20年6月1日摘要随着世界经济和中国金融市场的不断发展，各种行业尤其是金融行业的投资风险日益成为了各种机构无可避免的重要问题，所以风险管理愈发显得重要，也成为了日益紧迫的任务。在各种投资风险管理手段中，VaR方法以其精密的科学性和广泛的实用性脱颖而出，成为了风险管理的重要方法。但是随着市场的不断发展，各种不可预知的因素导致市场走向千变万化。这样一来就暴露出了经典风险计算模型的不足。本文首先讨论反常扩散的特征，以及反常扩散下的概率密度函数的特征，结合大数定律运用蒙特卡洛模拟法，模拟出反常扩散下市场利率分布呈尖峰厚尾性质的图像。其次本文将反常扩散模型应用到风险管理中去，并计算此时的VaR值。最后我们得出结果，并希望此模型能对现今的风险管理模型的发展起到推动的作用。关键词：风险管理；VaR；反常扩散模型；蒙特卡洛模拟法

AbstractWith

the

continuous

development

of

world

economy

and

China's

financial

market,

all

kinds

of

industries,

especially

the

investment

risk

of

the

financial

industry

has

increasingly

become

an

important

and

inevitable

problem

of

various

institutions.

Therefore,

risk

management

has

become

even

more

important.

Among

these

kinds

of

management

means

of

investment

risk,

VaR

method

makes

itself

stand

out

with

its

precise

scientificity

and

extensive

practicality,

and

has

become

an

important

method

of

risk

management.

However,

with

the

development

of

the

market,

all

sorts

of

unpredictable

factors

make

the

present

market

ever-changing.

As

a

result,

it

gradually

reveals

the

disadvantages

of

traditional

Risk

calculation

model.

This

paper

first

discussed

the

features

of

anomalous

diffusion

and

its

the

probability

density

function

under

the

anomalous

diffusion.

Then

using

the

Monte

Carlo

simulation

method

which

is

combined

with

the

law

of

large

numbers

to

simulate

the

distribution

of

market

interest

rates,weobtainthedistributionfollowsheavytailundertheanomalousdiffusionmodel.

Secondly,weshowhowtoapplytheanomalousdiffusiontotheriskmanagement,andcalculatetheVaR.Finally,

we

concluded

that

as

a

result,

and

hope

this

model

can

boost

to

the

development

of

modern

risk

management

model.Keywords:Riskmanagement；VaR；Anomalousdiffusionmodel;MonteCarloSimulation，MCS PAGEIV目录摘要 IAbstract II第1章 概述 11.1 引言 11.2 风险的类型 21.2.1 市场风险 21.2.2 信用风险 21.2.3 流动性风险 31.2.4 操作性风险 31.2.5 法律风险 41.3 风险管理的意义与应用背景 41.3.1 风险管理的定义 41.3.2 风险管理的意义 51.3.3 风险管理的概念 51.3.4 风险管理的发展历史 51.4 本文工作 7第2章 风险管理的VaR方法 92.1 风险管理的VaR方法介绍 92.1.1 VaR方法的出现 92.1.2 VaR方法的作用 92.1.3 VaR方法的表达 102.2 计算VaR值的方法 102.2.1 历史模拟法 102.2.2 方差——协方差法 112.2.3 蒙特卡洛模拟法 122.3 三种值计算方法应用的范围以及缺陷分析 122.3.1 历史模拟法应用范围及缺陷 122.3.2 方差——协方差法应用范围及缺陷 132.3.3 蒙特卡洛模拟法应用范围及缺陷 132.3.4 三种VaR计算方法的直观比较 142.4 我国VaR风险度量方法应用存在的问题讨论 152.4.1 市场缺陷 152.4.2 操作缺陷 152.5 反常扩散应用于的优点 15第3章 反常扩散模型的模拟 173.1 反常扩散模型的概念 173.2 反常扩散模型的提出 173.3 反常扩散模型的模拟 19第4章 反常扩散模型在VaR方法中应用 234.1 正态分布下VaR的具体计算 234.2 反常扩散在非正态下引入VaR的计算 24第5章 总结与展望 265.1 总结 265.2 展望 26参考文献 28致谢 30PAGE32概述引言要了解本文所论述的课题，首先我们必须要了解什么是风险，风险是如何影响社会经济的运行的，以及风险管理的意义和统计方式。确切的讲，风险就是被定义为预期收入的不确定性。这种收入的不确定性通常是资产及有息负债的价值。公司一般面临三种类型的风险：经营风险、战略风险和金融风险。根据国外相关的著述，我们可以了解到经营风险就是公司为了形成竞争优势及增加股东的价值而自愿承受的一种风险。经营风险或者说操作风险是和产品市场有关的，包括技术革新、产品设计和市场营销。运营的杠杆效应，包括了个定的成本以及可以变化的成本之间的比例，这也是一个主要的可选择因素。谨慎的揭示经营风险是所有的经营活动的核心之一。相对于上面所说的经营风险，我们这里所说的战略风险来源于政治与经济环境之间的根本性变化而产生的风险。例如，1992年苏联解体间接促使国防开支削减，直接影响到了国防工业。又例如，1992年开始的社会整体对金融衍生品的方案情绪，直接导致了衍生品的交易活动开始减少，使得许多从事衍生品交易者落在其中。诸如此类的风险实在难以规避，目前看来行之有效的方法就是把这种风险分散在不同的行业及不同的国家。金融变量，例如利率以及汇率，这些变量无时无刻不在变动。但是这种变动会对绝大多数公司和个人形成风险。我们可以借助各种工具来揭示这种风险，以便我们更好地面对风险，管理风险。经济发展的趋势要求我们必须迈出控制风险及为风险适当定价的第一步，我们要找到一种方法，用以精确地测量风险。风险管理已经成为各种经营活动得以存在的必不可少的工具。在世界经济蓬勃发展的数十年间，相应地诞生了为数众多的测量风险的方法以及工具。随着市场大浪淘沙一般的自然选择，只有少数方法能够得到认可并且得以发展。VaR方法就是这样一种公认的优秀风险测量工具。而风险往往由不同的各部分组成，世界上的公司和投资者们往往还需要面对更加复杂的投资环境。比如，风险就包括市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险以及法律风险。风险的类型本文的重点是关于风险管理的反常扩散模型应用方法，所要讲的对象就是风险。然而，我们不得不承认，这仅仅只是我们面临的许许多多风险的其中一种，即投资风险。通常来说，金融风险大致上能够分为市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险以及法律风险。市场风险市场风险的源头来自市场，往往被定义为资产与负债的价格变化，以及通过未结算的头寸的价值变化或者收益变化来测量。一般的，市场风险包括基础风险和伽马风险（gamma）风险。基础风险就是指交易双方的两种产品的关系发生变化或者破裂时发生的风险，伽马风险是由于非线形关系的存在而出现的另外一种风险。而市场风险往往包括两种形式：绝对风险和相对风险。绝对风险是指用美元为单位来衡量的潜在损失。相对风险指的是某一种基准指数的损失。前者意在强调总收益的波动性，然而后者则是以偏离基准指数的程度来衡量风险。除了对风险进行线性度量以外，VaR能够明确诊断出基础风险以及伽马风险，而且异常轻松地延伸到了相对风险领域。VaR体系的最初目的在于量化市场风险。理想当中的情况就应该是，这种体系应当能够构建成在管理过程中迅速采取补救措施，用以防止形成损失或者异常出现的风险。信用风险信用风险的出现往往伴随着不够诚信的交易双方，这样的交易双方没有足够的意愿去完成契约责任，这种时候，信用风险就出现了。如果契约的一方不能够诚信履约，它将要产生的后果是由进行代替的现金流的陈本去度量的。换言之，当信贷机构降低借贷者的信用等级的时候，信用风险也可以产生损失，通常会导致某种程度上的市场信用的下降。信用风险同时也包括了主权风险。例如，当某些国家强制性的外汇控制使得契约双方并非自发的而是外界迫使其不可能履行各自责任。正如违约风险对于公司而言是一种特殊的情况一样，主权风险也是国家的一种极为特殊的情况。管理信用风险拥有着定性和定量两个方面。决定契约的一方就是是否具有信用为定性分析。最近这些年来的学术发展已经开始了对信用风险的定量评价。虽然，VaR方法最适用于对付市场风险，然而，我们将会看得到进行VaR模拟也可以用于计量信用风险。引入反常扩散模型，这一测度将会更加明确清晰。流动性风险流动性风险存在两种形式：市场或者产品的流动性，以及现金流。由于市场活动不够充分，交易流程不能够按照现行价格进行时，第一类风险就会出现。流动性风险比较难以量化，并且随着市场的条件而变化。市场流动性风险能够通过对一定的市场或产品设定限额以及多元化的方式进行管理。然而，流动性风险从形式上讲不包括在VaR测量体系中，但是对VaR测量而言，它的尺度的选择和破产清算的时序密切相关。第二种风险是指无力于满足现金流动的要求，而且这样的要求可以迫使比较早地就去进行破产核算，这样作为的是能够把纸上的损失转变成为现实的损失。融资风险可以通过适当现金流动需求计划来控制，而现金流动需求就像是前面说的情况，又可以通过设定现金流动缺口的限额和多样化来控制。流动性同时间又与投资者的持股水平有关。市场条件可以防止某一项投资的迅速清算。往往是对于较为急迫的投资者，就比如那些由于为了偿付到期抵押贷款需要筹措现金而必须卖掉他的投资的，非流动性可能是致命的。操作性风险操作性风险指的是，由于制度不健全、管理失误、控制错误、欺诈、以及人为因素所造成的潜在的损失。操作性风险包括交易执行中的风险，这种的风险又往往包括以下情形：交易不能够执行，结果有时候会导致成本较高的延误，或者更一般地讲，会导致任何后台操作中问题，而这种后台操作是为了解决交易记录及个人交易和证券商资金头寸总量之间的协调。操作风险同时也包括了欺诈与技术风险。欺诈就是指交易员故意伪造信息；技术风险就是指需要保护系统免受未经授权的进入与擅自行动。其他的还有：系统的失败、由于自然灾害或者涉及关键投资者意外发生的事故而造成的损失。防止操作风险的最好办法就是由两部分组成：系统的备份、交易责任与强有力的内部控制以及和日常的应急计划清除分离。法律风险当交易的其中一方没有办法合法地或者按照管理规定的权利进行一种交易时，就会发生法律风险。法律风险往往表现为股东对自身遭受你的巨大损失的公司的法律诉讼形式。法律风险同时又包括了遵循与监管的风险，这样的风险是与可以破坏政府的监管活动有关，比如说市场操纵、内部交易、适当性的限制。但是，监管的框架在每一个国家变化很大，甚至在一个国家的内部也可能容易变化以及出现解释上的差异。对于监管规则理解的不完全会容易导致被处罚。监管风险往往表现在执行行动、解释。甚至在道义层面上进行“道义劝告”。风险管理的意义与应用背景风险管理的定义风险管理（riskmanagement），风险管理的定义就是：决定如何对待并规划项目风险的管理活动。更加通俗地说，风险管理是指如何在一个肯定有风险的环境里把风险减至最低的管理过程。风险管理的内容包括：风险的量度、评估和应变策略。理想的风险管理，是一连串排好优先次序的过程，使当中的可以引致最大损失及最可能发生的事情优先处理、而相对风险较低的事情则押后处理。现实情况里，优化的过程往往很难决定，因为风险和发生的可能性通常并不一致，所以要权衡两者的比重，以便作出最合适的决定。风险管理亦要面对有效资源运用的难题。这牵涉到机会成本(opportunitycost）的因素。把资源用于风险管理，可能使能运用于有回报活动的资源减低；而理想的风险管理，正希望能够花最少的资源去去尽可能化解最大的危机。“风险管理”曾经在1990年代西方商业界前往中国进行投资的行政人员必修科目。当年不少MBA课程都额外加入“风险管理”的环节。首先，风险管理必须识别风险。风险识别是确定何种风险可能会对企业产生影响，最重要的是量化不确定性的程度和每个风险可能造成损失的程度。其次，风险管理要着眼于风险控制，公司通常采用积极的措施来控制风险。通过降低其损失发生的概率，缩小其损失程度来达到控制目的。控制风险的最有效方法就是制定切实可行的应急方案，编制多个备选的方案，最大限度地对企业所面临的风险做好充分的准备。当风险发生后，按照预先的方案实施，可将损失控制在最低限度。再次，风险管理要学会规避风险。在既定目标不变的情况下，改变方案的实施路径，从根本上消除特定的风险因素。风险管理的意义有效地对各种风险进行管理有利于企业作出正确的决策、有利于保护企业资产的安全和完整、有利于实现企业的经营活动目标，对市场以及整个经济环境来说具有重要的意义。风险管理的概念风险管理是社会组织或者个人用以降低风险的消极结果的决策过程，通过风险识别、风险估测、风险评价，并在此基础上选择与优化组合各种风险管理技术，对风险实施有效控制和妥善处理风险所致损失的后果，从而以最小的成本收获最大的安全保障。风险管理含义的具体内容包括：风险管理的对象是风险。风险管理的主体可以是任何组织和个人，包括个人、家庭、组织（包括营利性组织和非营利性组织）。风险管理的过程包括风险识别、风险估测、风险评价、选择风险管理技术和评估风险管理效果等。风险管理的基本目标是以最小的成本收获最大的安全保障。风险管理成为一个独立的管理系统，并成为了一门新兴学科。风险管理的发展历史风险管理是一门新兴的管理学科。在上面关于风险的概述中，我们可以发现市场中存在的这种不加约束的波动性形成了一个新的金融领域，即金融工程，其目的在于为防止金融风险或者风险性投资提供创造性的方法。表1-1给出了自70年代初期以来，风险管理工具的发展。表1.1风险管理工具的发展年份工具名称1972欧元期权；掉期期权1973权益期货1975国债期货1981货币掉期1982利率掉期；中期国债期货；欧元期货；权益指数期货；国债期货期权；挂牌交易货币期权1983权益指数期权；中期国债期货期权；期权与货币期货；权益指数期货期权；利率上限及下限1985欧元期权；掉价期权1987柜台交易复合期权；柜台交易平均期权1989利率掉期期货1990权益指数掉期1991差别掉期1994信用迟付风险这些衍生品提供了一种机制，通过这种机制，机构可以能够有效地规避金融风险。规避金融风险类似于购买保险，即提供旨在防止一些经济变量逆向结果的保险，而这些逆向结果，在一些经营业务或者一些国家中没有对其进行控制。风险管理从1930年代开始萌芽。风险管理最早起源于美国，在1930年代，由于受到1929－1933年的世界性经济危机的影响，美国约有40%左右的银行和企业破产，经济倒退了约20年。美国企业为应对经营上的危机，许多大中型企业都在内部设立了保险管理部门，负责安排企业的各种保险项目。可见，当时的风险管理主要依赖保险手段。1938年以后，美国企业对风险管理开始采用科学的方法，并逐步积累了丰富的经验。1950年代风险管理发展成为一门学科，风险管理一词才形成。1970年代以后逐渐掀起了全球性的风险管理运动。1970年代以后，随着企业面临的风险复杂多样和风险费用的增加，法国从美国引进了风险管理并在法国国内传播开来。与法国同时，日本也开始了风险管理研究。近20年来，美国、英国、法国、德国、日本等国家先后建立起全国性和地区性的风险管理协会。1983年在美国召开的风险和保险管理协会年会上，世界各国专家学者云集纽约，共同讨论并通过了“101条风险管理准则”，它标志着风险管理的发展已进入了一个新的发展阶段。1986年，由欧洲11个国家共同成立的“欧洲风险研究会”将风险研究扩大到国际交流范围。1986年10月，风险管理国际学术讨论会在新加坡召开，风险管理已经由环大西洋地区向亚洲太平洋地区发展。中国对于风险管理的研究开始于1980年代。一些学者将风险管理和安全系统工程理论引入中国，在少数企业试用中感觉比较满意。中国大部分企业缺乏对风险管理的认识，也没有建立专门的风险管理机构。作为一门学科，风险管理学在中国仍旧处于起步阶段。进入到上世纪90年代，随着资产证券化在国际上兴起，风险证券化也被引入到风险管理的研究领域中。而最为成功的例子是瑞士再保险公司发行的巨灾债券，和由美国芝加哥期货交易所发行的PCS期权。本文工作随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。VaR作为一种动态风险管理方法，20世纪90年代中期兴起，并应用于一些大型金融企业，对金融工具市场风险进行测评，中国也应用在证券投资和银行监管中，表现出其较准确的风险预测性。但是目前已有的方法基本上是基于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提假设下建立的，而在真实市场上，由于经常会有突发性事件影响整个金融走势,导致了收益率分布与正态分布相比具有尖峰厚尾性。本论文引入反常扩散模型，结合反常扩散模型的特性，将很好地解决这个问题。本文将VaR引入金融市场投资风险管理中，以有效提高资金运用的稳健性，并保障收益性和可持续性。采用实证和规范分析相结合的研究方法，筛选一段时期的历史数据，选择适合中国风险环境的VaR模型，引入反常扩散模型与VaR方法相结合，对风险管理运用进行实证分析，并且比较两种方法的结果。第一章中，着重介绍风险管理的意义以及风险管理的定义，风险的种类和概念。第二章，着重介绍风险管理的VaR方法，以及求解VaR值的三种主要的方法，以及三种方法的优势和缺陷。第三章，我们着重介绍反常扩散模型，和反常扩散模型的模拟。第四章，我们探讨在反常扩散下，VaR值的计算。第五章，是总结与展望。

风险管理的VaR方法风险管理的VaR方法介绍VaR方法的出现现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。在这一领域内，国内学术界先后提出了投资组合理论、资本资产定价模型和期权定价模型，建立了对于各种风险的计量和分析的重要思想方法。随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法即是对市场风险进行测度的一种重要工具。VaR（Value-at-Risk）中文译为“风险价值”，意思就是说在完全正常的市场环境中，以及在一定的置信水平之上，计算出给定时间内我们所预期发生的最坏的情况及其损失的风险评估方法。简单地说，VaR实际上就是要回答，在概率给定的情况下，银行投资组合价值在下一个阶段中最多可能损失的多少。VaR有绝对风险值和相对风险值的分别，绝对风险值就是指相对于初始投资额的最严重损失，相对于收益期望值的最大可能损失，就是我们所说的相对风险值。VaR方法的作用VaR可以简单明了地表示出我们所面对的市场风险的大小，单位可以是美元或者其他主要货币单位，可以事前计算出风险。而且VaR方法还具有传统金融风险管理所不能做到的功能：它不仅能够计算单个金融工具的风险，还能够计算由多个金融工具组成的投资组合风险。在正常的市场条件和给定的置信度内，用于评估和计量任何一种金融资产，或者证券的投资组合在给定时间内所面对的市场风险大小，以及可能遭遇的潜在的最大价值损失。比如说如果我们有某一个99%置信水平的在险价值，就是VaR值为1000万美元，这句话的意思就是，在给定的时间100个工作日之内，该置信水平下的实际损失将会超过1000万美元。这意味着平均看来，在100个交易日内，该置信水平的实际损失超过1000万美元的时间只有一个交易日，差不多是每年有二到三天。VaR方法的表达在数学上，VaR方法可以表示为投资工具或者组合的损益分布（P&LDistribution）的分位数（-quantile），表达式如下：VaR的具体含义就是：在一定的持有期内，一定的置信水平下投资组合P可能的最大损失，即为：为了便于理解，我找到了如下的例子来加强解释：例如持有期限制为一天，置信水平为97.5%的VaR是100000元，是指在未来的一天时间内该组合的最大损失超过100000元的概率是应当小于2.5%的。计算VaR值的方法在具体计算VaR值时，有三种不同的方法。第一种是历史模拟法（historicalsimulationmethod），第二种是方差——协方差法（Delta），第三种就是著名的蒙特卡洛模拟法（MonteCarlosimulation）。这三种不同的方法的假设都不尽相同。但是他们都有两个基本的假设，即投资组合在持有期内保持不变以及在历史上的变换过程对将来变化有影响。历史模拟法进一步地假设数据在历史上的变化会直接对未来变化构成影响，但是方差——协方差法和蒙特卡洛模拟法则预先就已经假定了数据的变化服从了特定的分布。三种关于VaR结果的计算方法各具特点而且适用的范围各不相同，所以我们应当针对具体的问题进行具体的分析。下面我们对三种方法进行有针对性的分析。历史模拟法“历史模拟法”是借助于以计算过去一段时间内的资产组合风险的收益的频度分布，通过这个过程来找到历史上某一段时间内的平均收益，以及在已经给定的置信水平下的最低的收益率，计算资产组合的VaR值。历史模拟法假设投资组合的回报分布方式就是独立同分布，市场因子在未来一段时间的波动和历史数据波动完全一样，其核心是利用过去一段时间内所得的资产回报率数据，估算资产回报率的统计分布，再根据不一样的分位数求得相对应的置信水平下的VaR。历史模拟法是直接根据风险因子收益的历史总结数据来模拟投资组合在未来给定的时间内的损益分布，并且利用分位数给出给出一定置信度下的VaR估算值，主要的计算步骤如下：映射，即首先识别出最基础的风险因子，收集风险因子的适当时期的历史数据，这些数据往往是三至五年内的日数据。并且我们会用风险因子表示出资产组合中各个金融资产的盯市价值。根据风险因子在历史上某一时期的N+1个时期的价格时间序列，计算风险因子过去N+1个历史时期内的实际价格水平的变化，我们会得到N个变化水平，假定未来的价格水平变化趋势与过去完全相似，即过去N+1个时期内价格水平的N个变化在可预知的将来都有可能出现，由此我们结合市场因子的当前价格水平就能够直接模拟出风险因子未来一段时间内的N种可能的价格水平。运用资产定价公式，根据模拟出来的风险因子的未来可能出现的N种可能的价格水平，求证出证券组合的N种未来盯市价值，并且与当前所存在的风险因子的资产组合价值比较，得到证券组合未来的N个潜在损益，即损益分布。我们可以根据以上所述所求解的损益分布，通过分位数求出给定置信度下的VaR。方差——协方差法方差——协方差法就是这样一种方法，它通过假定风险因子收益的变化服从特定的分布，我们知道这种分布通常都是正态分布，然后通过对历史数据进行分析和估计该风险因子的收益分布的参数值比如说方差、相关系数等等，进而根据下面的式子整理出整个投资组合的收益分布的特征值：其中，为整个投资组合的收益的标准差；而、为风险因子i和j的标准差；为风险因子i和j的相关系数；为整个投资组合对分先因子i的敏感度，有时候也会被称为Delta。在正态分布的假设下，为组合中每个相关金融工具对风险因子的之和。蒙特卡洛模拟法基于蒙特卡罗模拟的计算，他的原理与我们的历史模拟法比较相类似，所有不同的地方在于市场因子的变化不是来自于对历史的观测值，而是通过随机数模拟得到的。他的基本思路是不断重复模拟金融变量的随机过程，使模拟出来的值包括大部分可能的情况，这样通过模拟就能够得出组合价值的整体分布情况，在这个基础之上，我们就可以求出。蒙特卡洛模拟法也被称作随机模拟法，它要首先建立一个概率模型或者说是随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或者过程的直接观察计算所求的参数的统计特征，然后给出我们所求的问题的近似值，解的精度可以用估计值的标准误差表示。它的基本步骤如下所示。我们必须针对现实的问题来建立一个简单而且便于实现的概率统计模型，使得模型所求的解恰好是我们所建立模型的概率分布或者其某个数字特征，比如说是某一个事件的概率或者说是这个模型的期望值。对模型中的随机变量建立一个抽样方法，然后在计算机上我们进行模拟试验，抽取出足够多的随机数，并且对所有相关的事件进行统计。我们需要对模拟出结果加以分析，给出所求解的估计及其方差的估计，必要的时候我们要改进模型以便提高这个估计的精度和模拟计算的效率。三种值计算方法应用的范围以及缺陷分析历史模拟法应用范围及缺陷同方差——协方差法和蒙特卡罗模拟法相比，历史模拟法更加简单而且便于操作，它不需要我们队回报率分布形式作出假设，就可以解决诸如回报率分布厚尾或者分布不对称等等问题，同时也避免了因为参数估计或者选择模型而引起的一些误差。但是，在历史模拟法中也存在一些缺陷，主要表现在以下三个方面：第一，回报率的分布在整个样本时期内是固定不变的，假如历史趋势发生比较大的偏差；第二，历史模拟法不能够给我们提供比我们所观察到的样本中最小的回报率还要糟糕的预期损失；第三，样本的大小会对VaR值造成比较大的影响，产生一个比较大的方差；第四，历史模拟法不能够作极端情景下的敏感性测试。方差——协方差法应用范围及缺陷方差——协方差法又被人们称为正态法，这种方法在现实生活中的应用并不常见。它主要应用于期权类工具的风险度量，它持有期很短，持有其如果只有一天，那么正态法与其他两种方法的差别不会很大；但是，如果持有期很长，那么正态法就不能够很好地度量风险，因为这种方法是用线性展开来近似地映射风险，但是对于期权而言，其变动性往往是非线性的，因此持有期变长以后，线性逼近与实际变动之间的差距会越来越大。这就是为什么正态法会失效的原因。蒙特卡洛模拟法应用范围及缺陷蒙特卡洛模拟法是三种方法中最高端的。它的应用极其灵活，可以用于不同收益率走势的假设下以及利用计算机模拟生成大量的情景，这样做会使得它在测算风险的时候对可能出现的各种情况进行预测，能够得出更加可靠、更加综合的结论。另外，蒙特卡洛模拟法是一种全值估计方法，体现了非线性资产的凸性，能够有效地解决分析方法在处理又是非线性，同时又是非正态问题中所遇到的阻碍。蒙特卡洛模拟法的优点在于它不会受到金融工具类型复杂性、金融时间序列的非线性、厚尾性等等问题的限制，比较能够较好的处理诸如非线性问题，而且估算精度好，计算机为这一方法提供了强有力的计算支持。但是，经过长期的实践，我们不难发现，蒙特卡罗模拟法有它的不足之处。例如，它的计算量庞大，一般来说，一种复杂的证券组合往往包括不同货币的各种债券、股票、远期以及期权等等的金融工具，它的基础市场因子包括了多种结算单位不同的、期限不同的利率、汇率，我们需要对它们进行几千次甚至几万次的模拟，这是一件非常庞大的工程。又例如，我们往往会出现模型选择的误差。金融产品的价格波动是一个随机过程，不同产品的价格波动范围以及方式也不尽相同，单单用一种特定的模型我们没有办法来模拟真正的市场上金融产品的价格波动，因而对于模型的选择会给我们带来一定的选择误差。介绍完三种方法的各自应用范围、方式以及缺陷之后，我们将这三种方法进行比较分析：历史模拟法和蒙特卡洛模拟法都能够有效地估算包含期权类工具的投资组合，并且Delta只能够估算包含少量持有期很短的期权类工具；当投资组合相对应的市场因素在历史上出现的数值都能获得时，历史模拟法是我们最好的选择。当投资组合所包含的工具的条件符合一些常用软件的设定条件时，我们可以选择Delta，因为它是这种条件下比较方便操作。历史模拟法和Delta的计算速度比较快，但是蒙特卡洛模拟法的计算量决定了它的计算速度；当我们所考查的数据没有代表性时，历史模拟法会计算出错误的VaR值，但是Delta和蒙特卡洛模拟法可以通过两种已成熟的方式避免。三种VaR计算方法的直观比较三类VaR模型的计算方法各不相同，对于不同的条件和环境，我们可以选择不同的方法来计算VaR值。下面，我们通过一张表格来简单了解三种方法的异同。表2.1特征方差——协方差法历史模拟法假定特定的参数分布，随机产生数据历史分布的确定利用历史数据估计正态分布的标准差和相关系数利用过去N期收益率的实际变化计算频度分布全部金融工具头寸的定价线性全部全部给定95%或99%置信水平，风险价值的推导方法用2.33（99%）或者1.65（95%）乘以资产组合的标准差排列资产组合的顺序，选择在1%或5%概率下发生的损失值计算速度快有时快慢管理层的可理解性难理解易理解难理解容易进行情景分析否否是主要缺点线性近似、极端事件随时间同变化、极端事件模型风险我国VaR风险度量方法应用存在的问题讨论在我国这个独特的经济体制下，我们要研究风险管理的度量方法，必须面对两大难题，或者说是两大缺陷。这两大缺陷分别是：市场缺陷以及操作缺陷。市场缺陷模型首先是假设金融资产的收益率呈现的是正态分布的。而这一假设是所有金融模型的计算基础。如果在一个比较健全的完善的资本市场里面，这一假设有可能是成立的。但是我们必须意识到，我国金融市场化程度显然不高，而且还存在着许多的制度上和法律上的漏洞，让我们在应用VaR进行分析时感到有点力不从心，从而使我们不能够实现很好地模拟。操作缺陷方法所使用的前提是需要收集大量的历史数据来作为分析的基础，然而我国金融市场发展的历史比较短，金融分析里面的数理统计方法的运用同样都面临着样本数据的问题。各大金融机构有关于贷款的各种数据仍然处于非公开的状态，金融数据的采集仍然受到限制。在对某一些资产进行所有价值评估时，我们只能够根据各自的实际情况进行估算，而且评估人员的素质存在较大的差异，因此导致了计算结果的精确性受到很大的影响。另外，利率、汇率并没有完全市场化，一切都与宏观调控政策存在千丝万缕的联系。综上所述，我国使用VaR方法仍然存在着特殊的难度。反常扩散应用于的优点所有上述所提到的模型是基于资产组合的概率分布满足正态分布这一假设前提下得到结果的。Mandelbrot(1963)，Fame(1965)等人发现资产收益具有高峰度的分布特征，在一些金融时间序列里，相比于正态分布，收益率的无条件分布密度一般具有更大的峰度和更厚的尾部。在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck方程，Langevin方程，master方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引入用以描述这种现象[1-6]。如任福尧等人于2006年已经证明了分数阶扩散方程：的解具体形式基本上依赖于潜在几何的形状。这里我们有必要介绍一下分数阶导数。在近十年里，由于分数阶导数在物理，工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用，引起了国内外学者的关注。例如，对于物质的记忆性和遗传性的描述，分数阶导数提供了一个良好的工具。对许多物质结构和导电性的模拟，采用分数阶导数比整数阶导数具有更强的优势,分数阶导数对半自动的动力系统过程模拟和渗透结构的模拟同样重要。分数阶导数的定义已被很多数学家给出，有Riesz-Feller型的分数阶导数，Grunwald型的分数阶导数，Riemann-Liouville型的分数阶导数，Caputo型分数阶导数等等，它们都是整数阶导数和积分拓展和推广到任意阶导数的结果但是,从前面的式子中，我们可以知道的渐进行为,有,其中,,这种形式的解称为伸长的分布,与标准正态分布相比,具有尖峰厚尾性。因此将分数阶反常扩散模型引入到风险管理中求出，不仅考虑了资产组合收益率的尖峰厚尾性，又给出了风险的一个数量化标准，这也正是本学位论文想要研究的主要内容。

反常扩散模型的模拟反常扩散模型的概念我们把在分形介质之中分子的扩散现象却不能用普通标准的扩散方程来加以描述的现象，称作反常扩散。作为分形几何和分数微动力学的基础，分数阶微积分在描述反常扩散模型的现象之中起到了非常重要的作用。近些年来，非线性扩散方程，分数阶扩散方程以及含非线性项、分数阶导数的扩散方程被加以广泛地研究。在事实上，某一类最典型的非线性扩散方程：常常用来描述多孔介质方程。这样的经典非线性扩散方程被应用于很多情况：例如气体通过多孔介质的渗透（当时）；液体薄膜在重力作用下扩散的过程（）；血浆的流动（）；当时，这个方程为正常扩散，当时，方程为反常扩散（因为，所以说当时为超扩散，当的时候就是次扩散）。总之，反常扩散模型可以得到在反常状态下的精确解，弥补了这一空白。在本文中，我们介绍的风险管理方法VaR的前提是市场风险是正常的，但是在某些特殊的情形下面，市场的利率会发生一些异常的变化。这些变化会导致VaR测算的结果较实际结果偏小，所以我们有必要引进反常扩散模型，来弥补之前的这一缺憾。反常扩散模型的提出考虑一个随机游走过程，游走粒子在随机时刻以随机步长跳跃。假设游走粒子的跳跃时刻为独立同分布的随机变量，以及在跳跃时刻粒子跳跃的步长也是独立同分布的随机变量……假设游走粒子在初始时刻的位置为，由此在时刻t，粒子经过若干次的随机跳跃后所在的位置是： ， (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s11)其中，.假设为随机变量（）的联合概率密度，因此跳跃长度的概率密度为 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s12)等待时间的概率密度为 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s13)经典的理论表明当平均等待时间以及跳跃长度的方差均有界时，即 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s14) (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s15)此时，由中心极限定理可以得到收敛于正态分布，然而在很多情况下，平均等待时间或者跳跃长度的方差是无界的，此时常规的中心极限定理是不适用的。先前学界提出的广义的中心极限定理，证明了存在常数，使得收敛。连续时间随机游走模型与微分方程之间有如下介绍的关系，见于参考文献[1]。设表示粒子在t时刻刚好到达x的概率密度，由转移概率公式知 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s16)令表示粒子时刻位于的概率密度，而 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s17)表示生存函数，即粒子在（0，）之间没有发生跳跃。其Laplace变换为 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s18)故有 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s19)对上式做Laplace及Fourier变换，可以得出 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s110)不同的等待时间和跳跃过程分布的选取导致不同的微分方程。反常扩散模型的模拟当等待时间服从指数分布，而跳跃长度服从Gaussian分布时，对应的方程为标准扩散方程，即 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s111)而当等待时间服从幂律分布时，即，而且跳跃长度同样服从Gaussian分布时，满足分数阶扩散方程 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s112)由连续时间随机游走，在假定等待时间服从幂律分布，跳跃长度服从正态分布的情况下可以得到分数阶扩散方程，是否能够找到一个随机过程，使得其概率密度函数恰好也满足分数阶扩散方程，在参考文献[1]中已经证明了随机过程是该方程的随机表示，即其概率密度函数为方程的解，其中为布朗运动。为稳定增长Levy过程的首达时。数学表示为， (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s113)它与相互独立。已知的特征函数为： (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s114)上式见于参考文献[1]。令，，分别为，，的概率密度函数，则由全概率公式，得： (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s115)由数学期望定义，有： (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s116)由于是的概率密度函数，因此： (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s117)故 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s118)在这里我们不得不提到概率论里面的大数定律，所谓大数定律就是，在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着某种必然。所以，由大数定律可以得出，对于独立的随机度量序列，，若则有 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s119)即， (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s120)当时，。也就是说数学期望是可以用算式平均来逼近的，即蒙特卡洛模拟法。因此，只要模拟出，通过蒙特卡洛模拟法即可得到，而又是稳定增长Levy过程的首达式。即 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s121)而可通过反常模拟得到，固定，令，则， (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s122)其中是独立同分布随机变量且满足，由参考文献[28]可以知道，可由以下方式生成 (STYLEREF1\s3SEQ公式\*ARABIC\s123)其中，是上的均匀分布，服从参数为1的指数分布。由此，我们可以得到的样本轨道（见图3.1）。图3.1再利用蒙特卡洛模拟法得到反常扩散方程的解的图像（见图3.2）。图3.2图3.2中实线部分为，蒙特卡洛模拟法在计算机中模拟50000次的结果，很明显该结果相较于时的图像具有尖峰厚尾性质。这直接印证了，在反常扩散下，经典VaR计算方法都会使结果偏小而丧失准确性。

反常扩散模型在VaR方法中应用正态分布下VaR的具体计算假设是某一种资产组合的概率密度函数，由VaR的定义可以知道： (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s11)由上式可以知道，在已经给定的的置信度下面，我们能够找到，使得高于的概率为。假设服从均值和方差分别为和的正态分布，即，则，其概率密度函数为：。由的定义我们可以知道，如果服从正态分布，想要求出在置信度下的，只需要在标准正态分布中间找到一个临界值正数，使得 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s12)从而有 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s13)即 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s14)将（4）式与结合。其中是初期资产价值，是收益率，在给定的置信度下的最低回报率为，则值就是末期价值均价减去末期价值最低值。见于参考文献[2]。可以得到 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s15)反常扩散在非正态下引入VaR的计算在收益率不服从正态分布时，以往的办法一般设定收益率服从对数正态分布，然后利用ITO过程从而推导出VaR： (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s16)但是在本文中，在非正态分布条件下引入反常扩散模型，用更加简单直接高效率的方式破解这一难题。已知在非正态分布下，收益率分布会呈现尖峰厚尾现象。用数学表达即 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s17)其中为服从正态分布的概率密度函数。反常扩散下，假设收益率服从：，在这里，它的概率密度函数就是前面提到的式(4-7)假设 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s18)所以 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s19)令，原式即变为 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s110)令为标准正态分布下的密度函数，即 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s111)累积函数为： (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s112)前面已经求出，所以累积函数原式即可变化为 (STYLEREF1\s4SEQ公式\*ARABIC\s113)这样，就能够通过该式求出，由于需要大量数据处理，一般可以通过程序模拟求出。

总结与展望总结随着金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，因此对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。VaR作为一种动态风险管理方法，应用于一些大型金融企业，对金融工具市场风险进行测评，中国也应用在证券投资和银行监管中，表现出其较准确的风险预测性。将VaR引入金融市场投资风险管理中，以有效提高资金运用的稳健性，并保障收益性和可持续性。采用实证和规范分析相结合的研究方法，筛选一段时期的历史数据，选择适合中国风险环境的VaR模型，对风险管理运用进行实证分析，并提出相关政策建议。本文总结了国内外将VaR方法用于风险管理的不同计算方法和发展历程，为以后在实际中的应用提供铺垫。以往对于VaR的值的测算分为三种主流的方法，即文中提及的方差——协方差法，蒙特卡洛模拟法和历史模拟法。本文集中介绍了这三种方法的发展历史，各自的应用范围、应用方式和优点与缺陷。在比较了三种方法之后，我别具一格地提出了，在反常情形下，比如金融风暴，不可抗力条件影响下的市场环境，即数据非正态分布环境下的解决方法：在VaR值计算方法蒙特卡洛模拟法中引进反常扩散模型。这样可以完整地论述本文的目的。本文研究的重点在于：研究风险管理与反常扩散模型的关系，以及VaR在风险管理领域的应用。难点：影响风险管理效果的外部宏观因素有很多，如何才能把风险管理与VaR模型之间的关系成为了本文研究的难点。展望金融市场瞬息万变，著名的银行家美联储前主席格林斯潘说：银行业实际上就是管理风险的行业。可见风险管理是当今市场经济大潮下不得回避的大学问。而怎样进行风险管理？风险管理的方法能不能有效快速直接？这一连串的问题拷问着信息时代每一位求知者的内心。很快的，摩根大通银行在90年代退出了度量风险的计算方法VaR模型，这一广受好评的计量风险模型经久不衰，进入到新世纪以后，特别是在国内，VaR方法几经研究，各种优化改进的方式层出不穷。我们应当坚信，随着我国市场化经济越发强壮，金融市场自由化指日可待，对于风险管理和风险度量的数学模型会越来越丰富多彩。

参考文献[1]吕龙进．分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用[M]．上海市：复旦大学数学科学院基础数学系博士论文，2012.[2]王春峰,万海晖,张维.VaR模型计算方法及应用——VaR[J].系统工程学报,2010,15(1):67-75.[3]郑文通.金融风险管理的VaR方法及其应用