2022年四川省雅安市汉源第二中学高三数学文模拟试题含解析

2022年四川省雅安市汉源第二中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则的值为（

）A．3

B．5

C．

D．参考答案：D2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是（

）A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④参考答案：B【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设，则，∵，∴，∴.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴，由，解得（负根舍去）.∵，∴.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.3.集合，，则（

）A． B． C． D．参考答案：C解得集合，，∴，故选C．4.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为(

)

A.

B.或 C. D.或参考答案：D略5.已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题正确的是A． B．C． D．参考答案：D6.设集合A={x∈R|x﹣1＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的解法化简集合A，B，C，再利用集合的运算性质、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：集合A={x∈R|x﹣1＞0}={x|x＞1}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}，A∪B={x|x＜0，或x＞1}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知函数①，②，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线成中心对称（C）两个函数在区间上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同参考答案：C略8.．函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．10.若、，，且，则下面结论正确的是A． B． C． D．参考答案：D解：是偶函数且在上递增，，，皆为非负数，，，故选：．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的二项展开式中的常数项是

(用数值作答)．参考答案：300312.（5分）已知直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，下列命题中真命题序号为①直线l的斜率为tanθ；②存在实数λ，使得对任意的θ，直线l恒过定点；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆相切；④若圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，则λ=±1．参考答案：②③④①当cosθ=0时，直线l没有斜率，故①不正确；②当λ=0时，直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ=0，当sinθ=0时，cosθ=1，直线l：﹣y=0过定点（0，0），当sinθ≠0时，直线l：x﹣y=0过定点（0，0），∴存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③∵直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，∴点（﹣1，0）到直线l的距离d==|λ|，∴对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切，故③正确；④∵圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，∴圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，∴|﹣sinθ﹣0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正确．故答案为：②③④．13.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的满足，，考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列.其中正确的是

.参考答案：①③④14.在中，,的平分线交于,若，且,则的长为

.参考答案：15.已知关于实数x，y的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数m的最小值是______．参考答案：【分析】由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面区域内的点与定点距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【详解】作出约束条件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目标函数，则目标函数表示平面区域内的点与定点距离的平方，由图像易知，点到的距离最大.由得，所以.因此，即的最小值为37.故答案为37【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.16.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．参考答案：48【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．17.已知向量，，，若，则实数

参考答案：【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示F2【答案解析】1解析：解：∵∴解得k=1故答案为1【思路点拨】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣2ax，由题设得f'（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得a=1，b=e﹣2．（2）由（1）知f（x）=ex﹣x2，∴f'（x）=ex﹣2x，f''（x）=ex﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1．（3）因为f'（x），又由（2）知，f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，则g'（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=ex﹣2，由（2）知，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（x）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．由（2）知，，即，所以ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即ex+（1﹣e）x﹣1﹣xlnx≥0成立，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．19.（本小题满分12分）已知向量（为实数）．（I）时，若，求；（II）若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．参考答案：（I）,,,（4分）

得；（5分）（II）时，， （8分）当时，， （10分）此时，在方向上的投影． （12分）20.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于、两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．参考答案：略21.对于无穷数列{an}，{bn}，若，，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”.（1）若，求{bn}的前n项和；（2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；（3）若且，，求所有满足该条件的{an}.参考答案：（1）；（2）详见解析；（3），.【分析】（1）根据可得为递增数列，从而可得，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得，即，则可知，可证得结论；（3）令猜想可得，，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足，的符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由可得递增数列由通项公式可知为等差数列的前项和为：（2），又的“收缩数列”仍是（3）由可得：当时，；当时，，即，所以；当时，，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：，经验证，左式右式下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述时的情况可知，时，，是成立的假设是首次不符合，的项，则由题设条件可得（*）若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足，的符合题设条件综上所述：，【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为，，求a的值．参考答案：(1)曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数