全国青年教师素养大赛一等奖平面向量基本定理教学设计

全国青年教师素养大赛一等奖平面向量基本定理教学设计教学过程设计：一、背景分析1.教材分析向量是代数、几何和三角函数之间联系的重要工具，具有广泛的实际应用。在之前的教学中，我们已经学习了向量的基本概念和线性运算，重点强调了向量的几何特征。本节课我们将学习“平面向量基本定理”的概念和应用，它是研究向量的正交分解和向量的坐标运算的基础。通过平面向量基本定理，我们可以建立平面向量与它的坐标之间的一一对应关系，将“数”的运算与“形”的问题完美结合起来，这在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课的教学重点是“平面向量基本定理的探究过程和应用”。2.学情分析从学生的知识层面来看，我们已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算以及向量共线的充要条件等。此外，我们还初步了解了向量的物理背景。从学生的能力层面来看，通过之前的学习，我们已经初步具备类比归纳概括的能力，并能在教师的引导下解决问题。在教学中，我们将引入生活实例类比向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理。尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高。因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点。二、学习目标1.知识与技能目标1.了解平面向量基本定理及其意义，能够选择基底来表示平面中的任意向量。2.能够使用平面向量基本定理进行简单的应用。2.过程与方法目标1.通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题的能力。2.通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量应用的意识，让学生进一步体会向量作为处理几何问题的强有力工具之一。3.情感、态度与价值观目标1.通过现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识。2.通过定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。[设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了培养学生核心素养的要求。三、课堂结构设计为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我将教学结构设计为七个阶段：1.创设问题，引出新课2.学生自主探究，总结归纳平面向量基本定理3.教师讲解平面向量基本定理的概念和意义4.教师演示如何使用平面向量基本定理进行向量分解5.学生合作探究，解决问题6.学生展示解决问题的过程和方法7.总结本节课的学习内容，布置作业四、教学过程1.创设问题，引出新课教师可以通过一个生活实例引入本节课的内容，让学生了解向量的分解问题。例如，假设有一个人从A地出发，沿着一条直线行走到B地，再沿着另一条直线行走到C地。我们可以用向量来描述这个过程，将这个过程分解为两个向量的和，即向量AB和向量BC。然后，教师可以提出问题，如何将向量AB和向量BC分解为基底向量的线性组合？这样可以引出本节课的主题，即平面向量基本定理的探究和应用。2.学生自主探究，总结归纳平面向量基本定理教师可以通过课件或实物等方式，让学生通过直观感受和动手探索，总结归纳出平面向量基本定理。学生可以在小组内合作，通过讨论和实验，总结出平面向量基本定理的概念和应用。教师可以引导学生思考，如何将向量分解为基底向量的线性组合？如何证明向量分解的唯一性？3.教师讲解平面向量基本定理的概念和意义教师可以在学生自主探究的基础上，介绍平面向量基本定理的概念和意义。教师可以使用图形、文字等多种方式，让学生理解平面向量基本定理的含义和作用。教师还可以让学生通过课件、实物等方式，观察向量的分解过程，加深对平面向量基本定理的理解。4.教师演示如何使用平面向量基本定理进行向量分解教师可以通过具体的例子，演示如何使用平面向量基本定理进行向量分解。教师可以让学生跟随教师的步骤，进行实际操作，加深对平面向量基本定理的理解。5.学生合作探究，解决问题教师可以让学生在小组内合作，通过探究和讨论，解决一些具体问题。例如，给定两个向量，如何求它们的和、差、数量积和向量积？如何证明向量的数量积满足交换律和分配律？6.学生展示解决问题的过程和方法教师可以让学生展示他们解决问题的过程和方法，让其他同学进行评价和提问。这样可以促进学生之间的交流和合作，加深对向量知识的理解和掌握。7.总结本节课的学习内容，布置作业教师可以让学生总结本节课的学习内容，包括平面向量基本定理的概念和应用，向量的加减法和数量积等。教师还可以布置一些作业，如练习题、思考题等，让学生巩固所学知识。播放神舟十一探测器发射的视频，让学生感受到科技的进步和人类的探索精神，激发学生对科学的兴趣和好奇心。回忆滑滑梯的经历，引导学生感受到高度和速度的关系，从而引出数学中的向量概念，让学生通过生活经验来理解抽象的数学概念。提出问题一：给定平面内任意两个向量，通过向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示某个向量，为向量的线性表示打下基础。提出问题二：以向量a为平行四边形的一条对角线，做平行四边形，这样的四边形唯一吗？通过平行四边形说明同一个向量表示的不唯一性，即多种表示方法。提出问题三：给定两个向量e1，e2和一个向量a，做出3e1+2e2和e1-2e2两个向量a的平行四边形，仍以a为平行四边形的对角线，且平行相邻边所在直线平行于e1，e2，这样的平行四边形唯一吗？在e1，e2确定的情况下，由向量共线定理说明表示的唯一性。提出问题四：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么用e1，e2如何表示a？尝试做出你的想法。通过前三个问题的设置和解决，引申出一个向量如何用其它向量来表示的问题，培养学生抽象思维的能力，形成定理的的图像表述。将图形语言转化为文字语言得到基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中把不共线的向量e1，e2，叫向量a的一组基底。勾画出概念中的关键词，并思考几个问题：e1，e2作为基底的作用是什么？为什么要选择不共线的向量作为基底？向量的线性表示有什么应用？如何判断向量的线性表示的唯一性？1.满足什么条件才能做基底？2.基底e1，e2是否具有可选择性？3.定理中实数λ1，λ2是否唯一？4.平面向量基本定理的实质是什么？教师应引导学生深入理解定理。例1：如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC，M，N分别是DC，AB的中点。请选择合适的基底表示出MN向量。设计意图：一方面加深学生对平面向量基本定理的理解，另一方面为向量的几何应用打下基础。以此培养学生观察问题、分析问题的能力。例2：如图，质量为10kg的物体A沿倾角θ=30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。(g=10m/s2)设计意图：本例题的设置意在让学生体会到数学来源于生活，服务于生活。体验到数学在解决实际问题中的应用，发展学生的数学应用意识。练习：2.若λ1e1+λ2e2=，则λ1=____，λ2=____。3.如图，在平行四边形ABCD中E、F分别是线段BC、DC的中点，已知AB=a，AD=b。试用向量a，b表示BF，DE。归纳小结、深化认知：本节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？你自己体会最深刻的是什么？1.通过定理，学习平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，体验了由特殊到一般的归纳概括能力的要求。2.通过定