3.2.2函数模型的应用实例

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前面学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，且它们与生活有着密切的联系，有着广泛的应用.3.2.2函数模型的应用实例2.二次函数的解析式为___________________,其图像是一条______线，当______时，函数有最小值为______，当______时，函数有最大值为______.1.一次函数的解析式为_______________,其图像是一条____线，当______时，一次函数在____________上为增函数，当_____时，一次函数在___________上为减函数.直抛物

二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型.3.2.2函数模型的应用实例3.指数函数的关系式为_____________________,当a_____时,它在R上是增函数;当a∈____时,它在R上是减函数.它的定义域为_____,值域为________.>1(0,1)R(0,+∞)下面来看几个实例.3.2.2函数模型的应用实例3.2.2函数模型的应用举例3.2.2函数模型的应用实例学习目标

能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型等解决实际题,能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.知识与能力3.2.2函数模型的应用实例

体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．

情感态度与价值观

感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性,进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.过程与方法3.2.2函数模型的应用实例教学重难点重点难点

运用一次函数、二次函数模型等处理实际问题．利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题．

将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．3.2.2函数模型的应用实例例某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

思考：本例涉及到哪些数量关系？应用如何选取变量，其取值范围又如何？应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？“总收入最高”的数学含义如何理解？3.2.2函数模型的应用实例由二次函数性质可知当x=10时，所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．(0<x<30)解：设客房日租金每间提高x个2元，则每天客房出租数为300-10x,由x>0，且300-10x>0得,0<x<30,设客房租金总收入y元，则有：3.2.2函数模型的应用实例例一辆汽车在某段路程中的行驶速率与是时间的关如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车汽车的历程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图像.3.2.2函数模型的应用实例0123451030507090解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.

能根据此图画出汽车行驶路程关于时间变化的图像吗？3.2.2函数模型的应用实例（2）根据上面的图，有3.2.2函数模型的应用实例函数图像为x13452y20002100220023002400

注意这是分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.3.2.2函数模型的应用实例例人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.3.2.2函数模型的应用实例下面表1是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人551965630057482587966026661456628286456365994672073.2.2函数模型的应用实例分析：每年的增长率是多少这几年的平均增长率是多少马尔萨斯的人口增模型如何检测此模型与实际人口数据相符哪一年我国人口达到13亿3.2.2函数模型的应用实例解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为可得1951年的人口增长率同理可得，所以，1951～1959年的人口平均增长率为3.2.2函数模型的应用实例马尔萨斯人口增长模型：如何检测此模型与实际人口数据相符？根据已知的表格数据作出散点图并作出函数的图像．ty9876543215000055000600006500070000由图我们看出所得的模型与1950-1959年实际人口数据基本吻合3.2.2函数模型的应用实例（2）将y=130000代入由计算器可得

所以，按照表1的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就达到13亿，由此看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然生长，今天中国将面临难以承受的人口压力.3.2.2函数模型的应用实例实际问题数学模型实际问题的解抽象概括数学模型的解还原说明推理演算建立函数模型的全过程：3.2.2函数模型的应用实例思考

对于模型的结果与实际存在的情况有什么看法吗？

注意在用已知的函数模型刻画实际问题时候，由于实际问题的条件与已知模型的条件不同，所以往往需要对模型进行修正.

面对实际问题我们怎么样才能解决它呢？我们能不能通过自己建立函数模型来解决实际问题呢？3.2.2函数模型的应用实例例某家电企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空凋、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:家电名称空调彩电冰箱每台所需工时1/21/31/4每台产值（千元）432问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台,才能使周产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)3.2.2函数模型的应用实例解：设每周应制作空调x台，彩电y台，则每周制作冰箱（360-x-y）台，本周的产值设为w千元．于是又因为（1）（2）3.2.2函数模型的应用实例由（2）式得到y=360-6x．则代入（1）式得到又因为，根据一次函数的单调性可以知道在x=60时，w取得最大值为270．此时y=0，即每周生产空调60台，彩电0台，冰箱300台，这时周产值最高，为270千元.3.2.2函数模型的应用实例例某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表2身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近视地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.3.2.2函数模型的应用实例(2)若体重超过相同身高男性体重平均的1.2倍为偏胖，低于0.8倍偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?

分析：由图表2的数据不能看出身高与体重的关系，可以画出散点图.

解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.身高（cm）o体重(kg)3.2.2函数模型的应用实例根据点的分布特征，可以考虑以作为刻画这个地区未成年人男性的体重与身高的关系的函数模型.选取数据（60，⒍13），(70,⒎90)，代入得到可得到a≈1.338，b≈

1.026，函数模型y＝1.338·1.026x由函数图像与散点图比较，发现散点图上的好多点都偏离函数图像，所以此函数不能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系.3.2.2函数模型的应用实例身高（cm）o体重(kg)选取(70,⒎90)，（160，47.25）算出a≈

2，b≈

1.02，函数模型

由此发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好的反应这个地区未成年男性体重与身高的关系.

（2）将x=175代入得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以这个男生偏胖.3.2.2函数模型的应用实例1、收集数据；2、作出散点图；3、通过观察图象判断问题所适用的函数模型；4、用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式；5、用得到的函数模型解决相应的问题.函数应用的基本过程3.2.2函数模型的应用实例收集数据画散点图验证选择函数模型求函数模型用函数模型解决实际问题检验模型不好好待定系数法3.2.2函数模型的应用实例课堂小结实际问题数学模型实际问题的解抽象概括数学模型的解还原说明推理演算建立函数模型的全过程：3.2.2函数模型的应用实例收集数据画散点图验证选择函数模型求函数模型用函数模型解决实际问题检验模型不好好待定系数法3.2.2函数模型的应用实例

注意在用已知的函数模型刻画实际问题时候，由于实际问题的条件与已知模型的条件不同，所以往往需要对模型进行修正.3.2.2函数模型的应用实例高考链接1.（2007江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A.B.C.D.3.2.2函数模型的应用实例解析：因为酒杯内高度相等、杯口半径相等，故第4个杯子剩余酒的高度正好是杯高的一半，而前三个都高于一半，排除BD，在第1个杯子和第2个杯子的比较，我们可以画体积和高度的函数关系图像。如图4所示，第2个杯子的体积V随高度h的变化快，故第2个杯子的高度要高于第1个杯子，故选A3.2.2函数模型的应用实例2.（2007广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，然后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的图像中，正确的是（）3.2.2函数模型的应用实例解析：解决本题的关键是分析路程s与时间t之间关系的图象中所过的特殊点。由题可知，路程s与时间t之间关系的图象过点（1，60）（1.5，60）（2.5，140）只有B项符合条件，故选B3.2.2函数模型的应用实例1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20元B.18元C.16元D.14元C课堂练习3.2.2函数模型的应用实例2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为()A.95元B.100元C.105元D.110元A3.2.2函数模型的应用实例3.要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．

解：设池底宽为xm，则池底长4/xm，令水池总造价为w元,则W=480+2x×80×2+4/x×2×80×2=480+320x+1280/x=480+320(x+4/x)又因为x+4/x≥4，所以w在(x+4/x)=4时取得最小值即在x=2时w取得最小值，也就是池底宽与长都为2m时，造价最低为1760元.3.2.2函数模型的应用实例4.某蔬菜菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：（1）、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）式3.2.2函数模型的应用实例0200300t100300P0t