北师大版八年级下册数学(第1章-三角形的证明)全章教学课件

北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用北师大版八年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第一章三角形的证明1.1等腰三角形第1课时全等三角形与等腰三角形的性质第一章三角形的证明1.1等腰三角形第1课时全1课堂讲解全等三角形等腰三角形的边、角性质等腰三角形的“三线合一”性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解全等三角形2课时流程逐点课堂小结作业提升活动：实践观察，认识三角形DACB得到这个△ABC中AB和AC有什么关系?活动：实践观察，认识三角形DACB得到这个△ABC中AB和1知识点全等三角形问题全等三角形的定义是什么？知1－导1知识点全等三角形问题全等三角形的定义是什么？知1－导1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）知1－讲1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.知知1－讲

利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时，两个三角形符合“边角边”，△ADF≌△CBE．导引：例1如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BEB知1－讲利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时，导引：例总结知1－讲此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．总结知1－讲此题主要考查了全等三角形的知1－练

【中考·怀化】如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：_________________________________________，使得△ABC≌△DEC.1DE＝AB或∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE知1－练【中考·怀化】如图，AC＝DC，BC＝EC，请你知1－练

【中考·黔西南州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC2C知1－练【中考·黔西南州】如图，点B，F，C，E在一条直线知1－练

【中考·鄂州】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则△ABE的面积为(

)A.B.C.D.3D知1－练【中考·鄂州】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC2知识点等腰三角形的边、角性质知2－导1．等腰三角形的相关概念回顾：

腰腰顶角底角底角底边2知识点等腰三角形的边、角性质知2－导1．等腰三角形的相关概知2－导2．议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.

知2－导2．议一议归纳知2－导

定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.归纳知2－导定理等腰三角形的两底角相等.知2－讲例2已知：如图1-1，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.

图1-2知2－讲例2已知：如图1-1，在△ABC中，AB＝AC.知2－讲证明：如图1-3，取BC的中点D，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）.

知2－讲证明：如图1-3，取BC的中点D，连接AD.知2－讲

性质：等腰三角形的两底角相等

(简写成“等边对等角”)．知2－讲性质：等腰三角形的两底角相等知2－讲例3(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.

知2－讲例3(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝5知2－讲(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为若底角为

90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°.

知2－讲(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角总结知2－讲

1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理．2．若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．总结知2－讲1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是1在△ABC中，AB＝AC.(1)若∠A＝50°，则∠C等于多少度？知2－练

(1)在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.

因为∠A＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＝180°－∠A＝140°.

所以∠C＝70°.解：1在△ABC中，AB＝AC.知2－练(1)在△ABC中，(2)若∠B＝72°，则∠A等于多少度?知2－练

(2)因为∠B＝72°，所以由(1)可知：∠A＝180°－2∠B

＝180°－2×72°

＝36°.解：(2)若∠B＝72°，则∠A等于多少度?知2－练(2)因为2如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD.(1)求证：△ABD是等腰三角形；知2－练

(1)在△ACB和△ACD中，所以△ACB≌△ACD(SAS)．所以AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．所以△ABD是等腰三角形．证明：A2如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝C(2)求∠BAD的度数.知2－练

因为AC＝BC，所以∠B＝∠BAC.因为∠ACB＝90°，所以∠BAC＝45°.同理∠DAC＝45°，所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC

＝45°＋45°＝90°.解：(2)求∠BAD的度数.知2－练因为AC＝BC，解：3知2－练

【中考·宁德】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是(

)A．∠ADB＝∠ACB＋∠CADB．∠ADE＝∠AEDC．∠CDE＝∠BADD．∠AED＝2∠ECDD3知2－练【中考·宁德】如图，在△ABC中，AB＝AC，点4知2－练

【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(

)A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABEC4知2－练【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝知3－导3知识点等腰三角形的“三线合一”性质想一想在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论?知3－导3知识点等腰三角形的“三线合一”性质想一想知2－导归纳推论等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）

知2－导归纳推论等腰三角形的顶角平分线、底边上

知3－讲如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)求证：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例4(1)解：知3－讲如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中

知3－讲(2)求证：EF＝ED.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.知3－讲(2)求证：EF＝ED.1知3－练

【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C1知3－练【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D2知3－练

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法正确的有(

)①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个D2知3－练如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，3知3－练

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，若只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(

)A．BD＝CE

B．AD＝AEC．DA＝DE

D．BE＝CDC3知3－练如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上1．知识方面：（1）等腰三角形的性质：等边对等角.（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法.1知识小结1．知识方面：1知识小结已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三角形的一个底角的度数为(

)A．40°

B．55°C．70°

D．55°或70°易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误2易错小结D已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三易错点：求等北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用北师大版八年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第一章三角形的证明1.1等腰三角形第2课时等边三角形的性质第一章三角形的证明1.1等腰三角形第2课时等边三1课堂讲解等腰三角形中相等的线段等边三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解等腰三角形中相等的线段2课时流程逐点课堂小结作等腰三角形有哪些性质？复习回顾1．等腰三角形的性质：等边对等角.2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.等腰三角形有哪些性质？复习回顾1．等腰三角形的性质：等边对等1知识点等腰三角形中相等的线段在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？知1－导

1知识点等腰三角形中相等的线段在等腰三角形中知1－讲例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.

知1－讲例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等.知1－讲

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角）.∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∠ACB＝∠ABC,BC=CB,∠1＝∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.证明：知1－讲∵AB＝AC，证明：知1－讲

例2求证：等腰三角形两腰上的中线相等．导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明．知1－讲例2求证：等腰三角形两腰上的中线相等．导引知1－讲

解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，求证：CE＝BD.∵AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.∴CE＝BD.证明：知1－讲解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(

)A．BC边上的高线和中线互相重合B．AB和AC边上的中线相等C．顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D．AB，BC边上的高线相等知1－练

D在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(知1－练

如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(

)A．BD，CE为AC，AB边上的高B．BD，CE都为△ABC的角平分线C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACBD．∠ABD＝∠BCED知1－练如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使2知识点等边三角形的性质知2－导1．等边三角形的定义是什么？2．想一想等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢?

2知识点等边三角形的性质知2－导1．等边三角形的定义是什么？归纳知2－导

定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.归纳知2－导定理等边三角形的三个内角都相等知2－讲已知：如图,在△ABC中，AB=AC=BC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).又∵AC=BC，∴∠A=∠B(等边对等角).∴∠A=∠B=∠C.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∴∠A=∠B=∠C=60°.

证明：知2－讲已知：如图,在△ABC中，AB=AC=BC.知2－讲

ABC等边三角形的定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).等边三角形是特殊的等腰三角形.知2－讲ABC等边三角形的定义三条边都相等的三角形叫做知2－讲有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）有两个角相等的三角形是等腰三角形.满足什么条件的三角形是等边三角形?满足什么条件的三角形是等腰三角形?三边都相等的三角形是等边三角形（定义）三个角都相等的三角形是等边三角形.方法一：从边看方法二：从角看方法一：方法二：知2－讲有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）有两个角相等的知2－讲如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．

例3导引：要计算出△DEF各个内角的度数，有两个途径，即证△DEF为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直的定义及等边三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易．知2－讲如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边知2－讲因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.即△DEF各个内角的度数都是60°.

解：知2－讲因为△ABC是等边三角形，解：总结知2－讲

利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．总结知2－讲利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利知2－讲如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.

例4导引：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从等边三角形中去寻找．知2－讲如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．例4知2－讲∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.在△ABE与△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.

证明：知2－讲∵△ABC和△BDE都是等边三角形，证明：总结知2－讲运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．

总结知2－讲运用等边三角形性质证明线段相等的方法：1求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.知2－练

解：如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，AC边上的中线，且CE与BF相交于点O，则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，在Rt△ABF中，∵∠A＝60°，∴∠ABF＝30°.在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.1求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.知2－练解：如图2如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.知2－练

解：由题意易知，BD＝DE＝AD，∴∠DBA＝∠BAD.又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE

＝30°＋60°＋30°＝120°.2如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等3下面关于等边三角形的说法正确的有(

)①三个角都相等；②三条边都相等；③是一种特殊的等腰三角形；④是一种特殊的直角三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练

C3下面关于等边三角形的说法正确的有()知2－练C4已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC的长是(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm知2－练

B4已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC5如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为(

)A．90°B．30°C．120°D．150°知2－练

C5如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的6【中考·南充】如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(

)A．(1，1)

B．(，1)

C．(，)

D．(1，)知2－练

D6【中考·南充】如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(

)A．3B．2C．1D．0知2－练

A7如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹角为20°，则∠α的度数为(

)A．60°B．45°C．40°D．30°知2－练

C8如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(

)A．45°B．55°C．60°D．75°知2－练

C9如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P1．等腰三角形的特殊性质：(1)等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的高相等；(3)等腰三角形两腰上的中线相等；1知识小结1．等腰三角形的特殊性质：1知识小结

2．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．2．等边三角形的性质：已知△ABC是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交于点G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点H，则下列结论：①点G与点I一定重合；②点G与点H一定重合；③点I与点H一定重合；④点G，点I与点H一定重合．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个易错点：忽视等边三角形与等腰三角形的关系而致错2易错小结D已知△ABC是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交于点因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分线互相重合，所以点G，点I与点H一定重合．因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用北师大版八年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第一章三角形的证明1.1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定第一章三角形的证明1.1等腰三角形第3课时等腰三1课堂讲解等腰三角形的判定反证法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解等腰三角形的判定2课时流程逐点课堂小结作业提升1、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形是轴对称图形.③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”).②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2、等腰三角形有哪些性质？DABC既是性质又是判定1、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形,叫做等腰三1知识点等腰三角形的判定知1－导思考我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？1知识点等腰三角形的判定知1－导思考如图，在△ABC中，∠B=∠C.作△ABC的角平分线AD.在△BAD和△CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，

AD=AD,∴△BAD≌△CAD(AAS).∴AB=AC.知1－导如图，在△ABC中，∠B=∠C.知1－导知1－导归纳由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”).（来自教材 ）知1－导归纳由上面推证，我们可以得知1－讲1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称等角对等边)应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：．

知1－讲1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角知1－讲

例1已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA

相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.知1－讲例1已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，B知1－讲

∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB＝DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE＝DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.证明：知1－讲∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，证明：知1－讲

如图­，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由．导引：要说明△ABC为等腰三角形，由图可知即要说明∠B＝∠C，而∠B，∠C分别在两个直角三角形中，因此只要说明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．例2知1－讲如图­，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作知1－讲

解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵PR是BC的垂线，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.知1－讲解：△ABC是等腰三角形．理由如下：总结知1－讲

本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用．总结知1－讲本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用1如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平分线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.知1－练

解：△BDE为等腰三角形．理由如下：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC.因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.所以∠EBD＝∠EDB.所以EB＝ED.故△BDE为等腰三角形．1如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D2在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°知1－练

B2在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三3如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(

)A．3个B．4个C．5个D．6个知1－练

D3如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图4【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(

)A．2B．3C．4D．5知1－练

C4【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分知1－练C5如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACEC．△OBC

D．△OCD知1－练

C5如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是6在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(

)知1－练

B6在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等7【中考·武汉】在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(

)A．5B．6C．7D．8知1－练

B7【中考·武汉】在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(42知识点反证法知2－导想一想小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

2知识点反证法知2－导想一想知2－导

小明是这样想的：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC．你能理解他的推理过程吗？知2－导小明是这样想的：归纳知2－导

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.归纳知2－导小明在证明时，先假设命题的结论不成立知2－讲1．定义在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．2．利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．知2－讲1．定义知2－讲3．适宜用反证法证明的命题反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．知2－讲3．适宜用反证法证明的命题知2－讲用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为_____________________________________．导引：反证法的第一步是假设“命题的结论不成立”，就是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结论和命题结论的反面，问题即可解决．例3假设等腰三角形的两底角是直角或钝角

知2－讲用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一知2－讲用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.

例4证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.知2－讲用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.例41已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于.知2－练

解：假设这五个数均小于，不妨设则有即这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于1已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个2用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(

)A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角知2－练

A2用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(1．等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．2．利用反证法解题的一般步骤：(1)假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确.1知识小结1．等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前1知识小结如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，求证：∠DAB是一个锐角．易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错2易错小结如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，假设∠DAB是一个直角或钝角，则∠DAB≥90°，∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝∠DAB≥90°.则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC≥90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC>180°.这与三角形内角和为180°矛盾，∴∠DAB是一个直角或钝角的假设不成立．∴∠DAB是一个锐角．证明：假设∠DAB是一个直角或钝角，则∠DAB≥90°，证明：北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用北师大版八年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第一章三角形的证明1.1等腰三角形第4课时等边三角形的判定第一章三角形的证明1.1等腰三角形第4课时等边三1课堂讲解等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解等边三角形的判定2课时流程逐点课堂小结作业提升等边三角形有哪些性质？复习回顾等边三角形有哪些性质？复习回顾归纳

等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于

60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．归纳等边三角形的性质：1知识点等边三角形的判定一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.知1－导

1知识点等边三角形的判定一个三角形满足什么条件时是等边三角形总结知1－导

定理三个角都相等的三角形是等边三角形.定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.总结知1－导定理三个角都相等的三角形是等边三角形.知1－讲

1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．2．应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法．知1－讲1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；知1－讲如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．

例1导引：从题中条件看，利用三角形的外角性质易求∠OEF＝∠OFE＝60°，从而证明△OEF是等边三角形．知1－讲如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平知1－讲

∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等边三角形．证明：知1－讲∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，证总结知1－讲

证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．总结知1－讲证明一个三角形是等边三角形的方法：等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(

)A．有一个内角是60°B．有一个外角是120°C．有两个角相等D．腰与底边相等知1－练

C等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是()2知1－练

如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(

)A．2个B．3个C．4个D．5个D2知1－练如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点知1－练

3下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④D知1－练3下列三角形：①有两个角等于60°的三角形知1－练

4

(中考•河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(

)A．1个B．2个C．3个D．3个以上D知1－练4(中考•河北)如图，∠AOB＝120°，OP平知1－练

5如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为(

)A．34cmB．32cmC．30cmD．28cmC知1－练5如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木2知识点含30°角的直角三角形的性质知2－导做一做用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.

2知识点含30°角的直角三角形的性质知2－导做一做归纳知2－导

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.归纳知2－导定理在直角三角形中，如果一个锐知2－导已知：如图(1)，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°求证：BC＝AB.

知2－导已知：如图(1)，△ABC是直角三角形，∠C＝知2－导

证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴BC＝BD＝AB.知2－导证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．要点精析：(1)适用条件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．

知2－讲性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，知2－讲知2－讲求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝AB

例2知2－讲求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰知2－讲在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).∴CD=AB.证明：

知2－讲在△ABC中，证明：知2－讲

例3〈温州〉如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．导引：(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．知2－讲例3〈温州〉如图，在等边三角形ABC中，点D，E知2－讲(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.

解：知2－讲(1)∵△ABC是等边三角形，解：总结知2－讲

利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有两个要素：一是含30°的角；二是直角三角形．根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系．总结知2－讲利用含30°角的直角三角形的性质，关键要1知2－练

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.因为CD是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因为∠B＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：1知2－练如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝(2016•百色)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(

)A．6B．C．D．12知2－练

A(2016•百色)如图，在△ABC中，∠C＝90°，知2－练知2－练

3如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB知2－练3如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30知2－练

如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4知2－练如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥知2－练

如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(

)A．3mB．4mC．5mD．6B5知2－练如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中A知2－练

【中考·河池】已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(

)A．3B．4C．8D．9C6知2－练【中考·河池】已知等边三角形ABC的边长为12，D等边三角形的判定方法：定理三个角都相等的三角形是等边三角形.定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．(2)含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．1知识小结等边三角形的判定方法：1知识小结已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(

)A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形易错点：对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法不理解导致出错2易错小结D已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对如图，连接PO.∵点P1与P关于OB对称，∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.∴△OP1P2为等边三角形．如图，连接PO.本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不会用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法．本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用北师大版八年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用1.1等腰三角形第5课时三角形中的五种常见证明类型第一章三角形的证明1.1等腰三角形第一章三角形的证明题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.1类型证明数量关系题型1证明线段相等1类型证明数量关系证明：返回证明：返回题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．题型2证明角相等证明：返回证明：返回题型1证明平行关系3．如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边作等边三角形PCE.求证：AE∥BC．2类型证明位置关系题型1证明平行关系2类型证明位置关系证明：返回证明：返回题型2证明垂直关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.题型2证明垂直关系证明：返回证明：返回5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB．求证：(1)AB＝2BC；(2)CE＝AE＝BE.3类型证明倍分关系5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠(1)∵∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°.∴∠1＋∠2＝60°.∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.∴∠A＝30°.在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠1＝(2)由(1)知∠A＝∠1＝30°，∴CE＝AE.又易得∠B＝∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴CE＝BE.∴CE＝AE＝BE.返回(2)由(1)知∠A＝∠1＝30°，返回6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AC＝AB＋BD．4类型证明和差关系6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．证明：如图，延长CB至点E，使BE＝BA，连接AE，则∠BAE＝∠E.∴∠ABC＝∠BAE＋∠E＝2∠E.又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.证明：如图，延长CB至点E，使BE＝BA，∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.返回∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，返回7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC．求证：AB－AC＞PB－PC．5类型证明不等关系7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意证明：证明：北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用北师大版八年级下册数学本课件来源于网络只供免费交流使用第一章三角形的证明1.2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定第一章三角形的证明1.2直角三角形第1课时直角三1课堂讲解直角三角形中角的关系直角三角形中边角关系逆命题和逆定理2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解直角三角形中角的关系2课时流程逐点课堂小结作业三角形的分类按边分类按角分类三角形的分类按边分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形—有一个角是钝角三角形按角的分类—三个角都是锐角—有一个角是直角生活中用到直角三角形的例子很多三角形锐角三角形—有一个角是钝角三角形按角的分类—三个角都是锐角—1知识点直角三角形中角的关系想一想(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？知1－导1知识点直角三角形中角的关系想一想知1－导归纳知2－导

定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.归纳知2－导定理直角三角形的两个锐角互余.知1－讲

如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例1知1－讲如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，A知1－讲

由题意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：知1－讲由题意可知，解：总结知1－讲

三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半．总结知1－讲三角形中一个角的平分线1【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°知1－练

B1【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图2知识点直角三角形中边角关系知2－导勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.ACB2知识点直角三角形中边角关系知2－导勾股定理直角三角知2－导反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.已知：如图(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形知2－导反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平知2－讲证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC是直角三角形.

知2－讲证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′，使知2－讲例2A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(

)

知2－讲例2A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝知2－讲导引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝，即点C到AB的距离为.

知2－讲导引：方法一：知2－讲方法二：过点C作CD⊥AB于点D，则S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝，即点C到AB的距离为.

知2－讲方法二：过点C作CD⊥AB于点D，总结知2－讲

应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．总结知2－讲应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.知2－练

因为∠A＝