第1章-线性空间与内积空间课件

第2章线性映射与线性变换第1章线性空间与内积空间第3章λ矩阵与矩阵的Jordan标准形第4章矩阵的因子分解第7章矩阵函数与矩阵值函数第5章Hermite矩阵与正定矩阵第6章范数与极限第8章广义逆矩阵第2章线性映射与线性变换第1章线性空1约定和常用符号（1）集合用大写字母A，B，C，…表示，集合中的元素用小写字母a，b，c…表示.约定和常用符号（1）集合用大写字母A，B，C，…表示，2第1章--线性空间与内积空间课件31.1预备知识1.2线性空间1.3基与坐标1.4线性子空间1.5线性空间的同构1.6内积空间

第1章线性空间与内积空间1.1预备知识1.2线性空间1.3基与坐标1.441.1预备知识元素称为元素在映射下的像，称

为

的原像。集合

称为映射

的定义域，集合称为映射

的值域。

定义1.1.1设

是两个非空集合，如果存在对应法则

，使得

，按对应法则

，在

中有唯一元素

与之对应，则称

是

到

的一个映射,记为映射的例子：1.1预备知识元素称为元素在5

定义1.1.2设是非空集合，定义映射如下:称是上的恒等映射或单位映射。定义1.1.３设

是集合

到

的一个映射，（1）如果，则称

是

到

的满映射；（2）如果，有，则称

是

到

的单映射；（3）如果

既是单映射又是满映射，则称

是

到

上的一一映射或称

是

到

的双映射。定义1.1.2设是非空集合，定义映射如下6

定义1.1.４设是两个映射，如果

则称映射与相等，记为。

定理1.1.1设有映射和，则定义1.1.5设

是三个非空集合，如果和是两个映射，则定义乘积映射如下：定义1.1.４设是两个映射，如7

定义1.1.６设有映射

，如果存在映射使得，则称

为的逆映射,记为。如果映射有逆映射，则称

为可逆映射。定理1.1.2设映射

是可逆的，则

的逆映射是唯一的。定理1.1.3映射

是可逆映射的充分必要条件是

为

到

的双映射。

定义1.1.７

设

是三个非空集合，到

的映射称为

与

到

的一个代数运算；到

的映射称为

到

的代数运算；到

的映射称为

上的代数运算。定义1.1.６设有映射，如果存在映射8

对任意

，映射是

与

到

的代数运算。

对任意，映射是

与

到

的代数运算。

对任意

，映射是

上的代数运算。

对任意，映射是

到

的代数运算。对任意，映射91.2线性空间定义1.2.1设P是包含0和1在内的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。定义1.2.2设V

是一个非空集合，P是一个数域，如果在V上定义有代数运算（称为加法运算）；在P与V到V定义有代数运算（称为数乘运算），并且加法与数乘运算满足如下八条规则：1.2线性空间定义1.2.1设P是包含0和10其中k，m是P中的任意数，α,β,γ是V中的任意元素，则称V为数域P上的线性空间。线性空间V中的元素也称为向量。

定理1.2.1设V是数域P上的线性空间，则(1)

中零元素是唯一的；(2)

中任一元素α的负元素是唯一的；定义线性空间中的减法：。其中k，m是P中的任意数，α,β,γ是V中的任意元素，则称11以下总设

P是数域，V是数域

P上的线性空间。定义1.2.3设是V中的一组向量，是数域

P中的数，如果V中向量α可以表示为则称α可由线性表示，或称α是的线性组合。定义1.2.4设与是线性空间V中两个向量组，如果向量组()中每个向量都可由向量组()线性表示，则称向量组()可由向量组()线性表示；如果向量组()与()可以互相线性表示，则称向量组()与向量组()等价。以下总设P是数域，V是数域P上的线性空间。12

设向量组可由向量组线性表示，则上式可以简记为，其中设向量组可由向量组13

注1向量组可由向量组线性表示的充分必要条件是，存在矩阵

A，使得注2向量组的线性表示满足传递性。

注3向量组的等价满足自反性、对称性和传递性。定义1.2.5设是V中一组向量，如果存在不全为零的数P，使得则称线性相关，否则就称线性无关。注1向量组可由向量组14

注4向量组线性相关的充分必要条件是，向量方程在数域中有非零解。

定理1.2.2设V

是数域

P上的线性空间.(1)V中一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0；(2)V中一组向量线性相关的充分必要条件是,其中有一个向量是其余向量的线性组合。

例1.2.1证明中的一组向量线性相关。注4向量组线性相关的充分必要条件是，向量15定理1.2.3设V是

P上的线性空间，如果V中向量组

线性无关，并且可由向量组线性表示，则。

推论1.2.1两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。

推论1.2.2

如果向量组可由向量组线性表示且，则线性相关。

定理1.2.4

设线性空间V中向量组线性无关,而向量组线性相关，则β可由唯一线性表示。定理1.2.3设V是P上的线性空间，如果V16

定义1.2.6

设是线性空间V的一组向量，是其线性无关部分向量组，如果中任一向量都可由向量组线性表示，则称为向量组的一个极大线性无关组，数r

称为向量组的秩，记为推论1.2.5

等价的向量组有相同的秩。

推论1.2.3

线性无关的充要条件是

推论1.2.4

如果向量组可由向量组线性表示，则。定义1.2.6设是线性空间17

定义1.2.7

如果线性空间V中有n

个线性无关的向量，而任意ｎ+1个向量都线性相关，则称V是n

维的，记为dim(V)=n；如果在

V中存在任意多个线性无关的向量，则称V

是无限维的，记为dim(V)=；如果V中仅含有零向量，则称V是零维的，记为dim(V)=０。

定理1.2.5

设是

V中n

个线性无关的向量，如果V中任一向量都可由线性表示，则dim(V)=n。

例1.2.2

设有线性空间，证明dim(V)=３。定义1.2.7如果线性空间V中有n个线性无关的181.3基与坐标

定义1.3.1设V为数域P上的n

维线性空间，V中n个线性无关的向量称为V的一组基。设α是V中任一向量，则α可由基唯一线性表示：其中系数称为α在基下的坐标，记为

或。1.3基与坐标定义1.3.1设V为数域19

设是线性空间V

的一组基，是V的

n个向量，则（2）当且仅当T

可逆时，也是V的一组基。

当

和都是V

的基时，称Ｔ是由基到基的过渡矩阵。（1）存在n阶方阵，使得

定理1.3.1在n

维线性空间V

中，任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V

的一组基.设是线性空间V的一组基，20设与是线性空间V

的两组基，且向量α在基和基下的坐标分别是和，则有如下坐标变换公式：设与是线21

例1.3.1在线性空间中取证明是Ｖ的一组基，并求矩阵在这组基下的坐标。例1.3.1在线性空间中取证明221.4线性子空间定义1.4.1设V

是数域P上的线性空间，W

是V的非空子集，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的一个线性子空间，简称子空间。子空间的例子:1.4线性子空间定义1.4.1设V是数域P上的23

定理1.4.2如果W

是线性空间V

的子空间，则

定理1.4.3

设是线性空间Ｖ的一组向量则W是V的子空间，称为由向量

张成的子空间。

定理1.4.1设V是线性空间，W是V的非空子集，则W是V的子空间的充要条件是有

由向量张成的子空间W也可记为定理1.4.2如果W是线性空间V的子空间，则24

定理1.4.4设与是线性空间Ｖ

的两组向量，则注

定理1.4.5设是线性空间Ｖ的两个子空间，则

也是Ｖ的子空间。定理1.4.4设与是线性空间Ｖ的25

定义1.4.2设是线性空间Ｖ的两个子空间，定义

与的和为：

定理1.4.6设是线性空间V的两个子空间，则

也是V

的子空间。一般地，可定义多个子空间的交与和则和都是Ｖ的子空间。定义1.4.2设是线性空间Ｖ的两个子空间，定义26

例1.4.2在例1.4.1中，求的维数和基。

例1.4.1设，其中求的维数和一组基。

定理1.4.7如果和是线性空间V

的两个有限维子空间，则例1.4.2在例1.4.1中，求的维数和基。27

定义1.4.3设是线性空间V的两个子空间，如果

，其分解式唯一，则称是和的直和，记为

定理1.4.8设U是有限维线性空间V的一个子空间，则存在V的一个子空间W，使定义1.4.3设是线性空间V的两个子空28

定理1.4.9设是线性空间V的两个子空间，则以下结论等价：(1)是直和；(3)(4)(2)中零向量的表法唯一，即若存在使定理1.4.9设是线性空间V的两个子空间29定义1.4.4设是线性空间V的

s个子空间，如果，其分解式唯一，则称和为直和，记为定义1.4.4设是线性空间30

定理1.4.10设是线性空间V的

s

个子空间，则以下结论等价：(3)(4)(1)和是直和；(2)和零向量的表法唯一；定理1.4.10设是线性空间V311.5线性空间的同构

注同构具有自反性、对称性和传递性。

定义1.5.1设V与都是数域P上的线性空间，如果存在V到的双映射

满足其中α,β是V中任意向量，k是数域P中任意数，则称为V到的同构映射，并且称V与是同构。1.5线性空间的同构注同构具有自反性、对称性和传递32

定理1.5.1设V与是数域P上同构的线性空间，为V

到的同构映射，则定理1.5.1设V与是数域P上同构33

定理1.5.2数域

P上的两个有限维线性空间V与同构的充分必要条件是它们的维数相同。

例1.5.1设是数域

P上

n

维线性空间Ｖ的一组基，定义映射P如下：其中是向量在基下的坐标，则是Ｖ到

P的同构映射。定理1.5.2数域P上的两个有限维线性空间V与34

定义1.6.1设V是数域P上的线性空间，如果存在V到P一个代数运算(α,β)，它满足条件：1.6内积空间其中

，则称V是一个内积空间，称(α,β)为α与β的内积。如果P＝Ｒ，则称V为Euclid空间；如果

P＝Ｃ，则称V

为酉空间。定义1.6.1设V是数域P上的线性空间，如果存在V35

在内积空间中，成立以下性质：

内积空间的例子：在内积空间中，成立以下性质：内积空间的例子：36

方阵的迹具有以下性质：方阵的迹具有以下性质：37的共轭转置矩阵。

矩阵的共轭转置具有下列性质：的共轭转置矩阵。矩阵的共轭转置具有下列性质：38

定义1.6.2

设V是内积空间，V中向量α的长度定义为

，长度为1的向量称为单位向量。例1.6.1

定义1.6.2设V是内积空间，V中向量α的长度定义39

定理1.6.1设V是数域P

上的内积空间，则向量长度

具有如下性质：定理1.6.1设V是数域P上的内积空间，则向量长40

不等式称为Cauchy不等式。不等式称为Cauchy不41

定义1.6.3设V是内积空间，V

中向量α与β之间的距离定义为

距离满足如下三个基本条件：

定义1.6.4设α,β是欧氏空间Ｖ中两个非零向量，它们之间的夹角<α,β>定义为定义1.6.3设V是内积空间，V中向量α与β之间的42

定义1.6.5设α,β是内积空间中两个向量，如果(α,β)=0，则称α与β正交，记为。

如果α与β正交，则有如下“勾股定理”

定理1.6.２设是内积空间V中的一组向量,则线性无关的充分必要条件是Gram矩阵非奇异。定义1.6.5设α,β是内积空间中两个向量，如果(α43

定义1.6.6设，如果，则称

A为Hermite矩阵；如果，则称

A为反Hermite矩阵。

根据推论1.6.1，是m阶Hermite矩阵。

推论1.6.1设是内积空间V中一组向量，则

设V是n

维内积空间，是V的一组基，称矩阵

是基的度量矩阵。定义1.6.6设，如果44

设是基的度量矩阵，则

定理1.6.3设与是内积空间V的两组基，它们的度量矩阵分别为A

和B，并且基

到基的过渡矩阵为P，则设是基的度量矩阵，则定理1.6.345定义1.6.7设，如果存在n阶非奇异矩阵P，使得，则称A

与B

相合。定义1.6.8设都是内积空间V中的非零向量，如果则称是正交向量组；如果正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称该向量组是标准正交向量组。

定理1.6.4设是内积空间V中的正交向量组，则线性无关。定义1.6.7设，如果存在n阶46

定理1.6.5设是内积空间V中的线性无关向量组，则存在标准正交向量组使得与

等价。

注1设是内积空间V中的线性无关向量组，则存在标准正交向量组，使得因此。定理1.6.5设是内积空间V中的47

定理1.6.6设V是n

维内积空间，则V的标准正交基一定存在，且V的任意一组标准正交向量可扩充为V

的一组标准正交基。定义1.6.9在n

维内积空间中，由n个正交向量组成的基称为正交基；由n

个标准正交向量组成的基称为标准正交基。

定理1.6.7设是内积空间V

的一组基，其度量矩阵是A

，则A

一定与单位矩阵Ｉ相合。定理1.6.6设V是n维内积空间，则V的标准48

例1.6.2将中的向量组化为标准正交向量组。

注2设是内积空间V

的一组标准正交基，则对V中任意向量有例1.6.2将中的向量组注2设49

定理1.6.8设是内积空间V

中两个子空间,

若与正交，则和是直和。定义1.6.10设是内积空间V中两个子空间，向量，（1）如果有，则称α与子空间正交，记为；（2）如果，都有，则称子空间

与正交，记为。定理1.6.8设是内积空间V中两个子50定义1.6.11设是内积空间V中两个子空间，如果

与正交，则和称为与的正交和，记为

.定义1.6.12设是内积空间V

的一个子空间