数学建模综合分析法案例

数学建模竞赛论文论文题目：全国大学生数学建模竞赛命题的综合评价（甲组）参赛队员：姓名：系别：经管系年级姓名：系别：计算机年级：姓名：系别：数学系年级：2011年8月12日目录TOC\o"1-5"\h\z一、摘要 3二、问题重述 42.1）问题背景 42.2）涉及材料背景 42.3）问题提出 4三、问题分析及假设 43.1）对“质量”的定性及定量分析 43.2）问题的假设 4四、符号说明 5五、模型的建立及求解 65.1）模型的建立 6问题一 6问题二 75.2）模型的求解 95.3）模型的检验及分析 17六、模型的评价及改进 186.1）模型的不足 186.2）模型的优点 186.3）模型的推广 18七、参考文献 18全国大学生数学建模竞赛命题的综合评价一、摘要近年来，全国大学生数学建模竞赛受到社会各界的关注，为了进一步提高数学建模竞赛命题质量，促进数学建模竞赛活动更快、更好地发展，以1992年2010年全国大学生数学建模竞赛甲组命题质量为研究对象，对命题质量进行综合评价。本文运用模糊综合评判法对命题质量进行综合评价，以层次分析法为基础，建立三级评判矩阵以及评语向量，用进行矩阵间的运算求出二级评判矩阵及评语向量，最终求出综合评价指标。最终的综合评价指标能够比较准确的综合评价19922010年甲组38道命题的质量。运用对评价结果进行统计及整理，首先画曲线图，能够直观的看出每年命题的质量趋势，然后画出解决方法的统计，并进行相应分析，还做出题型特点的图，并对其进行分析。关键字：模糊综合评价法统计法命题质量因素集评价集、问题重述2.1问题背景全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是面向全国大学生的群众性科技活动，1992年由中国工业及应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业及应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。竞赛的目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。2.2涉及材料背景数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。三人共同完成题目，既能增强学生解决问题的能力，还能加学生的合作意识。参加数学建模同学的共鸣是一次参赛，终生受益。近年来数学建模受到各界的关注。2.3问题提出为了进一步提高数学建模竞赛命题质量，促进数学建模竞赛活动更快、更好地发展，(1)给出全国大学生数学建模竞赛命题的综合评价指标体系(分甲组、乙组任选一)；(2)根据你给出的综合评价指标体系给出评价模型，并给出相应的甲组(或乙组)1992年-2010年全国大学生数学建模竞赛所有命题的评价结果。三、问题分析及假设3.1对“质量”的定性及定量分析“质量”仅仅是一个广泛而模糊的概念，因此在实际生活中将质量转化成有参考价值的数据时，往往需要用数学建模的方法对其进行定性及定量的分析。本文在评价数学建模命题质量时，用综合模糊评判方法对命题质量给出一种综合评价方案。3.2问题的假设考虑到各因素之间的关系，按因素的不同性质分为三个因素集(即主要因素集)：题目的特点：｛(1),(2),(3),(4),(5)｝;实际的意义：｛(6),(7),(8),(9)｝；解决的方法：((10),(11)｝。根据问题的实际情况，对三个因素集中的11个二级因素，又可以分成27个三级因素(如表1即综合评价指标)，对每个三级因素都可以给出一个评判集，相应的可以构造出二级因素模糊矩阵和各个因素的权向量，确定出各个主要因素的隶属度，从而可以求出命题质量的评价指标，对命题质量给出客观的评价。

表1评价命题质量的各级因素及其权值主要因权模糊矩权二级因素素重阵三级因素重(A)方法融合0.6综合性(A)0.31111(A)学科交叉120.4(A)方法开放性0.6开放性(A)0.121(A)22(A)思路开放性220.4题(A)问题数据来自实际310.4目实用性(A)30.33(A)解决方法切合实际320.2特(A)模型结果应用于实际330.4点八、、(A)国内外大事410.3(0.3)即时性(A)0.1(A)社会热点0.24442(A)生活焦点430.5数据结构(A)数据的冗余性0.40.251复杂性(A)55(A)数据的海量性520.6(B)(B)电子通信0.5工业(B)0.311实11(B)机械设计及制造120.5际(B)农业增收0.6农业(B)0.421意22(B)农业管理220.4义经济(B)30.23(B)市场管理310.5

0.4(B)经济增长320.5(B)社会秩序维护0.3社会(B)0.14144(B)社会发展420.7(C)几何模型0.6(C)几何学(C)0.41111(C)几何理论0.4解12(C)统计分析0.2决21(C)规划方法0.2方22高等数学(C)0.6(C)插值及拟合0.2法2223(C)差分方法0.10.324(C)微分方法250.3四、符号说明A、B、C、：A、B、CiiiA、B、C主要因素；：二级因素；：三级因素；ijijijr:第i个三级因素第j个等级的隶属度；ijR，R，R：二级因素的模糊评判矩阵(其中1，2，3，4，5；1AiBjCk2，3，4；1，2；)；V(i)，V(j)，V(k)：对应于二级因素的模糊评判矩阵的相应的评语向量ABC，R：三个主要因素的模糊评判矩阵；ABC:对应及三个主要因素模糊矩阵相应的评语向量；ABC€，€，€:主要因素A、B、C、D的隶属度；123D：对命题质量的综合评价指标。五、模型的建立及求解5.1模型的建立问题1)数学建模命题质量受很多因素的影响，不能就单一的方面进行评价，应担综合考虑各个因素对命题的影响来评价命题质量，根据因素集建立命题质量综合评价体系(如表2)表2

数学建模命题质量综合评价体系主要因素二级因素权重模糊矩阵三级因素权重(A)方法融合0.6综合性(A)0.311(A)11(A)学科交叉120.4题(A1)方法开放性0.6开放性(A)0.12目22(A)思路开放性220.4特(A)问题数据来自实际310.4点八、、实用性(A)30.33(A)解决方法切合实际320.2(0.3)(A)模型结果应用于实际330.4即时性(A)40.14(A)国内外大事410.3

(A)社会热点 0.242(A43)生活焦点 0.5数据结构(A)数据的冗余性51(A)数据的海量性520.40.6复杂性(A)50.25(B)电子通信0.5工业(B)0.311(B)11(B)机械设计及制造120.5实(B)农业增收0.6农业(B)0.421际22(B)农业管理220.4意(B)市场管理0.5经济(B)0.231义33(B)经济增长320.50.4(B)社会秩序维护0.3社会(B)0.14144(B)社会发展420.7(C)几何模型0.6(C)几何学(C)0.41111(C)几何理论0.4解12(C)统计分析0.2决21(C)规划方法0.2方22高等数学(C)0.6(C)插值及拟合0.2法2223(C)差分方法0.10.324(C)微分方法250.3问题2)因为影响命题质量的有A、B、C三个主要因素，11个二级因素，27个三级因素，根据实际可以给出个因素的权值(如表1)。对于每个三级因素都可以给出由5个元素组成的评判集，例如｛很强，强，一般，弱，很弱｝、｛很多，多，一般，少，很少｝、｛非常严重，严重，一般，轻，很轻｝、｛很，大，一般，小，很小｝、｛很好，好，一般，差，很差｝｛100%,[95%,100%],[90%,95],[80%,90%].〈80%｝等（如表3）。表3各因素的评判集因素等级一等级二等级三等级四等级五11很强强一般弱很弱121234521很高高一般低很低22很高高一般低很低2331很多多一般少很少32很强强一般弱很弱33很广广一般窄很窄41很多多一般少很少42很多多一般少很少43很多多一般少很少44100%95100%9095%8090%<80%52100%95100%9095%8090%<80%B11非常大大一般小很小B12非常大大一般小很小B21非常多多一般少很少B22很好好一般差很差B31很好好一般差很差B32很大好一般差很差B41很好好一般差很差B42很大大一般小很小11很多多一般少很少12很强强一般弱很弱21很多多一般少很少22很多多一般少很少23很多多一般少很少24很多多一般少很少很多多一般少很少25实际中，通常是由专家组根据评价集对命题质量进行评价，由评价结果构造出每个因素的评判模糊矩阵。例如：记第i个三级因素的评判为（，，，，）（1,2,…），则相应的二级因素的模糊评判矩阵12345为ri1rri1r12r13r22r22r25r31rr31r32r3511/27•••25其中r=评其为第j个等级的人数€：=12.血；rij评委的总人数„j=1,2,,5…为第i个三级因素第j个等级的隶属度。于是可得11个二级因素的模糊评判矩阵,R,则相应的评语向量分别为ABC(i)*,(j)*,(k)*ABC其中,1,2,3,4,5；1,2,3,4；1,2,3.故三个主要因素的模糊评判矩阵为((1)(2)(3)(4)(5))T((1)(2)(3)(4))T((1)(2))T则相应的评语向量为(a,1a,a,a,(a,1a,a,a,a)*(,,,),512345(b)*(),

123412345(c)*().1212345令卩=令卩=工V，卩=工V,1aj2bj

j=1 j=1卩=工V，贝V卩，3cj1

j=1卩,卩分别是主要因23卩,卩)T.于是可23素为A、B、卩,卩)T.于是可231得对命题质量的综合评价指标为*卩二0.3卩+0.4卩+0.3卩123

5.2模型求解首先，由专家组根据评判集对2010年全国大学生数学建模命题质量进行评判，再由评判结果构造出每个因素的评判和模糊矩阵。记第i个三级因素的评判为(12345)(1,2…)，则相应的二级因素的模糊评判矩阵为00.10.50.4000.60.40.30.40.40.40.30.20.70.30.60.400.10.50.4000.60.40.30.40.40.40.30.20.70.30.60.40.6 0.30 0 00 0 00.100厂0.6 0.3 0.10.60.20.1000.100000.20.8=000014= 0 0 0.1 0.3V0.6 丿0.6 0.3 0.1、00100.90.1000.90.100100000_0000.10.90100.50.500.50.50 0.4 0.60.70.30000.70.20.1000000.10.90.80.20002(注：r=评其为第j个等级的人数€曰，.血；为第i个三级因素第j个等级ij 评委的总人数 ,j=l,2,,5丿的隶属度，假设评委人数为20人)然后,求出相应的评语向量,公式为(i)*,(j)*,(k)*ABC用求,编码为□其中是为第i个三级因素第j个等级的隶属度[w]为第三级因素的第j个因素的权重.*R(1)=(000.060.540.4);(2)=(0.340.40.2600);(3)=(0.640.320.0400)(4)=(0 00.050.230.72)(5)=(0.60.240.10.060);=(000.30.150.55);=(0000.060.94);

(3)=(0000.050.95);(4)=(0000.430.57);(1)=(0.740.26000);(2)=(0.260.120.10.10.42)故可求三个主要因素的模糊评判矩阵，公式为((1)(2)(3)(4)(5))T((1)(2)(3)(4))T((1)(2))T带入数据得000.340.64000.60.060.40.320.050.240.54带入数据得000.340.64000.60.060.40.320.050.240.540.260.040.230.10.060000000000.30.150.5500.060.9400.050.9500.430.570.740.260.260.120000.10.10.42再求相应的评语向量，公式为

再求相应的评语向量，公式为带入数据得(a，a，a，123(b)*(),123412345(c)*()1212345(0.170.060.06(00(0.252带入数据得(a，a，a，123(b)*(),123412345(c)*()1212345(0.170.060.06(00(0.252a，a)*(，，，),45123450.110.52);0.090.1220.781);0.1720.0060.0060.202)根据三个主要因素模糊评判矩阵相应的评语向量求A、B、C三个因素的隶属度，公式为€=工V，€=工V，€=工V1aj2bj3cj

j=1j=1j=1带入数据得€=0.92，€=0.993，€=0.746，即评价向量记为1 2 3€=（€，€，€）T123最后求命题质量的综合评价指标，公式为*€„0・3€+0冲+0.3€123带入数据得0.3*0.92+0.4*0.993+0.3*0.746=0.897综合指标为0.897说名质量比较好，但还是有一定的缺点，例如没有即时性，方法单一等。对1992-2010年甲组命题质量的评价统计到如下表中（表4）表4

历年数学建模题目得分

19920.2780.52519930.3010.6319940.6930.5319950.43250.6419960.42680.7419970.73690.6219980.85660.5219990.45210.4320000.73650.75520010.65980.6420020.65840.5920030.69630.6620040.60010.6420050.73710.5720060.92560.6720070.28660.720080.73670.6920090.99260.7520100.88970.615用根据上表（表4）做出逆命题趋势图（图1）从历年的题目总体质量看，质量并不是逐渐提升的，而是不断的波动变化，然而A题的质量变化较为明显，而B题相对较为稳定。这是由于每年根据收集对每年的题目水平并且适合学生的方面出发，而做的不断调整，是很有意义的。由图中还可看出A题2009年题目质量最好，0992年质量最差。B题是2003年质量最好，2002年质量最差。表（5）数学建模方法统计表优化方法概率统计插值拟合插值拟合其他

162216注：有些题目是混合型的，兼备多种方法。根据上表(表5)做出相应的图2图2建模方法分类)

个(

目

数2520)

个(

目

数2520151050221□建模方法的数目□系列2拟合其也使用方法从表格中可以看出，优化问题是这些年出题的趋势，适应了社会对资源等的充分利用，有利于可持续发展。促进资源和谐社会的建设；同时概率统计所占比例也非常大，适应生活统计决策问题的需要；然而同时也会造成在考试方面，学生只专注于这两个方面去研究题目，造成学生建模知识水平的下降，不利于高素质人才的选拔。所以建议数学建模命题老师平均分配建模解决方法，尽可能涉及更多的方法，以利于全面的高素质人才的选拨。图3

由上表的数据能够看出题型的种类分布还算均匀，稍微偏重于实用性，更加贴合实际问题，利于实用性人才的培养；同时综合性问题也相对比较突出，更能考验考生对实际问题的综合性思考及跨多学科做业的能力；即时性，开放性，复杂性的题目所占比例相当，整体题型的质量比较合理，全面。数学建模问题分类汇总表（表6）工程设经济管生物医社会事工业农业交通运输计理学业8255666图4

求。为“工业兴国”提供知识储备，减小及发达国家的差距；然而明显的是农业方面的题目太少，不利于我国农业知识人才的挖掘，中国有7亿多农民，“民以食为天”只有提高我国农业水平才能保证其他行业稳固前进，因此建议出题工作者加强对农业增收等有助农业发展相关题目的命制，来选拨出利于我国农业发展的高素质人才。对于其他行业较为均匀，体现了对各行业的重视，利于各行业齐头并进，和谐发展。除农业方面题目较少外，整体去看这些年来命题在推进各行业发展方面质量还是相对不错的。表7题目特点n1实际意义n2解决方法n3年份19920.60.70.619930.70.60.719940.50.40.619950.60.50.4519960.650.70.619970.70.750.619980.60.850.719990.50.80.420000.70.60.720010.60.80.620020.70.80.620030.70.750.6520040.60.70.520050.60.650.520060.50.60.620070.70.50.720080.60.650.620090.70.60.720100.60.280.15图5

nl表8

实际意义nl解决方法n3n2l9920.60.50.65l9930.70.60.6l9940.50.50.6l9950.70.60.5l9960.70.80.6l9970.40.80.6l9980.70.40.5l9990.30.40.620000.70.80.75200l0.60.70.620020.70.50.620030.50.70.620040.60.70.620050.50.60.620060.70.70.620070.70.70.720080.60.750.720090.70.70.6520l00.60.60.65图65.3模型的检验及分析我们对该模型在计算机上分别以20名和26名专家组成的评委会随机的对19922010年甲组38道命题进行评判检验，结果表明都能客观地给出综合评价指标，为此这一模型是可以应用及实际的，而且具有相当广泛的通用性。在模型中关于各因素的权重主要是依据实际背景以及专家对命题的评价主观上给定的，可能带有片面性，实际中可以根据侧重点进行适当的调整，不影响整体效果。如果能详细能详细的分析各个因素之间的关系，利用方法通过两两比较矩阵确定权向量，结果可能会更加客观，但工作量会增大。关于各因素隶属度的确定，采用专家组评判的方法是切合实际的当然，实际操作中专家组成员可