江西省上饶市龙翔学校高三数学理期末试题含解析

江西省上饶市龙翔学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是：A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知向量，满足，，则（

）A.4 B.3 C.2 D.0参考答案：B【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【详解】向量，满足，，则，故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积公式，属于基础题3.输入，经过下列程序运算后，！

A.

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知函数是定义在(－∞,－2)∪(2,+∞)上的奇函数，当时，，则的解集是（

）A.(－∞,－2)∪(3,4) B.(－∞,－3)∪(2,3)C.(3,4) D.(－∞,－2)参考答案：A【分析】画出函数的图象，根据图象列不等式，由此求得的解集.【详解】画出函数图象如下图所示，由图可知，或，解得.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，考查函数不等式的解法，属于基础题.5.有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（

）A.2 B. C.4 D.参考答案：B【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为，则，故，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体，故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值.故选：B.【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.6.若全集，，则（

）

A．{2}

B．{0,2}

C．{－1,2}

D．{－1,0,2}参考答案：A7.已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（

）A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.复数，，则复数在复平面内对应的点位于（

▲

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略9.若为三条不同的直线，平面，平面，．

①若是异面直线，则至少与中的一条相交；

②若不垂直于，则与一定不垂直；

③若，则必有；

④若，则必有．

其中正确的命题个数是()

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有

（

）A．100辆

B．200辆

C．300辆

D．400辆

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量，满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：12.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：13.已知实数满足，则的最大值为

．

参考答案：414.复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

．参考答案：15.已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是

.(结果用区间表示)参考答案：(－∞,)16.如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为

．参考答案：17.如果复数是纯虚数，则的值为________.参考答案：考点：复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.长春市“名师云课”活动自开展以为获得广大家长以及学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量[0，1000](1000，3000](3000，+∞)节数61812

(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数.(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000，3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率.参考答案：解：(1)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.(2)在(1)中选出的6节课中，设点击量在区间内的一节课为，点击量在区间内的三节课为，点击量超过3000的两节课为，从中选出两节课的方式有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有，，，，，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为.19.设函数，其中.（Ⅰ）若，讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明f(x)恰有两个零点（ii）设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，且，证明.参考答案：（I）解：由已知，的定义域为(0,+∞)，且，因此当时，，从而，所以在(0,+∞)内单调递增.（II）证明：（i）由（I）知，，令，由，可知在(0,+∞)内单调递减，又，且，故在(0,+∞)内有唯一解，从而在(0,+∞)内有唯一解，不妨设为，则，当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以，从而，又因为，所以在内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在(0,+∞)内恰有两个零点.（ii）由题意，，即，从而，即，以内当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得.【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.20.在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．参考答案：考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd范围．解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．21.（04年全国卷Ⅱ理）(14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．参考答案：解析：(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时,(x)>0,当x>0时,(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0<a<b,得,因此,.所以a>-.又

a<a综上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,,设F(x)=g(a)+g(x)-2g(),则当0<x<a时因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点．（1）求证：BC1⊥平面AB1C；（2）求证：BC1∥平面A1CD．参考答案：证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直