分形几何概述讲座

分形几何概述讲座第1页，课件共91页，创作于2023年2月分形(fractal)分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家---曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出版的《大自然的分形几何学》(TheFractalGeometryofNature)是这一学科经典之作。分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton)

是非线性科学(nonlinearscience)中三个最重要的概念。第2页，课件共91页，创作于2023年2月什么是分形呢？曼德尔布莱特最先引入分形(fractal)一词，意为“破碎的，不规则的”。目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说:分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称；

分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；分形是具有某种意义下的自相似集合；

分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。第3页，课件共91页，创作于2023年2月认识分形如果您从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的办法：去市场买一个新鲜的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形!分形可以是自然存在的，也可以是人造的。花椰菜、树木、山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……。想想它们的形状、结构!第4页，课件共91页，创作于2023年2月海岸线的长度是多少？1967年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的著名论文。此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，及大国公布的公共边界线小，而小国公布的公共边界线大。原因在于边界线是一个复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度越大。为了说明这一问题，考虑下面的科赫曲线。第5页，课件共91页，创作于2023年2月实例一科赫曲线及构造过程设E0是单位长直线段；E1是由E0除去中间1／3的线段、而代之以底边在被除去的线段上的等边三角形的另外两条边所得到图形,它包含四个线段；对E1的每个线段都进行同一过程来构造E2，依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek}；其中Ek是把Ek-1的每一个直线段中间1／3用等边三角形的另外两边取代而得到的；当k充分大时，曲线Ek和Ek-1

只在精细的细节上不同而当k→∞时，曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线F，称F为冯.科赫曲线。第6页，课件共91页，创作于2023年2月图1柯赫曲线第7页，课件共91页，创作于2023年2月科赫曲线F的特性科赫曲线F是自相似的，四个部分与整体的相似比例为1/4；F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体；F是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；F的长度为∞，而面积为0；第8页，课件共91页，创作于2023年2月科赫曲线F的长度为∞事实上，对于每个k，Ek的长度为第9页，课件共91页，创作于2023年2月科赫曲线F的自相似维数由于F的长度为∞，而面积为0，因此F的维数既不是1，也不是2，而是一个介于1与2之间的分数。科赫曲线F的自相似维数为第10页，课件共91页，创作于2023年2月实例二康托尔集F及构造过程设E0是单位长直线段，

E1是由E0除去中间1／3的线段所得到图形,它包含四个线段。对E1的每个线段都进行同一过程来构造E2

，依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek}，其中Ek是把Ek-1的每一个直线段中间1／3除去而得到的；当k充分大时，曲线Ek和Ek-1只在精细的细节上不同，当k→∞时，曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线F，称F为康托尔三分集.第11页，课件共91页，创作于2023年2月图2康托尔三分集第12页，课件共91页，创作于2023年2月康托尔集F的特性康托尔集曲线F是自相似的，两个部分与整体的相似比例为1/3；F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体；F是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；F中点的数目为∞，而长度为0；第13页，课件共91页，创作于2023年2月康托尔集F的长度为0事实上，对于每个k，Ek的长度为第14页，课件共91页，创作于2023年2月康托尔集F的自相似维数由于康托尔集F中点的数目为∞，而长度为0，因此F的维数既不是0，也不是1，而是一个介于0与1之间的分数。。科赫曲线F的自相似维数为第15页，课件共91页，创作于2023年2月实例三谢尔宾斯基地毯波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”。如今，讲分形都要提到。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。第16页，课件共91页，创作于2023年2月

图3谢尔宾斯基三角形

第17页，课件共91页，创作于2023年2月谢尔宾斯基地毯F的

自相似维数第18页，课件共91页，创作于2023年2月分形的特性英国数学家Falconer在《分形几何的数学基础及应用》一书中认为：分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看作具有某些性质的集合。第19页，课件共91页，创作于2023年2月分形将分形看作具有如下性质的集合:1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。2.F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。3.F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。4.F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数。5.F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。第20页，课件共91页，创作于2023年2月分形理论是一门横断学科分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。

第21页，课件共91页，创作于2023年2月陈省身的观点历史上几何学可分为六个时期：1)公理(欧几里德)；2)坐标(笛卡尔，费马)；3)微积分(牛顿，莱布尼兹)；4)群(克莱因，李)；5)流形(黎曼)；6)纤维丛(嘉当，惠特尼)。7）分形几何（曼德布罗特）第22页，课件共91页，创作于2023年2月“分形fractal”的命名1975年的一天，曼德布罗特翻看儿子的拉丁语课本，突然受到启发，决定根据fractus

创造一个新词，于是有了fractal这个英文词。同年他用法文出版了专著《分形对象:形、机遇与维数》(Lesobjetsfractals:forme,hasardetdimension)，1977年出版了此书的英译本《分形：形、机遇与维数》。1982年又出版了此书的增补本，改名为《大自然的分形几何学》。第23页，课件共91页，创作于2023年2月“分形”的命名70年代末fractal传到中国，一时难以定译。中科院物理所李荫远院士说，fractal应当译成“分形”，郝柏林、张恭庆、朱照宣等科学家表示赞同，于是在中国大陆fractal逐渐定译为“分形”。如今台湾还译“碎形”，显然不如“分形”好。分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。“分形”之译的确抓住了fractal的本质--科学本质、哲学本质和艺术本质。第24页，课件共91页，创作于2023年2月“分形”的命名中国传统文化中关于“分”与“形”有丰富的论述，想必李荫远院士极为熟悉。李院士是物理学名词审定委员会三名顾问之一。宋明理学关于“理”(“理念”或者“太极”)与“万物”、整体与部分、一般与具体的关系的思想吸收了佛家观念，特别是华严宗和禅宗的观念。李荫远的译名实在于平凡处见功力，如李善兰(1811-1882)译“微分”

(differentiation)、“积分”

(integration)，王竹溪(1911-1983)译“湍流”(turbulence)、“逾渗”

(percolation)和“运输”(transportation)。第25页，课件共91页，创作于2023年2月一个有趣的故事70年代末曼德布罗特的《分形：形、机遇和维数》(Fractals:Form,Chance,andDimension)英文版在北京中关村一带的地摊上便可见到数十部，当时北京大学力学系黄永念教授和朱照宣教授每人买了一部，据说只花了几元钱。十多年后，当分形理论被科学界认同、热起来时，在世界上再去寻找这部原版名著，几乎不可能了。当时，国际、国内科学界基本上不知道分形是怎么回事。第26页，课件共91页，创作于2023年2月分形的历史发展分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支,它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论数学基础是分形几何。分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。第27页，课件共91页，创作于2023年2月第一阶段为1875年至1925年,在此阶段,人们已认识到几类典型的分形集,并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。

19世纪,尽管人们已能区别连续与可微的曲线,但是普遍认为连续而不可微的情形是极为例外的,并且在理论研究中应排除这类“怪物”,特别认为一条连续曲线上不可微的点应当是极少的。第28页，课件共91页，创作于2023年2月维尔斯特拉斯型函数在1872年，维尔斯特拉斯(Weierstrass)证明了一种连续函数在任意一点均不具有有限或无限导数(称为维尔斯特拉斯型函数)。这一结果在当时曾引起了极大的震动；但是人们认为维尔斯特拉斯型的函数是极为“病态”的例子。既使如此，人们仍从不同方面推广了上述函数，并对这类函数的奇异性质作了深入的研究，获得了丰富的结果。第29页，课件共91页，创作于2023年2月冯.科赫(VonKoch)曲线

冯.科赫于1904年通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线，如今被称为冯.科赫曲线的，并且讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，从而改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。特别重要的是，该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构，被称为自相似结构。

第30页，课件共91页，创作于2023年2月皮亚诺曲线皮亚诺(Peano)于1890年构造出填充平面的曲线，这一曲线出现后，人们提出应正确考虑以往的长度与面积的概念。皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。第31页，课件共91页，创作于2023年2月Peano曲线第32页，课件共91页，创作于2023年2月康托尔三分集康托尔(Cantor)于1872年引入了一类全不连通的紧集F，F被称为康托尔三分集。在当时，人们认为这类集合在传统的研究中是可以忽略的。但是进一步的研究结果表明，这类集合在象三角级数的唯一性这样重要问题的研究中不仅不能忽略，而且起着非常重要的作用。第33页，课件共91页，创作于2023年2月谢尔宾斯基地毯波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。

第34页，课件共91页，创作于2023年2月布朗(Brown)运动一类极为典型的随机分形集，即布朗(Brown)运动。珀瑞(Perrin)在1913年对布朗运动的轨迹进行了深入研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年左右使年轻的维纳(Wiener)受到震动，并促使他建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌”（Chaos）一词。珀瑞曾经注意到：一方面，自然界的几何是混乱的，不能用欧氏几何或微积分中那种完美的序表现出来；另一方面，它能使人们想到1900年左右创立的数学的复杂性。第35页，课件共91页，创作于2023年2月布朗(Brown)运动的意义曼德尔布莱特(Mandelbrot)在回顾珀瑞及维纳的工作以及分形几何的发展历史时指出，分形几何以下面两种选择为其特征：一是在自然界的混沌中选择问题，因为描述整个混沌是既无意义又无可能的主张；二是在数学中选择工具。这两种选择逐渐成熟并创造了新东西，在无序混沌与欧氏几何过分有序之间，产生了一个具有分形序的新领域。由于非常“复杂”的集合的引入，而且长度、面积等概念必须重新认识。

第36页，课件共91页，创作于2023年2月维数的提出为了测量这些集合，更为了一般的理论，闵可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了闵可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些概念指出为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。第37页，课件共91页，创作于2023年2月第二阶段大致为1926年到1975年,在这半个世纪里,人们实际上对分形集的性质做了深入的研究,特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。

贝西康维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。

他们的研究结果极大地丰富了分形几何理论。第38页，课件共91页，创作于2023年2月维数理论在此期间，维数理论得到了进一步发展并日臻成熟。Bouligand于1928年引入了Bouligand维数，Poutrjagin与Schnirelman于1932年引入覆盖维数，柯尔莫哥诺夫(Kolmogorov)与Tikomirov于1959年引入熵维数。另外，刻划集合“大小”的容量及容量维数亦引入到分析之中。由于维数可以从不同的角度来刻划集合的复杂性，从而起了重要的作用。第39页，课件共91页，创作于2023年2月维数众所周知，点是零维的，直线是一维的,平面是二维的。当我们测量几何图形的长度和面积时，分别用单位长线段与单位面积的正方形来度量，因为线段与正方形的欧氏维数分别是1和2。若用线段来测量正方形，其结果为无穷，说明所用的尺度太“细”；反之，若用正方形为尺度来度量线段，所得的结果为0，说明所用的尺度太“粗”。在测量集合时，其测量结果与所采用的尺度有关。特别是，经典几何对象的测量只容许整数维的尺度。第40页，课件共91页，创作于2023年2月分维数人们用分维数来刻划分形集的复杂性。对于分形曲线，比如冯.科赫曲线，1维尺度太细，即在1维尺度下，它的长度为无限；而2维尺度太粗，而在2维尺度下，它的面积为0。可将冯.科赫曲线看成是一个介于1维与2维之间的几何对象，用非整数维的尺度来测量它能定量地表现冯.科赫曲线的复杂程度。第41页，课件共91页，创作于2023年2月分维数的多种定义分数维可用于定量描述分形集的复杂性。分维数已有多种定义。豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础；盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量维数、对数维数和信息维数等。

第42页，课件共91页，创作于2023年2月列维(Levy)及法国学派的工作列维(Levy)的工作：其一，第一个系统研究自相似集；其二，建立了分数布朗运动的理论，实际上他是自相似分形与随机分形理论的先驱之一。法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，建立了相应的理论方法与技巧，并应用于调和分析理论。维数的乘积理论、投影理论、位势方法、网测度技巧、随机技巧均先后建立并成熟，已使分形几何的研究具有自己的特色与方法。第43页，课件共91页，创作于2023年2月研究工作的局限性

尽管在此阶段分形的研究取得了许多重要的结果，并使这一学科在理论上初见雏形，但是绝大部分从事这一领域工作的人主要局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。第44页，课件共91页，创作于2023年2月相关学科的问题物理、地质、天文学和工程学等等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有力的工具来处理。曼德尔布莱特以其独特的思想，自60年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌的生成的几何性质等等典型的自然界中的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成功。第45页，课件共91页，创作于2023年2月第三阶段为1975年至今,是分形几何在各个领域的应用取得全面发展,并形成独立学科的阶段。

曼德尔布莱特将前人的结果进行总结，集其大成，于1975年以“分形:形状、机遇和维数”为名发表了他的划时代的专著。专著第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段。

第46页，课件共91页，创作于2023年2月DLA分形生长模型1981年，维腾(Witten)和桑德(Sander)提出著名的DLA分形生长模型。1982年，曼德尔布莱特出版《分形：形、机遇与维数》增补版改名《大自然的分形几何学》1985年，曼德尔布莱特荣获杰出科学贡献奖章.1989年，曼德尔布莱特荣获哈维(Harvey)奖。第47页，课件共91页，创作于2023年2月学术性刊物1991年英国创办国际学术性刊物《混沌、孤子和分形》(Chaos,SolitonandFractals)。目前，混沌、分形、小波、时空离散系统、斑图、自组织系统仍然是非线性科学研究的重点,而分形与所有其他方面都有联系。第48页，课件共91页，创作于2023年2月谢和平院士的分形研究谢和平院士是我国最早从事分形应用研究的科学家之一，他的主要工作是将分形理论应用于岩石损伤力学的研究，提出了岩石损伤的分形模型及演化机理，取得了国际领先的成果。第49页，课件共91页，创作于2023年2月分形艺术80年代初，弗尔聂(A.Fournier)将分形图形推向好莱坞影视业，主要影片有《星际旅行之二：可罕之怒》《最后的星球斗士》1988年，纽约时报记者格莱克著畅销书《混沌：开创新科学》出版，1990年英国成立了一家利用混沌/分形理论生产并出售计算机艺术品的商店。第50页，课件共91页，创作于2023年2月分形艺术图片第51页，课件共91页，创作于2023年2月图5谢尔宾斯基/门格尔海绵

第52页，课件共91页，创作于2023年2月图6三维谢氏塔的自相似结构

第53页，课件共91页，创作于2023年2月图4谢氏四方垫片

第54页，课件共91页，创作于2023年2月洛伦次曲线第55页，课件共91页，创作于2023年2月图7四方内生树第56页，课件共91页，创作于2023年2月图8分形龙第57页，课件共91页，创作于2023年2月图10曼德勃罗集图

第58页，课件共91页，创作于2023年2月图10曼德勃罗集图第59