清华大学数学实验0课件

引言及预备知识

1.数学实验：课程概论2.数学建模：基本概念3.MATLAB：使用简介1

What–

什么是数学实验课?Why–为什么要学习数学实验课?How–

怎样学好数学实验课？数学实验：课程概论数学的重要性课程的内容、特点与要求……2数学的重要性：众所周知？

E.E.DavidJr.:(NoticesofAMS,v31,n2,1984,P142)……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。马克思：一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告:(NSFReport,March1998)现如今的数学科学对科学的所有的三个方面：观察、理论和模拟来说都是必不可少的。……数盲和文盲一样是极其有害的。3

既要学好“算数学”,更要培养“用数学”的能力

利用计算机和数学软件,培养分析、思考能力

感受“用数学”的酸甜苦辣,激发学好数学的愿望数学的重要性：似是而非？不少同学（甚至社会）的反映：

----无用----难学原因：很少用；用不好最常用的大学数学内容有哪些?4纯粹数学(PureMath)–基础/核心(Core)数学？应用数学(AppliedMath)计算数学(ComputationalMath)概率论与数理统计–随机/统计数学？运筹学(OR)与控制论–运筹数学？数学的二级学科(研究生专业)Core应用数学

5数学与数学实验数学实验MathematicalExperiments/ExperimentsinMathematics实验数学ExperimentalMathematics/MathematicsbyExperiments两层含义:通过实验(当前主要是计算机实验)：研究/探索/发现数学知识学习/验证/应用数学知识6什么是数学实验课？在教师指导下，

以学生动手为主，用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，

分析、解决一些经过简化的实际问题。本课程定位：数学内容接近应用数学(或数学技术)

学习方法接近数学实验(或实验数学)7酝酿:

面向21世纪课程改革体系研究项目(1995前后)

理工科非数学类4门基础课之一尝试:

清华、北大、北师大等（1997前后）

教材:《数学实验》(姜启源等编，高教社，1999)

发展:

深受欢迎，迅速发展，广泛影响，不断探索已出版几十种教材，内容不尽相同，各有特色数学实验课的创立国内情况（国外仅有个别学校开设此课）8数学知识数学技巧数学应用数学发现……应用数学数学技术数学实验……随机数学代数与几何微积分……数学美学数学哲学数学精神数学素质数学文化为什么要学习数学实验课?9课程的内容安排

介绍一些解决实际问题的常用数学方法：计算方法、优化方法、统计方法等的基本原理和算法；

选用合适的数学软件——MATLAB和LINGO，能方便地实现以上内容的主要算法；

数学建模贯穿整个课程，每个内容都从实际问题引出，并归结于问题的解决；

训练应用能力，上机和实验报告时间要保证。10实验报告格式的基本要求系别、班级、学号、姓名计算题题号，算法设计(包括计算公式)，程序，计算结果(计算机输出)，结果分析，结论。应用题题号，问题分析，模型假设，模型建立，算法设计(包括计算公式)，程序，计算结果(计算机输出)，结果的数学分析，结果的实际意义，结论。实验目的收获与建议11教材、作业、考试……教材：姜启源等，《大学数学实验》

（清华大学出版社,2005）

平时成绩50分（作业10次）：

--批改5次，8分/次；其他2分/次

考试50分：机房考试（开放实验室）

--低于25分者，本课程总成绩不及格

网络学堂(公告/作业/讨论等)

课程材料

：精品课网站，见网络学堂

附加分不超过10分：自主的研究小论文，16周前提交12数学建模是桥梁，贯穿全课有主线。

MATLAB和LINGO，软件辅助做实验。

计算优化与统计，应用数学乐无边。

预习听课再复习，动手动脑是关键。如何学好数学实验课？一条主线两个软件三大内容四个过程13引言及预备知识

1.数学实验：课程概论2.数学建模：基本概念3.MATLAB：使用简介14什么是数学建模人们常见的模型：~实物模型玩具、照片、火箭模型…水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型(Prototype)的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。司机（方向盘）、钳工（工件）…~思维模型15你碰到过的数学模型——“航行问题”用

x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到

x=20,y=5.答：船速每小时20千米甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少。16航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x~船速,y~水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解,得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米）。17数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型:

对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)数学建模的全过程18数学建模实例与数学实验方法例1汽车刹车距离问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车；车速越快，刹车距离越长；刹车距离与车速之间是什么关系？(线性、)刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距离。19v20406080100120140d6.517.833.657.183.4118.0153.5实验数据：车速v(km/h)与刹车距离d(m)例1汽车刹车距离d与v不是线性关系20问题分析制动力使汽车作匀减速运动常数刹车距离=反应距离+制动距离常数例1汽车刹车距离反应距离:“司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离制动距离反应距离反应时间车速司机状况制动系统灵活性制动器作用力车重、车速道路、气候…制动距离:“制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离21假设与建模刹车距离d=反应距离d1+制动距离d2反应距离d1与车速v成正比：d1=k1

v,刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变k1~反应时间

F使车作匀减速运动：F=

maFd2=mv2/2例1汽车刹车距离22参数估计v(km/h)20406080100120140实际距离d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5例1汽车刹车距离反应时间为k10.65s

刹车时的减速度a=1/2k2

6m/s2

模型计算距离d(m)6.2617.7834.5656.6183.92116.49154.33用实验数据对k1,k2

作拟合:k1=0.6522，k2=0.0853

23数学建模竞赛(MCM)简介MathematicalContestinModeling美国大学生数学建模竞赛(MCM)

中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)

竞赛内容与形式简介实际问题数学MathematicalModeling

24（美国大学生）数学建模竞赛(MCM)

1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛”

我国(清华等校)1989年开始每年参加，英文答卷

MCM-2006有10个国家(地区)748队参赛，其中我国占62%;ICM-2006有224队参赛，其中我国占87%

每年赛题和优秀答卷刊登于同年UMAP杂志

1999年起又同时推出交叉学科竞赛（InterdisciplinaryContestinModeling–ICM)

网址：http://25美国MCM+ICM竞赛规模26中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）

1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织

1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月)

2006年有30省/市/区和香港的864所学校9982队参加

赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”（2001年起刊登于当年“工程数学学报”）

网址：http://

奖励：证书（“一次参赛，终身受益”）

等级：全国一等~3%、二等~7%；赛区奖~1/327我国CUMCM竞赛规模28竞赛内容与形式内容赛题：工程、管理中经过简化的实际问题答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文形式

3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛

可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等),但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。29IBM中国研究中心-招聘条件Positiontitle:BusinessOptimization(BJ)

1．Backgroundinindustrialengineering,operationsresearch,mathematics,ArtificialIntelligence,managementscienceetc.

2.Knowledgeinnetworkdesign,jobscheduling,dataanalysis,simulationandoptimization

3．Awardinmathematicalcontestinmodelingisaplus

4.Experienceinindustryisaplus

5.Experienceineclipseorprogrammingmodel/architecturedesignisaplus----/cn/ibm/crl/careers/condition.shtml

竞赛的反响（一例）(19-Feb-2006)302000年：DNA序列分类，飞越北极；2001年：血管的三维重建，公交车调度；2002年：车灯光源优化设计，彩票中的数学；2003年：SARS传播，露天矿生产安排，抢渡长江；2004年：奥运会临时超市网点设计，电力市场输电阻塞管理，饮酒驾车，公务员招聘；2005年：长江水质的评价和预测，DVD在线租赁，雨量预报方法的评价；2006年：出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预测，易拉罐形状和尺寸的最优设计，煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制。部分竞赛题目参赛同学反映：“一次参赛，终身受益”31引言及预备知识

1.数学实验：课程概论2.数学建模：基本概念3.MATLAB：使用简介32MATLAB简介MATrix

LABoratory

的缩写以矩阵计算为基础的、交互式的科学和工程计算软件MATLAB的特点编程效率高计算功能强使用简便易于扩充附带许多工具箱（Toolbox）优化工具箱统计工具箱符号工具箱神经网络工具箱遗传算法与直接搜索工具箱331.1直接输入1.2函数生成1.3裁剪与拼接1.矩阵及其运算裁剪——注意:的应用；拼接——注意行数和列数的一致zeros(m,n)~mn全0阵eye(m,n)~mn对角线1矩阵rand(m,n)~mn(0,1)随机阵ones(m,n)~mn全1阵pascal(n)~n阶Pascal矩阵magic(n)~n阶幻方阵以上命令混合使用，可方便地输入矩阵、提取子矩阵341.5特殊运算1.4基本运算1.矩阵及其运算.*“点”乘法.^“点”乘幂.\“点”左除./“点”右除.’“点”转置前四者：同维矩阵对应元素进行运算左除\~AX=BX=A\B右除/~XA=BX=B/A+加法-减法*乘法^乘幂\左除/右除’转置复数矩阵的转置是共轭转置

复数矩阵的“点”转置是普通转置

注意体会：矩阵与常数进行上述运算的含义351.6数组(行向量)几种特殊输入方式a:m:b~从a到b公差为m的等差数组（m=1时用a:b）linspace(a,b,n)~从a到b共n个数值的等差数组1.矩阵及其运算logspace(a,b,n)~从10a到10b共n个数值的等比数组1.7字符串(数组)以单引号‘’括起来的字符集合与数值矩阵类似，可以进行裁剪和拼接每个字符是数组的一个元素362.1语句赋值：变量=表达式(返回变量)计算：表达式(返回ans)赋值语句以“;”结束(不输出);以“,”或“”结束(输出)变量无需说明类型/维数区分大小写字母必须以字母开头2.语句、函数和其他数据结构pi~圆周率;

eps~最小浮点数Inf~正无穷大;i,j~虚数单位NaN~不定值（0/0等）常用语句形式过程：函数调用、流程控制等特殊常量372.语句、函数和其他数据结构2.2标量函数一元函数：如三角、指数、对数、取整等基本函数多元函数：如同余(rem)、四象限反正切(atan2)作用于标量，或矩阵(数组)的每一元素标量函数向量函数按自变量类型分类矩阵函数有些函数无自变量,甚至也不返回结果（命令/过程）函数定义：f=@sin

f=inline(‘sin(x)’)(非句柄)求值：feval(f,x)feval(‘sin’,x)

sin(x)函数句柄382.语句、函数和其他数据结构2.3向量函数如：max,min,sum,mean,length,sort,…作用于(列或行)向量，或矩阵的每一列向量矩阵构造矩阵计算zeros,ones,eye,rand,diag,triu,tril,…size,det,rank,inv,eig,trace,norm,…2.4矩阵函数矩阵重整reshape,……作用于矩阵392.语句、函数和其他数据结构2.5高维矩阵如：='abcABC';

student.fee=5000.00;

student.credit=[4,3,2,3;85,60,90,70]三维或更高维的矩阵(低维优先访问)2.6结构变量(Structure)由“域”组成的变量；通过“.”操作符访问“域”

定义方法：也可以用struct

函数生成结构变量

402.语句、函数和其他数据结构2.7元胞矩阵(Cell)如：student(1,1)={'abcABC'};student(1,2)={5000.00};student(2,1)={[4,3,2,3;85,60,90,70]}每个元素的类型可以不同（数值，字符，结构等）

定义方法：也可以用cell函数生成元胞矩阵

效果：student='abcABC'[5000] [2x4double][]412.8数据类型的判断与转换numericdouble(双精度)，single(单精度)int8(8位整数)，uint8(无符号8位整数)int16(16位整数)，uint16(无符号16位整数)int32(32位整数)，uint32(无符号32位整数)int64(64位整数)，uint64(无符号64位整数)charlogical1/0(true/false)struct

用户自定义的类cellfunction_handle“@+函数名”javaisa(obj,‘class_name’)isnumeric,ischar,…str2num,num2strstr2func,func2str,…floatinteger423.命令和窗口环境3.1在线帮助系统help

程序或主题名使用help菜单更全面、系统3.2数据显示格式short(缺省)~小数点后4位,long~15位数字，shorte~5位科学计数，longe~15位科学计数通过File下子菜单Preferences选择；用format加格式选择常用格式3.3命令行编辑~

调出前一行命令进行修改，运行433.4MATLAB命令窗口除运算外的主要功能显示储存调出搜索管理清除退出who,whos,disp(x)save,或File下的SaveWorkspaceasloadclear,clear(x),clearall,clc,clf,clapath,或File下的SetPathwhat,dir,cd,type,delete,whichquit,或File下的Exit3.命令和窗口环境444.图形功能4.1二维图形基本形式多重线颜色和线型网格和标记坐标系的控制plot(y),plot(x,y)plot(x,y1,x,y2),或用holdon,holdoff线方式：-:---颜色：y,r,g,b,w,k,…网格：grid标记：xlabel,ylabel,title,text,gtext调整横、纵坐标的比例：axis多幅图形subplot(m,n,p)点方式：+*xodsv^…polar,fplot,semilogx,loglog,…其他图