新疆伊犁州奎屯市第一高级中学2023届高三上学期12月月考文科数学试题（解析版）

高三文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合，然后根据并集的定义即可求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D.2.设复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简出，再计算即可.【详解】由题知，于是.故选：C3.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（）A.这16日空气重度污染的频率为0.5B.该市出现过连续4天空气重度污染C.这16日的空气质量指数的中位数为203D.这16日的空气质量指数的平均值大于200【答案】D【解析】【分析】通过计算可以判断选项ABC正确，选项D不正确.【详解】解：这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；.故D中说法不正确．故选：D4.下列四个命题中真命题的序号是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题：“，”，命题“：，”，则为真命题；③命题“，”的否定是“，”；④“若，则”的逆否命题是真命题；A.①② B.①③ C.①④ D.③④【答案】B【解析】【分析】对于①，利用充分条件和必要条件的定义判断，对于②，先判断命题的真假，再判断的真假，对于③，全称命题否定不特称命题即可，对于④，由原命题的真假判断逆否命题的真假【详解】对于①，当时，，而当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，因为时，，所以命题为真命题，因为的最大值为，所以命题假命题，所以为假命题，所以②错误，对于③，命题“，”的否定是“，”，所以③正确，对于④，当时，，所以命题“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以④错误，故选：B5.函数的图象大致形状是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.【详解】由，得，则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，当时，排除C，故选：D.6.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时，此时直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故选：B.7.若，，成等差数列，则的值等于A.1 B.0或 C. D.【答案】D【解析】【详解】故选D8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.32 B.34 C.36 D.38【答案】D【解析】【分析】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为4的长方体截去一个长、宽均为1，高为4的长方体后剩余的部分，利用面积公式即可求解．【详解】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为4的长方体截去一个长、宽均为1，高为4的长方体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为，故选D．【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，及空间几何体的标间的计算，其中根据给定的几何体的三视图，还原得到空间几何体的结构特征，在利用面积公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题干可判断数列为等比数列，通过题干中的条件可求得的通项公式，代入数列中，利用分组求和法及等比数列求和公式进行求解.【详解】因为，故数列为等比数列，又，所以；则；所以.故选：D.10.已知函数的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的解.【详解】由题意知，根据函数的部分图象，因为，且，所以，又因为，所以，所以，解得：，故选：B.11.已知点P在曲线y上，a为曲线在点P处切线的倾斜角，则a的取值范围A.（0，] B.[，） C.（，] D.[，π）【答案】A【解析】【分析】由切线斜率为切点处的导函数,先求导可得,设t=ex＞0,则,设f（t）,即可求得的范围,则可得的范围,由,进而求得的范围.【详解】由题意得,令t=ex＞0,所以导函数为:①,令f（t）,t＞0,已知该函数在（0,1）上递减,在（1,+∞）上递增,∴f（x）min=f（1）=4,且x→0或x→+∞时,f（x）→+∞,所以①式中∈（0,1],设直线的倾斜角为a,故0＜tana≤1=tan,结合a∈[0,π）,且y=tanx在[0,）递增,所以,故选:A【点睛】本题考查利用导函数求切线的倾斜角的范围,考查运算能力.12.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先分析函数的周期性，再分析点的运动轨迹，从而得解.【详解】从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上，这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4.下面考查点的运动轨迹，不妨考查正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为1，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径，旋转，然后以为圆心，再旋转，这时候以为半径，因此最终构成图象如下：所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为__________．【答案】##【解析】【分析】由侧面积是底面积的倍求母线长，进而可以得高，然后可得体积.【详解】因为侧面积是底面积的倍，所以，所以，因此高为，所以圆锥的体积为.故答案为：14.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可.【详解】由题意可得，故，解得.故答案为：15.在三棱锥中，底面ABC，，则此三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球可求得结果.【详解】因为底面ABC，所以，，又，所以三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，因为，，所以外接球的直径，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球求解是解题关键.16.已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】设切点为，由导数的几何意义求出切线方程，可把、用表示，从而可表示为关于的函数，再引入新函数，由导数求得函数的值域即得详解】由可得，设切点为，则，所以曲线在切点处的切线方程为，整理得，所以，令，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，则取值范围是，故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.（1）求数列通项公式；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示：，整理得，即可判断数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）根据裂项相消求和，，代入运算理解．【小问1详解】由题意得：，三点共线，则，可得，即.数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.【小问2详解】，所以18.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足.（1）若a，b，c成公差为2的等差数列，求a；（2）记△ABC的周长为L，求证：.【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边换角得到，再利用余弦定理即可得到值；（2）证法一：根据正弦定理将周长转化为，再根据的范围即可证明；证法二：利用余弦定理结合基本不等式求得，即可证明.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，所以.又，且，即，所以，故.因为成公差为2的等差数列，所以，又，所以，解得或（舍）.【小问2详解】证法一：由（1）知，所以，，，又，所以，所以当，即时，，所以.证法二：由（1）知，所以（当且仅当时等号成立），所以，所以，故.19.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．（1）求实数的值；（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．【答案】（1）；（2）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；（3）先算出从购车补贴金额心理预期值在的6人中，在间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。【小问1详解】由题意知，，解得．【小问2详解】平均数的估计值为万元因为，则中位数在区间（3，4）内．设中位数为，则，得，所以中位数的估计值为3.33万元．【小问3详解】从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．20.如图，在三棱柱中，，，，平面.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先根据平面得到，再根据为等腰直角三角形得到，从而平面.（2）利用可得所求距离.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.（2）设点到平面的距离为，因为平面，所以，.则，，又，所以是等边三角形，故.，.所以.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.点到平面的距离的计算可利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.21.已知函数.（1）讨论的极值点的个数；（2）若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.【答案】(1)时，有一个极值点；当时，有两个极值点.(2)或或【解析】【分析】（1）对求导，讨论的解是否在，在时判断解左右的导数符号，确定极值点的个数.（2）利用（1）所求，对a讨论，研究函数的单调性及极值，应用零点存在定理判断何时方程在上有且只有一个实根.【详解】（1）的定义域为，.由得或.当时，由得，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，无极大值；当，即时，由得，或，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，在处取得极大值.综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点.（2）当时，设，则在上有且只有一个零点.显然函数与的单调性是一致的.①当时，由（1）知函数在区间上递减，上递增，所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点，需满足或，解得或.②当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∵，∴当时，总有.∵，∴，又∴在上必有零点.∵在上单调递增，∴当时，在上有且只有一个零点.综上，当或或时，方程在上有且只有一个实根.【点睛】本题考查导数的综合运用，利用导数求函数的极值、单调性，恰当取值满足零点存在定理是关键，考查分类讨论思想、转化问题的能力及计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线与曲线相交于两点，，求的值.【答案】(1)曲线的轨迹是以为圆心，3为半径的