第二节可分离变量微分方程

第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题一阶微分方程一般可表示为y

f

(

x,

y)

,F

(

x,

y,

y)

0,若关于y

可解出,则可写作:dx或

dy

f

(

x,

y)

;还可写作对称形式:P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy

0

,一、可分离变量的微分方程一阶微分方程y

f

(

x,

y)

,若f

(x,y)

g(x)

h(y),则

y

g(

x)

h(

y)

称为可分离变量的微分方程.求解可分离变量的微分方程

dy

f

(

x)

g(

y)dx的步骤:1、分离变量,得g(

y)dy

f

(

x)dx2、两边积分,得

f

(

x)dxg(

y)

dy3、求出通解G(

y)

F

(

x)

C例1

求解微分方程解分离变量,得两端积分,得(y

1)2

y

x3

0

的通解.(

y

1)2

dy

x3dx,

(

y

1)2

dy

x3dx,1解得

1

(

y

1)3

1

x4

C3

44

(y

1)3

3

x4

C

为所求通解.4即

(

y

1)3

3

x4

C

(C

为任意常数)二、典型例题例2

求解微分方程解分离变量,得两端积分,得y

e

y2

x

的通解.e

ydy

e2

xdx,

e

ydy

e2

xdx,12

C

e

y

1

e2

x解得

C

为所求通解.

2e

y

e2

x

C即

2e

y

e2

x(C

为任意常数)例3

求解微分方程x(1

y2

)dx

y(1

x2

)dy

0

.解分离变量,得y

dy

xdx

,1

y2

1

x2两端积分,得221

y

1

xy

dy

x

dx

,12

21

ln(1

y2

)

1

ln(1

x2

)

C解得

所求通解为ln(1

y2

)

ln(1

x2

)

C(C

为任意常数)例4

求

y

y2

cos

x

满足初始条件

y(0)

1的特解.解分离变量,得y2dy

cos

xdx

,两端积分,得2cos

x

dx

,ydy

y

1

sin

x

C解得代入y

x0

1,得C

1,y所求特解为1

sin

x

1.y即1

sin

x

C例

5衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比,

已知

M

t

0

M

0

,

求衰变过程中铀含量M

(t

)随时间t

变化的规律.解dt衰变速度dM

,由题设条件(

0衰变系数)dtdM

MdM

dt

dM

dt,M代入M

t

0

M0ln

M

t

ln

c,M即M

Ce

t

,0得

M

Ce0

C

,t

M

M

e0衰变规律20x例6

设x ydx

ln

y

,求y(x).解y

dx方程两边同时对x

求导,得x2

y

1

dy

,分离变量得y2dy

x2dx

,2x2dx

,ydy

131

1y

3

x

C

,解得x3

C3即y

例7设曲线

y

f

(

x)过原点及点(2,3)，且

f

(

x)为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x

轴和曲线y

f

(x)围成的面积是另一条平行线与y

轴和曲线y

f

(x)围成的面积的两倍，求曲线方程.解：S1S2xyoy

f

(

x)M

(

x,

y)S2

2S1x02f

(

x)dx

S

S

xy

S

xy

21f

(

x)dx00x0xxf

(

x)dx]f

(

x)dx

2[

xy

0xf

(

x)dx

2xy,

3两边同时对x求导3

f

(

x)

2

y

2

xy

2

xy

y积分得y2

cx,2因为曲线

y

f

(

x

)过点(2,3)

c

92

y2

9

x,因为f

(x)为单调函数2所以所求曲线为

y

3

2

x.解例8某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有0.1%

的CO2

,

为了降低车间内空气中CO2的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的CO2

的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内CO2

的百分比降低到多少?设鼓风机开动后t

时刻CO2的含量为x(t

)%在[t,t

dt]内,CO2的通入量

2000

dt

0.03,CO2的排出量

2000

dt

x(t

),CO2的改变量

CO2的通入量

CO2的排出量12000dx

2000

dt

0.03

2000

dt

x(t

),

1dt

6dx1t6

,(

x

0.03),

x

0.03

Cet

0

x

|1t6

,

0.1,

C

0.07,

x

0.03

0.07e1x

|t

6

0.03

0.07e

0.056,6分钟后,车间内CO2的百分比降低到0.056%.

y

y

g(

y)

dy

f

(

x)

dxx

x0

0可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：xy

xy00f

(

x)

dxg(

y)

dy

例

e

x

)dx

(e

x

y

e

x

)dy

0

的通解.求(ex

y解由力学知识得,水从孔口流出的流量为Q

dV

0.62

S

2gh

,dt流量系数

孔口截面面积重力加速度对应用问题，可以用“元素法”来建立微分方程.例有高为1

m

的半球形容器,水从它的底部小孔流出

,

小孔横截面积为

1

cm2

(如图).

开始时容器内盛满了水

,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度

h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律

.100

cmhorhh

dh水面的高度由

h

降至

h+dh

,

则dV

r

2dh,200h

h2

,(2)

r

1002

(100

h)2

dV

(200h

h2

)dh,比较(1)和(2)得:2gh

dt,

(200h

h2

)dh

0.62

S

1

cm2

,dV

0.62

2gh

dt,

(1)设在微小的时间间隔

[t,

t

dt],

(200h

h2

)dh

0.62

2gh

dt

,即为未知函数的微分方程.可分离变量h3

)dh,(200

h

dt

h30.62

2g

3h5

)

C

,0.62

2g

(400

2t

t

0

h

|

100,

14

105

,50.62

2g

15h5

).h34.65

2g(7

105

103

3C

所求规律为t

分离变量法步骤:分离变量;两端积分——隐式通解.三、小结思考题求解微分方程dy

cos

x

y

cos

x

y

.dx

2

2思考题解答dy

cos

x

y

cos

x

y

0,dx

2

22sin

sin

0,2

2dxdy

x

y22

sin

x

dx,

y

2sindy2

22lncsc

y

cot

y

2cos

x

C

,为所求解.dx3、(

y

1)2

dy

x

3

0.二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:4x01、cos

x

sin

ydy

cos

y

sin

xdx

,

y

；4x02、cos

ydx

(1

e

x

)

sin

ydy

0,

y

.练习题一、求下列微分方程的通解:1、sec2

x

tan

ydx

sec2

y

tan

xdy

0；2、(e

x

y

e

x

)dx

(e

x

y

e

y

)dy

0；三