北师大版九年级上册数学期中训练试卷（含解析）-1

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一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A．B．

C．（a和b为常数）D．

2．已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）

A．B．2a=3bC．D．3a=2b

3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（）

A．2B．C．D．4

4．如图，在中，若DE∥BC，，DE=6cm，则BC的长为（）

A．4.5cmB．8cmC．10.5cmD．14cm

5．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在．和，则该袋子中的白色球可能有()

A．6个B．16个C．18个D．24个

6．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）

A．10%B．15%C．20%D．25%

7．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（）

A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+6）2=4D．（x﹣6）2=4

8．下列说法正确的是（）

A．邻边相等的平行四边形是矩形

B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组邻边互相垂直的四边形是菱形

D．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形

9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A．9人B．10人C．11人D．12人

10．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A．B．C．D．

二、填空题

11．方程的根是____________．

12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．

13．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若AB=8，则AC=____．

14．如图，．若，，则的长为___________．

15．如图：中，，分别在、上，且与不平行，请填上一个适当的条件，可得．________．

16．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=OA=4，则AD=．

17．若关于x的方程x2﹣3x+a=0有一个解是2，则2а+1的值是_____．

18．正方形的对角线长为10cm，则正方形的周长是_________

19．如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于_____．

20．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为______．

三、解答题

21．（1）x2-2x-5=0（2）

22．若＝＝≠0，求的值．

23．四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4．它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．

（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字2的概率；

（2）随机地从盒子里抽取一张．不放回再抽取第二张．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求抽到的数字之和为5的概率．

24．如图所示，把一张矩形ABDC纸片沿对角线BC折叠，重合部分是什么图形，试说明理由；若AB=4，BD=8，求AF的长．

25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是BD的中点，E，F是OA，OC的中点，AE=CF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形

（2）若AC=2OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

26．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．

（1）求证：△ADE∽△MAB；

（2）求DE的长．

27．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆．该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？

28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．

参考答案

1．D

【分析】

根据一元二次方程的定义直接进行排除选项．

【详解】

A、是一元一次方程，故不符合题意；

B、是分式方程，故不符合题意；

C、当a=0，b≠0时，方程（a和b为常数）为一元一次方程，当a≠0时，方程（a和b为常数）为一元二次方程，故不符合题意；

D、是一元二次方程，故符合题意；

故选D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

2．B

【分析】

根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由得，3a=2b，

A、由等式性质可得：3a=2b，正确；

B、由等式性质可得2a=3b，错误；

C、由等式性质可得：3a=2b，正确；

D、由等式性质可得：3a=2b，正确；

故选B．

【点睛】

本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．

3．B

【分析】

由菱形ABCD性质得AB=BC结合∠ABC=60°，则ΔABC为等边三角形AB=BC=AC=4

由菱形的性质有DO=BO，AO=CO=AC=2，且AO⊥BO，得RtΔAOB，由勾股定理得OB=．

【详解】

设AC与BD交于O，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，

则ΔABC为等边三角形，

AB=BC=AC=4，

由菱形的性质有DO=BO，AO=CO=AC=2，且AO⊥BO，

在RtΔAOB中，

由勾股定理得OB=，

BD=2OB=4，

故选择：B．

【点睛】

本题考查菱形的对角线长问题，掌握菱形的性质，结合∠ABC=60°，会证等边三角形，会用勾股定理解决菱形对角线长问题．

4．D

【分析】

由题意易得△ADE∽△ABC，，则根据相似三角形的性质可求解．

【详解】

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵，

∴，

∵DE=6cm，

∴BC=14cm；

故选D．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

5．B

【分析】

先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．

【详解】

解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，

∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4，

故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个．

故选：B．

【点睛】

此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

6．C

【分析】

设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可．

【详解】

设平均每月的增长率为x，

根据题意得：200（1+x）2=288，

（1+x）2=1.44，

x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），

所以，平均每月的增长率为20%．

故选C．

【点睛】

本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；增长率问题：增长率=增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．

7．A

【分析】

方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．

【详解】

解：方程移项得：x2+6x=5，

配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14，

故选A．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．B

【分析】

A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论A不正确；

B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确；

C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论C不正确；

D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论D不正确．此题得解．

【详解】

解：A、∵邻边相等的平行四边形是菱形，

∴结论A不正确；

B、∵一组邻边相等的矩形是正方形，

∴结论B正确；

C、∵由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，

∴结论C不正确；

D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

∴结论D不正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．

9．C

【分析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【详解】

设参加酒会的人数为x人，依题可得：

x（x-1）=55，

化简得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去），

故答案为C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

10．B

【分析】

根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.

【详解】

已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、

只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．

【点晴】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

11．0和1

【分析】

观察本题形式，用因式分解法比较简单，在移项提取后，左边将变成两个式子相乘为0的情况，让每个式子分别为0，即可求出．

【详解】

移项得：，

即，

解得：．

故答案为：和．

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

12．k＜且k≠0．

【解析】

根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：

∵有两个不相等的实数根，

∴△=1－4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0．

13．

【分析】

根据黄金分割的定义即可求出．

【详解】

解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=8

∴AC=

故答案是：

【点睛】

本题主要考察了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键．

14．4

【分析】

连接AE交中间的直线于点G，利用平行线分线段成比例的定理，得，算出BE，再减去BC得到CE．

【详解】

解：如图，连接AE交中间的直线于点G，

根据平行线分线段成比例的定理，有，则，解得，

∴．

故答案是：4．

【点睛】

本题考查线段成比例的性质，解题的关键是构造辅助线，利用平行线分线段成比例的定理列式求解．

15．∠ADE=∠C,或∠AED=∠B或,任选一种情况均可

【分析】

欲证△ADE∽△ABC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠A=∠A，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．

【详解】

解：∵∠A=∠A，

∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，

△ADE∽△ABC．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．

16．4

【分析】

根据矩形的性质得到BD=8，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】

∵四边形ABCD为矩形．

∴OA=OB=OD=OC=4cm．

∴BD=OB+OD=4+4=8cm．

在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8cm．

由勾股定理可知AD2=BD2-AB2=82-42=48cm．

∴AD=4cm．

17．5．

【分析】

将方程的根代入原方程，求出a的值，进一步得到代数式的值．

【详解】

关于的方程有一个解是2，

则

考点：一元二次方程的根．

18．cm

【分析】

正方形的对角线和正方形的边长构成一个直角三角形，设正方形的边长是xcm，根据勾股定理可求出x，进而求出周长．

【详解】

解：设正方形的边长是xcm，

x2+x2=102

解得，x=5．

周长为：4×5=20cm．

故答案为：20cm．

【点睛】

本题考查正方形的性质，四边相等，四个角是直角，边和对角线构成直角三角形以及勾股定理的应用．

19．1：2

【详解】

试题分析：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出DE：BC=EF：FC，利用点E是边AD的中点得出答案即可．

解：∵ABCD，故AD∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴DE:BC=EF:FC，

∵点E是边AD的中点，

∴AE=DE=AD，

∴EF：FC=1：2．

故选B．

考点：1．平行四边形的性质；2．相似三角形的判定与性质．

20．4

【详解】

首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．

解：设黄球的个数为x个，

根据题意得：=2/3解得：x=4．

∴黄球的个数为4．

21．（1）x1=1+，x2=1-；（2）x1=3，x2=1

【分析】

（1）根据配方法求解一元二次方程即可；

（2）利用提公因式法进行求解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）

，

，

，

解得：；

（2）

，

，

解得：．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

22．

【详解】

试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.

试题解析：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，

∴

＝

＝.

23．解：（1）P（抽到数字2）=；（2）P（抽到的数字之和为5）=．

【分析】

（1）基本事件的概率求法；

（2）用列举法（画树状图或列表）求概率即可．

【详解】

（1）P（抽到数字2）=

（2）画树状图：

从图可知，两次抽取小卡片抽到的数字之和共有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和为5的有4种，

∴P（抽到的数字之和为5）=

考点：概率．

24．等腰三角形，见解析，3

【分析】

由题意易得∠CBD=∠FBC，AC∥BD，进而可得BF=CF，设AF=x，则BF=CF=8-x，然后根据勾股定理可求解．

【详解】

解：重叠部分△BCF为等腰三角形，

理由如下：由折叠及矩形的性质可知∠CBD=∠FBC，AC∥BD，

∴∠FCB=∠CBD，

∴∠FBC=∠FCB，

∴BF=CF，

∴重叠部分△BCF为等腰三角形，

设AF=x，则BF=CF=8-x，

在直角三角形ABF中，由勾股定理得AB2+AF2=BF2，即42+x2=(8-x)2

解得：AF=x=3．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质与判定、折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．

25．（1）见解析；（2）矩形，见解析

【分析】

（1）E，F是OA，OC的中点，OA=2AE，OC=2CF，由已知AE=CF可证OA=OC，O是BD的中点，OD=OB即可，

（2）四边形ABCD是矩形，只要AC=BD即可．

【详解】

证明：（1）∵E，F是OA，OC的中点，

∴OA=2AE，OC=2CF，

∵AE=CF，

∴OA=OC，

又∵OD=OB，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）四边形ABCD是矩形，

∵AC=2OD，2OD=BD，

∴AC=BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形．

【点睛】

本题考查平行四边形与矩形问题，掌握平行四边形的判定方法与矩形的判断，能证明对角线互相平分与对角线相等是解题关键．

26．（1）证明见解析；（2）.

【详解】

试题分析：利用矩形角相等的性质证明△DAE∽△AMB.

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AMB，

又∵∠DEA=∠B=90°，

∴△DAE∽△AMB.

（2）由（1）知△DAE∽△AMB，

∴DE：AD=AB：AM，

∵M是边BC的中点，BC=6，

∴BM=3，

又∵AB=4