测量误差和不确定度

、测量误差和不确定度物理实验离不开测量。测量操作是一种比较过程，就是把被测量和体现计量单位的标准量进行比较，从而确定被测量的值。我国法定的计量单位是以国际单位制（SI）为基础制定的。在国际单位制（SI）中有7个独立定义的基本单位。（1） 长度单位：米（m）olm是l/299,792,458s时间间隔内光在真空中行程的长度。（2） 质量单位：千克（kg）o1kg等于国际千克原器的质量。（3） 时间单位：秒（s）o1s是13Cs（铯）原子基态的两个超精细能级间跃迁的辐射周期的9,192,631,770倍的持续时间。（4） 电流强度单位：安培（A）。在真空中相距lm的两根无限长而截面积可忽略的平2X10-7行直导线内通过一恒定电流，若这恒定电流使两条导线之间每米长度上产生的力为爲二手冥100%，这个恒定电流的电流强度为1A。（5） 热力学温度单位：开尔文（K）O1K是水三相点热力学温度的1/273.16。（6） 物质的量单位：摩尔（mol）olmol是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012kgC-12的原子数目相等。（7） 发光强度单位：坎德拉（cd）o1cd是一光源在给定方向的发光强度，该光源发出频率为540X1012HZ的单色辐射，且在此方向上辐射强度为1/683W每球面度。这7个基本单位所对应的物理量称做基本量，由基本量导出的单位称做导出单位，其对应物理量是导出量。有些导出单位还有专门名称和特有符号，如赫兹（Hz）、牛顿（N）、帕斯卡（Pa）、伏特（V）、焦耳（J）、瓦特（W）、库仑（C）、法拉（F）、欧姆（Q）、亨利（H）、韦伯（Wb）、特斯拉（T）等。除了基本单位和导出单位还有两个辅助单位：平面角以弧度为单位（rad），立体角以球面度为单位（sr）。在测量过程中，由于测量仪器精度、实验条件局限和各种因素的影响，测量结果总是与实际待测量有一定差异，即存在测量误差。因此作为一个测量结果，不但应提供测量值的大小和单位，还应对测量值本身的可靠程度作出判断，不说明可靠程度的测量值没有实际意义。1.真值和误差真值或称被测量真值是在确定条件下客观存在的值。定义测量值（给出值）与真值的差为测量值的误差。记为△x=x—A（l）式中：x为测量值；A为被测量真值；△x为测量误差，也称绝对误差。被测量真值是客观存在的，但它只是一个期望值，在一般情况下是不可能准确知道的。按照定义，测量误差是测量值与客观真值的差，它不仅有大小还有方向（正、负）。由于真值一般无法知道，因此测量误差也无法知道，只能对它作出估计。有时想了解绝对误差与真值之比有多大，并常用百分数表示，这就是相对误差。相对误差一般情况下，测量误差总是较小，所以可以把绝对误差与测量值的比作为相对误差。显然，对于两个不同的测量结果，绝对误差大的其相对误差不一定大，相对误差大的其绝对误差也不一定大。2.误差的分类根据误差的特征和表现形式，可将误差分为系统误差和随机误差二类。］）系统误差在相同条件下，对同一被测量的多次测量中，误差的绝对值和方向（正、负）保持恒定或在条件改变时，误差的绝对值和方向（正、负）按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差的特征是它确定的规律性，这种规律性可表现为定值，如未经零点校准的仪器造成的误差；也可表现为累加，如用受热膨胀的钢尺测量长度，其示值小于真实长度，并随待测长度成正比增加；也可表现为周期性规律，如测角仪圆形刻度盘中心与仪器转动中心不重合造成的偏心差。系统误差的规律性在于测量条件一经确定，误差也随之确定。因此，原则上讲这类误差能够针对产生的原因进行消减或修正。对于操作者来说，系统误差的规律和其产生原因可能知道，也可能不知道，因此又可将其分为可定系统误差和未定系统误差。对于可定系统误差，可以找出修正值对测量结果加以修正；而对于未定系统误差一般难以作出修正，只能对它作出估计。2）随机误差在相同条件下多次重复测量同一个量时，每次测量出现的误差以不可预知的方式变化。这类误差称为随机误差。随机误差的特点是单个测量误差表现为不可预知的随机性，而从总体来看这类误差服从统计规律。这就使人们有可能在确定的条件下，通过多次重复测量，用统计方法得出随机误差的分布范围进而研究它对测量结果的影响。系统误差和随机误差虽然是两种不同类型的误差，但它们又有着内在联系。在确定条件下两者有着各自的含意和区别，但有时又可以相互转化。例如一支米尺刻度不均匀，如果固定用尺的某一部位测量一物体长度，这时米尺刻度不均匀就表现为系统误差；若用尺的不同部位多次测量这一物体长度，这时米尺刻度不均匀带来的误差就会显示出随机性。又如砝码的允差（极限误差），在制造砝码的生产单位是作为随机误差测定的，但在砝码的使用单位这个允差却是固定化了。根据系统误差与偶然误差的这种关系，对于一些未定系统误差，可以通过改变测量状态使之随机化。有时也可以通过改进仪器设备而使某些随机因素造成的误差转化成可定系统误差。事物的这种内在的对立统一性，使我们有可能在消减和修正可定系统误差后，用统一的方法对其余的误差部分作出估计和评定。除上述两类误差外，还有一种误差是由于测量条件的突发性变化或由于读错、记错等原因引起数据异常造成的，称为粗大误差，简称粗差。应该避免出现这类误差。具有粗差的数据必须剔除。必须指出，判断一个观测值是否异常，需要以实验理论与技术上的理由为依据，原因不明时可用统计方法作出判断，不能无依据地贸然处理。有关用统计方法判断一个观测值是否具有粗差，可参阅有关误差理论的专著。习惯上常用“精密度”这个词来反映随机误差的大小程度；用“正确度”来反映系统误差的大小程度；用“准确度”综合评定测量结果重复性以及与真值一致性的程度。“准确度”有时也称“精确度”。“精度”一词通常是“精密度”的简称，但有时也用来作为“准确度”的简称。3.测量不确定度测量误差存在于一切测量中，虽然通过提高实验技术和改进实验仪器，测量误差可以控制在较小范围里，但它不能完全消除。前面已经指出，一个测量值必须说明其可靠程度。而根据测量误差的定义，一般可以认为误差愈小测量值愈准确。但是测量误差通常是无法知道的，所以测量误差不能直接用作测量结果准确度的量化表示。为了对测量值的准确程度给出一个量化表述，有必要在测量误差的基础上给出一个“测量不确定度”的概念。测量不确定度是测量结果必须具有的一个参数。测量不确定度反映了对被测量真值不能肯定的程度，或者说测量值作为被测量真值的估计值可能存在的一个散布范围并在这个散布范围内以一定的概率(如P=68.3%)包含被测量真值。这个范围可表述为测量结果=x±u(P=68,3%)式中：x是测量值；u是测量不确定度；P是包含真值的概率。依照相对误差的定义，可以定义相对不确定度=-x100%测量不确定度一般包含几个分量，按其数值评定的方法，可分为两大类：采用统计方法评定的A类不确定度分量和采用其他方法评定的B类不确定度分量。F面2节将分别对这两大类不确定度分量的有关问题予以讨论。六、有效数字一个具体的测量结果总存在误差，因此测量结果的表示不应该随意取位，而应正确反映测量所能提供的有效信息。实验的数据记录、数据运算以及实验结果的表达，都应遵从有效数字的规则。1有效数字的基本概念图1.6—1估读从仪器上读取测量数据，不仅要读出整分度值刻度数，而且要尽量估读出最小分度的下一位数。以图1.6—1所示的用米尺测量棒的长度为例，可以读出棒长为4.14cm、4.15cm或4.16cm。前二位数4.1cm是从米尺上整分度数读取的，因而是确切数字。而第三位数是测量者估读出来的，其值会因人而异或因次（测量n次）而异，因而是一位有疑问的数字，称为存疑数字。把包括一位存疑数字在内的所有从仪器上直接读出的数字，称为有效数字。根据这个规定，实验记录的原始数据最后一位都应该是估读的。若上述棒长度的右端，刚好与4cm刻线对齐，测量结果必须写成4.00cm,以最后一个“0”表示出估读位是在1/100cm处。写成4cm、40mm都不对，原因在于有效数字的位数与仪器分度不符。所谓存疑数字就是有误差的一位数字，因而规定：包括一位有误差的数字和所有确切数字都是有效数字。所有实验工作者都应遵从有效数字的规则来记录和表达测量数据，即使在没有写出不确定度时，别人也会知道数据的最后一位是有误差的。或者说测量误差只产生于最后一位。对于明确写出不确定度的测量结果，也应该使结果的最后一位或二位与所取不确定度值一位或二位对齐，多余的尾数应按“舍入规则”截取。当不确定度用两位数字表达时，在测量结果中保留了两位存疑数字，而多保留的一位存疑数字不计入有效数字的位数。2科学记数法假若用一台百分之一克的天平称某物体的质量为80.20g,得到四位有效数字。若把这个数据用kg为单位表示，则为0.08020kg，仍应是四位有效数字，因而表示小数点位置的“0”不算有效数字。若用毫克为单位表示写成80200mg,就出现问题了，按有效数字规定最后一位是有误差的数，原来数据80.20g，有误差的数是在l/100g位上，当写成80200mg时，最后一个数是l/1000g，数据准确度变了。显然，测量数据不能因为单位换算而改变其有效数字的位数。为解决这个矛盾，应该使用科学记数法，即把数据写成小数点前只有一位（即个位数起头），再乘以10的幕次来表示。如上述质量数据写成8.020X104mg或8.020X10-2kg,这种记数法既表达出有效数字的位数，又表达出数字的大小，而且计算起来也容易定位。所以在实验数据的书写中，应该采用科学记数法。3数字截尾的舍入规则在1.4.4测量结果的表述规则中提出数据截断的“4舍6入，遇5凑偶”的原则。本节提到的有效数字都要遵守这个原则。为了防止数字截断后在中间运算中产生舍入误差的累积效应，所以参与运算的各量都应多取一位数字，包括无理数常数。4有效数字运算规则当用直接测得量计算间接测得量时，间接测得量的有效数字位数，只要求出不确定度后，就可以确定出来。在不求不确定度时，计算结果的有效数字位数可按以下粗略方法确定。总的原则是：存疑数字与确切数字相加减或相乘除，其结果仍是存疑数字，在最后的结果中，只保留一位存疑数字，其后的数字是无意义的，应按舍入规则截去。加减法运算时，例如（为了清楚，在算式存疑数字上加一横线）：32.1+3.276=35.376=35.426.65-3.926=22.724=22.72从上两例可总结出一个结论：和或差的存疑数字位置，与参与力口减各量中存疑数字量值最大的一个相同。5.348X20.5=109.6340=1103764.3^21.7=173.470=173从这两个例子又得出一条结论：积或商的有效数字位数与参与运算各量中有效数字位数最少的相同。不难证明，乘方或开方运算结果的有效数字位数与其底的有效数字位数相同。至于指数、对数、三角函数运算结果的有效数字位数，可由改变量来