导数常用的一些技能和结论

.导数常用的一些技巧和结论....（2017年全国新课标1·理·21）已知fxae2xa2exx.感谢阅读（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围.谢谢阅读解析：（1）f'x2ae2xa2ex12ex1aex1谢谢阅读a0，则f'x0恒成立，所以fx在R上递减；精品文档放心下载a0，令f'x0，得ex1a,xln1a.感谢阅读当xln1时，f'x0,ln1a，所以fx在a上递减；当xln1时，f'x01a，所以fx在lna,上递增.综上，当a0时，f在R上递减；当a0时，f11上递增.xxaa（2）fx有两个零点，必须满足f0，即a0，且f1110.xx1lnaminminaa构造函数gx1xlnx，x0.易得g'x110，所以gx1xlnx单调递减.x1111又因为g10，所以1ln0gg110a1.aaaa下面只要证明当0a1时，fx有两个零点即可，为此我们先证明当x0时，xlnx.事实上，构造函数hxxlnx，易得h'x11，∴hxh11，所以hx0，即xlnx.xmin0a1时，f1aa21aeae220，谢谢阅读e2ee23a3233330，flnaa1a21ln11ln1aaaaa其中1ln1，ln3aln11,ln11,ln3a上各有一个零点.aaa，所以fx在a和lnaa故a的取值范围是0,1.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。.一方面：ae2xa2exx0ae2xa2exex0aexa303a3exxln1；aa另一方面：x0时，ae2xa2exx0a2exx0x1（目测的）感谢阅读常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）lnxx1，lnxx，ln1xx精品文档放心下载1111（放缩成双撇函数）lnxxxx1，lnx2xx0x1，21x1lnxxx1lnx0x1xx（放缩成二次函数）21x20x1x2x022（放缩成类反比例函数）lnx11，lnx2x1x1，lnx2x10x1，xx1x1x，2xx0，2xx0xx11x1第二组：指数放缩（放缩成一次函数）exx1，exx，exex，（放缩成类反比例函数）ex1x01x0，1x，exx（放缩成二次函数）ex1x1x2x0，ex1x1x21x3，226第三组：指对放缩exlnxx1x12感谢阅读第四组：三角函数放缩sinxxtanxx0，sinxx1x2，11x2cosx11sin2x.感谢阅读2 2 2ylnx，yex11，yx2x，y11x，yxlnx.谢谢阅读.几个经典函数模型经典模型一：ylnxx或ylnxx.谢谢阅读【例1】讨论函数fxlnxax的零点个数.感谢阅读（1）a1e时，无零点.11ln1f'xa，fxf10.xmaxaa（2）a1e时，1个零点.f'x11，fxlne10.efexmax（3）当0a1e时，2个零点.1a0（目测），f1ln111fa2a2aa（4）当a0时，1个零点.

1ln1a1a，其中1110e.（放缩）1a1a1a1a1a1afe1ea0.11e.（用到了lnxx1x1）aa0，其中e2aa2xf'x1xa0，单调递增.f1a0，精品文档放心下载1111a11aa1a0.feaaaaeaaae2e2a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：fxlnxax）：精品文档放心下载1.讨论fxlnxmx的零点个数（令xt，ma）；2讨论fxxmlnx的零点个数（令m1a）；感谢阅读讨论fxxlnxmx的零点个数（考虑gxfx）；精品文档放心下载x.4.讨论lnxmx的零点个数（考虑gxxfxtx233fxx，令，2ma）；讨论fxlnxmx2的零点个数（令tx2，2ma）；谢谢阅读讨论fxaxex的零点个数（令ext）.感谢阅读经典模型二：yex或yexx x【例2】讨论函数fxexax的零点个数.谢谢阅读（1）a0时，1个零点.'xexa0，fxexax单调递增.谢谢阅读f01a0，f1ae1a10，所以在1a,0上有一个零点；精品文档放心下载（2）a0时，无零点.fxex0恒成立；（3）0ae时，无零点.fx flnaa1lna0；感谢阅读min（4）ae时，2个零点.11，f1ea0，f2lnaaa2lnaae20.fea10a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：fxexax）：精品文档放心下载讨论fxe2xmx的零点个数（令2xt，m2a）；感谢阅读讨论fxexm的零点个数（去分母后与1等价）；精品文档放心下载ex讨论fxexmx的零点个数（移项平方后与1等价）；谢谢阅读讨论fxexmx2的零点个数（移项开方后换元与1等价）；感谢阅读.讨论fxex1mx的零点个数（乘以系数e，令ema）；感谢阅读讨论fxlnxxmx的零点个数（令xet，转化成2）精品文档放心下载7.讨论fxex1mxm的零点个数（令x1t，em2a）；精品文档放心下载经典模型三：yxlnx或yxex谢谢阅读【例】讨论函数fxlnxa的零点个数.感谢阅读xf'xxa0，fxlnxx2f1a0，f1aln1aa1a

a单调递增.x11a0.1a1a（2）a0时，1个零点（x1）.谢谢阅读0（3）a1e时，无零点.f'xxa，fxfln10aax2min（4）a1e时，1个零点.1.fx1ln1xf100eminee（5）1ea0时，2个零点..1a1111ea0，f1a0，fa2lna2a0，faaae【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：fxlnxa）：x1.讨论f1xalnx的零点个数；x2.讨论fxmxlnx的零点个数（考虑gxfxxt，令）；x3.讨论fxxa的零点个数（令ext）；ex4.讨论fxexa的零点个数；x练习题1.已知函