机器人概论第六讲

第3章机器人运动学3.1刚体的位姿描述3.2机器人运动学与静力学3.3机器人动力学3.2.1Denavit-Hartenberg描述法与连杆坐标系建立3.2机器人运动学与静力学3.2机器人运动学与静力学机器人运动功能符号：移动关节（P）:没有轴，只有方向。转动关节（R）：有转动轴。

机座或基础连杆：手部或末端执行器：3.2机器人运动学与静力学机器人运动功能符号

机器人学中主要包括：笛卡尔空间的固定（或全局、任务）坐标系和随杆件一起运动的运动（或局部、相对）坐标系。

在机器人学中为什么采用Denavit-Hartenberg描述方法？1、物理意义明确。2、对应的变换矩阵简单。3、方法简单，使用面广，便于交流。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立1、建立坐标系系统目标：用坐标系描述机器人中各连杆的位姿。建立坐标系的原则：1）反应几何和运动特征关系，便于表示杆件几何参数及运动参数。2）使用方便，符合习惯，如右手法则。

3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立杆件的编号：从基础连杆（机座）开始，依次编号为0、1、2、3、…、n号杆件，其中，n为末端执行器。

关节编号：第i杆件绕其作转动的关节记为i号关节，它是连接第i连杆与第i-1连杆的运动副。坐标系编号：编号为i的坐标系Fi(即Oi-xiyizi)被固连在第i-1号杆件上，其中i=1、2、…、n+1。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立例：3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立1）杆件坐标系{i}，i=1，2，…，n

Zi轴：与第i关节轴线重合。z轴的正方向没有明确规定；移动关节只定义了方向，其Zi轴可以位于平行于移动方向的任意位置。

Xi轴：定义为沿Zi-1轴与Zi轴的公垂线，且从前者指向后者；如果两轴相交，则规定其单位矢量为ii=ki-1xki；如果两轴平行，规定其通过第i-1坐标系的原点。

另外，由于没有0号轴线，1号坐标系的x轴位置和方向可以任意确定。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立

Yi轴：按照右手法则坐标系Fi的原点位于Zi轴与Xi轴的交点处。2）杆件坐标系{n+1}：固结在第n号连杆的远端，其坐标轴方向根据工作需要确定。总之，n自由度的机器臂有n+1个连杆，在其上可建立n+1个坐标系，它的方位由连杆结构确定，用固连在i-1杆件上坐标系Fi，可描述杆件i相对与杆件i-1的运动。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立例：三自由度机械臂。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立PUMA–6Rdecoupled3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立2、机器人构形的描述机器人机构是由一系列杆件组成的，确定机器人构型涉及的参数有两类：连杆（Link）的几何参数及两相邻连杆间的运动参数。1）、连杆的几何描述连杆的主要几何特征是其两端的轴线间的位置关系，可以用两个参数来确定：（1）连杆的长度ai。（2）连杆两端轴线之间的钮角

i。在机器人运动中，杆件的几何参数通常为定值。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立（1）连杆的长度ai：连杆两端轴线之间的公垂线长度，是非负值。（2）连杆钮角αi（-180<αi<180）：两端轴线之间在公垂线方向的夹角，并规定：以xi为轴，按右手规则，由Zi轴转到Zi+1轴。（1）关节平移量bizi轴与xi+1轴的交点的zi坐标，即相邻杆件的长度在关节轴线zi上的距离。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立2）连杆间的运动参数：描述两连杆之间的运动关系。（2）关节转量θixi轴和xi+1轴之间的夹角定义为关节转动量θi

，即xi绕关节zi按右手法则转动到xi+1的角度。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立例：三维立体说明

当两连杆发生相对运动时，关节的运动参数将发生变化，如果关节是平移关节，则平移量bi会变化；如果是回转关节；则关节回转量θi会变化。我们将这些运动时会发生变化的量称为关节变量。对于每一个关节，都有一个关节变量和三个参数。n个关节的操作臂有n个关节变量，他们构成n维矢量θ。用上述连杆几何参数和运动参数来描述机器人机构运动关系的方法称为Denzvit-Hartenberg方法，简称D-H法。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立例：PUMA机器人后三个转动关节的轴交与一点C，通常将这种结构成为球形手腕，点C称为它的中心。3.2.1D-H描述法与连杆坐标系建立

前四个连杆构成的子运动链称作手臂；这样的手腕和手臂能够解耦分析，手腕用于确定末端执行器的方向，手臂用于确定C点的位置；这种操作臂属于可解耦类型。3.2.2机器人运动学方程3.2.2机器人运动学方程

目标：建立笛卡尔空间{m}与关节空间{q}之间的数学关系。机器人运动学的一般模型为：

M=f(qi)，i=1，…，nM——机器人末端执行器的位姿。qi——机器人各个关节变量。若给定qi，要求确定相应的M，称为正运动学问题，简记为DKP。如果已知末端执行器的位姿M，求解对应的关节变量，称为逆运动学（InverseKinematics）问题，简记为IKP。3.2.2机器人运动学方程为什么求正运动学问题的解？检验、校准机器人；计算工作空间等。为什麽研究逆运动学问题解？路径规划、机器人控制等，但求解困难。机器人正运动学问题的特点：求解容易，具有唯一性。机器人逆运动学问题的特点：1、一般求解方程组是由一些非线性的、超越、难解的方程组成。2、必须关心解的存在性、多解性、可解性和求解方法。3.2.2机器人运动学方程运动学逆解的求解方法

不像线性方程，不存在通用算法。逆解的形式：1)闭式解(Close-formsolution):用解析函数式表示解。求解速度快。仅仅在一些特别简单的或特殊的情况下，存在解析的闭式解。2）数值解：递推求解，不易求出所有解。逆解的求解方法：

1、代数法。2、几何法。3、数值法。3.2.2机器人运动学方程问：i坐标系的位姿如何在i-1坐标系中表示。1）关节运动变量的统一表示

设平移关节变量为bi，回转关节变量为θi，则广义关节变量表示为：其中：3.2.2机器人运动学方程2）相邻杆件位姿矩阵分析{i}→{i+1}的变换过程Ri,i+1。3.2.2机器人运动学方程设已知各连杆的几何参数和相对运动参数，则：a、Trans（0，0，bi）b、Rot（z，θi）；c、Trans（ai，0，0）d、Rot（x，αi）注意：用的都是i下标参数，即用i坐标系统一表示参数。3.2.2机器人运动学方程单步齐次变换矩阵3.2.2机器人运动学方程坐标系Fi+1相对于Fi的齐次变换矩阵为：3.2.2机器人运动学方程注意：由于平移是沿转动轴方向进行的，因此，作为特例，前两步之间可以交换顺序，后两步之间也可以交换顺序，即：3.2.2机器人运动学方程想一想：此矩阵中各列的几何意义是什么？3.2.2机器人运动学方程求出了相邻杆件之间的位姿矩阵：后，就可得到手部相对基座的位姿矩阵：此式被称作机器人的正运动学方程。3.2.2机器人运动学方程例1：已知三自由度平面关节机器人如图所示，设机器人杆件1、2、3的长度为l1，l2，l3。建立机器人的运动学方程。

l1l3l23.2.2机器人运动学方程解：（1）建立坐标系a、杆件坐标系{1}{2}{3}。c、末端执行器坐标系{4}。3.2.2机器人运动学方程解：（2）确定参数各轴线相互平行，各杆件处于同一平面内。ibiθiaiαiqi10θ1l10θ120θ2l20θ230θ3l30θ3θ1θ2θ33.2.2机器人运动学方程解：（3）相邻杆件位姿矩阵θ1θ2θ33.2.2机器人运动学方程θ1θ2θ33.2.2机器人运动学方程θ1θ2θ33.2.2机器人运动学方程（4）建立方程将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有：3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题If,thereisaSingularity,whichistobediscussednext3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题DiscussiononsolutionsIfΔ1=0,whereΔ1,μ1=sinα1,Theλ1anda1isrelationtothestructureofrobot.Thexc2+yc2isthepositionofit.Case1:

namely:e1//e21=03.2.3可解耦机器人的逆运动学问题Case2:

Namely:e1intersectswithe23.2.3可解耦机器人的逆运动学问题Case3:

Foursolutionsforsamegivenwristcentre3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题Solution:FromfigureComputethecoefficients

3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题Thequadricequationin3

solvetheequation

3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题Compute1Compute2Theremainingrootsarecomputedlikewise:

3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题姿势求解问题

前4个坐标系的位置和姿势已经确定，末端执行器的姿势和手腕的结构参数是已知量.4,5

和

6

将是我们要求的。

由于末端执行器的姿势已知，第六个关节的轴线姿势是确定的。令e6在坐标系F4中的描述为：3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题e5在坐标系F4中的描述是R4矩阵的第三列，即：

矢量e5与e6的夹角为α5，则：代入得：同样、令，利用三角恒等式得：2roots–ifradical>01root–ifradical=0Noroot–ifradical<0Solutionfor

43.2.3可解耦机器人的逆运动学问题

回忆：可写成：整理的：由于Ri的第三行不包含θi，上述矩阵乘积的第三列与θ6无关。由第三列的前两个元素，可以获得两个关于的方程：3.2.3可解耦机器人的逆运动学问题