第5章-跟驰理论课件

第五章

车辆跟驰理论

1Ch5跟驰理论第五章

车辆跟驰理论

1Ch5跟驰理论本章主要内容§1线性跟驰模型的建立§2稳定性分析§3稳态流分析§4加速度干扰2Ch5跟驰理论本章主要内容§1线性跟驰模型的建立2Ch5跟驰理论教学目的：掌握线性跟驰模型的建模机理、稳定性分析及其仿真方法、了解非线性跟驰模型的特点、掌握稳态流分析和加速度干扰的基本原理。重点：跟驰模型的建立、稳定性分析难点：非线性跟驰模型、稳定性分析、仿真方法3Ch5跟驰理论教学目的：掌握线性跟驰模型的建模机理、稳定性分析及其仿真方法跟驰模型是典型的非自由交通流，是理论分析和计算机仿真中最常用的基本模型。采用跟驰模型的仿真软件：Vissim、Corsim、Paramics、Flowsim等4Ch5跟驰理论跟驰模型是典型的非自由交通流，是理论分析和计算机仿真中最常用非自由交通流特性：1.制约性紧随要求：后车紧随前车。车速条件：后车车速与前车车速大致相同，上下摆动。间距条件：后车距前车要有安全距离。2.延迟性（滞后性）后车因前车状态改变而改变，但其反应要滞后于前车。3.传递性第n辆车的状态制约着第n＋1辆车的运动。5Ch5跟驰理论非自由交通流特性：5Ch5跟驰理论方法：动力学方法建模机理：研究在限制超车的单车道，行驶车队中前车速度的变化引起的后车反应。研究参数：车辆在给定速度u下跟驰行驶时平均车头间距s，进而估计单车道的通行能力C=1000*u/s。速度—间距的关系：s=α+βu+γu2式中：α—车辆长度l；

β—反应时间T

γ—跟驰车辆最大减速度的二倍之倒数§1线性跟驰模型的建立6Ch5跟驰理论方法：动力学方法§1线性跟驰模型的建立6Ch5跟驰理论对于车速恒定（或接近恒定）、车头间距相等的交通流：式中：αf、αl—分别为跟车和头车的最大减速度7Ch5跟驰理论对于车速恒定（或接近恒定）、车头间距相等的交通流：7Ch5一、线性跟驰模型的建立单车道车辆跟驰理论认为，车头间距在100~125m以内时车辆间存在相互影响。跟驰车辆驾驶员的反应过程包括三阶段：（1）感知阶段（2）决策阶段（3）控制阶段反应=λ×刺激式中：λ—驾驶员对刺激的反应系数，称为灵敏度或灵敏系数。8Ch5跟驰理论一、线性跟驰模型的建立单车道车辆跟驰理论认为，车头间距在10根据跟驰车队的特性，由下图可得到线性跟驰模型反应(t+T)=灵敏度x刺激(t)时滞（time-delay）微分方程!在延迟T时间后，第n+1号车的加速度灵敏度系数在t时刻，第n号车的速度在t时刻，第n+1号车的速度9Ch5跟驰理论根据跟驰车队的特性，由下图可得到线性跟驰模型反应(t+T)跟驰车辆的滞后10Ch5跟驰理论跟驰车辆的滞后10Ch5跟驰理论二、车辆跟驰行驶过程的一般表示跟驰理论框图a)车辆跟驰框图；b)线性跟驰模型框图11Ch5跟驰理论二、车辆跟驰行驶过程的一般表示跟驰理论框图11Ch5跟驰理VISSIM的跟驰模型是Wiedemann于1974年建立的生理-心理驾驶行为模型。思路：一旦后车驾驶员认为他与前车之间的距离小于其心理（安全）距离时，后车驾驶员开始减速。由于后车驾驶员无法准确判断前车车速，后车车速会在一段时间内低于前车车速，直到前后车间的距离达到另一个心理（安全）距离时，后车驾驶员开始缓慢地加速，由此周而复始，形成一个加速、减速的迭代过程。12Ch5跟驰理论VISSIM的跟驰模型是Wiedemann于1974年建立的实例分析，P.87在Δt时间内，第n号车的平均加速度13Ch5跟驰理论实例分析，P.87在Δt时间内，第n号车的平均加速度13Ch§2稳定性分析线性跟驰模型的两类波动稳定性：(1)局部稳定性：关注跟驰车辆对它前面车辆运行波动的反应，即关注车辆间配合的局部行为（短期行为）。(2)渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现，即车队的整体波动特性（长期行为），如车队头车的波动在车队中的传播。14Ch5跟驰理论§2稳定性分析线性跟驰模型的两类波动稳定性：14Ch5跟一、局部稳定性针对C=λT取不同的值，跟驰行驶两车的运动情况可以分为以下四类：1）0≤C≤e-1时，车头间距不发生波动；2）e-1<C<π/2时，车头间距发生波动，但振幅呈指数衰减；3）C=π/2，车头间距发生波动，振幅不变；4）C>π/2，车头间距发生波动，振幅增大。利用计算机模拟的方法给出了相关运动参数的变化曲线(其中反应时间T=1.5s，C=e-1≈0.368)。模拟过程中假定头车采取恒定的加速度和减速度。15Ch5跟驰理论一、局部稳定性15Ch5跟驰理论16Ch5跟驰理论16Ch5跟驰理论如果跟驰车辆的初始速度和最终速度分别为u1和u2，则式中：—分别为头车和跟驰车辆的速度；⊿s—车头间距变化量因为17Ch5跟驰理论如果跟驰车辆的初始速度和最终速度分别为u1和u2，则17Ch如果头车停车，则最终速度u2＝0，车头间距的总变化量为-u1/λ，因此跟驰车辆为了不发生碰撞，车间距离最小值必须为u1/λ，相应的车头间距为u1/λ+l(l为车辆长度)。为了使车头间距尽可能小，λ应取尽可能大的值，其理想值为(eT)-1。18Ch5跟驰理论如果头车停车，则最终速度u2＝0，车头间距的总变化量为-u1二、渐进稳定性描述一列长度为N的车队的方程为(假设车队中各驾驶员反应强度系数λ值相同)：无论车头间距为何初始值，如果发生增幅波动，那么在车队后部的某一位置必定发生碰撞，上式的数值解可以确定碰撞发生的位置。据研究，一列行驶的车队仅当C=λT<0.5时才是渐进稳定的，即车队中车辆波动的振幅呈衰减趋势。19Ch5跟驰理论二、渐进稳定性19Ch5跟驰理论关于稳定性的结论：(1)局部稳定性：关注车辆间配合的局部行为（短期行为）。渐进稳定性：关注车队中每一辆车的长期行为。(2)局部稳定的跟驰系统一定是渐进稳定的；渐进不稳定的系统，一定是局部不稳定的。C≤e-1时，车头间距局部稳定；C≤0.5时，车头间距渐进稳定；20Ch5跟驰理论关于稳定性的结论：20Ch5跟驰理论三、计算机仿真（基于Matlab平台的稳定性分析）1.Matlab软件简介Matlab（矩阵实验室，MatrixLaboratory）采用C语言编写。现已成为科技计算、视图交互系统和程序语言，可以在各个操作平台上运行。Matlab由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，包括复杂系统仿真、微分方程、模糊逻辑、神经网络、遗传算法、控制系统、优化、符号数学、系统识别、图像处理、统计等工具箱。21Ch5跟驰理论三、计算机仿真（基于Matlab平台的稳定性分析）21Ch5Matlab是进行各类数值计算的最有力的工具，它以矩阵作为基本数据单位，是应用线性代数、数理统计、自动控制、微分动力系统、动态系统仿真方面的首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。22Ch5跟驰理论Matlab是进行各类数值计算的最有力的工具，它以矩阵作为基常微分方程初值问题的数值解法龙格－库塔(Runge-Kutta)方法：1905（德国）若f不依赖y,则为simpson公式步长h~Re(λmax)23Ch5跟驰理论常微分方程初值问题的数值解法若f不依赖y,则为simpson龙格－库塔法的实现基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求非刚性常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)其中：fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。刚性常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：ode15s及ode23s24Ch5跟驰理论龙格－库塔法的实现24Ch5跟驰理论【例1】求微分方程的数值解，并与精确解相比较。初始条件：x(0)=1精确解（解析解）：25Ch5跟驰理论【例1】求微分方程的数值解，并与精确解相比较。25Ch5跟【例1】求微分方程的数值解，并与精确解相比较。初始条件：x(0)=1(1)建立函数文件fun_1.m。functionxp=fun_1(t,x)xp=-2*x;(2)求解微分方程。cleart0=0;tf=5;y0=1;[t,y]=ode45('fun_1',[t0,tf],y0);%求数值解y1=exp(-2*t);%求精确解(解析解)delta_y=y-y1%y为数值解，y1为精确值，两者近似plot(t,y,':',t,y1,t,delta_y)26Ch5跟驰理论【例1】求微分方程的数值解，并与精确解相比较。26Ch5跟【例2】试求初值问题的数值解，并与精确解相比较。(1)建立函数文件funt.m。functionyp=funt(t,y)yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。cleart0=0;tf=10;y0=2;[t,y]=ode45('funt',[t0,tf],y0);%求数值解y1=sqrt(t+1)+1;%求精确解delta_y=y-y1%y为数值解，y1为精确值，两者近似plot(t,y,':',t,y1,t,delta_y,'r')27Ch5跟驰理论【例2】试求初值问题的数值解，并与精确解相比较。27Ch5时滞微分方程求解工具：dde23Matlab仿真程序：car_following_1.m模拟4辆车的情形：28Ch5跟驰理论时滞微分方程求解工具：dde2328Ch5跟驰理论2.n辆车组成的车队29Ch5跟驰理论2.n辆车组成的车队29Ch5跟驰理论2.n辆车组成的车队

n=3,30Ch5跟驰理论2.n辆车组成的车队30Ch5跟驰理论为方便起见，定义：31Ch5跟驰理论为方便起见，定义：31Ch5跟驰理论计算机仿真（基于Matlab平台）：4辆车组成的车队车头间距：x1-x2=y1-y3

x2-x3=y3-y5Matlab仿真程序：car_following_1.m4种情况：（1）0≤C≤1/e；车头间距不摆动，局部稳定；（2）1/e≤C≤π/2；车头间距衰减摆动(局部不稳定)；（3）C

=π/2；车头间距非衰减摆动；（4）C

＞π/2；车头间距摆动中增大幅度(轨迹不稳定)。32Ch5跟驰理论计算机仿真（基于Matlab平台）：4辆车组成的车队32Ch计算机仿真（基于Matlab平台）：8辆车组成的车队渐近稳定性33Ch5跟驰理论计算机仿真（基于Matlab平台）：8辆车组成的车队33ChC=0.8>0.5时，车头间距渐进失稳约24s时，第7、8辆车碰撞34Ch5跟驰理论C=0.8>0.5时，34Ch5跟驰理论四、次最近车辆的配合跟驰模型：式中：λ1、λ2—分别为跟驰车辆驾驶员对最近车辆和次最近车辆刺激的反应强度系数。一般情况，次最近车辆的影响很小，可忽略。35Ch5跟驰理论四、次最近车辆的配合35Ch5跟驰理论§3稳态流分析满足局部稳定性和渐进稳定性要求，即不发生等幅和增幅波动的交通流为稳态流。跟驰模型线性跟驰模型非线性跟驰模型格林伯（Greenberg）模型安德伍德（Underwood）模型跟驰模型（微观）宏观交通流方程积分36Ch5跟驰理论§3稳态流分析满足局部稳定性和渐进稳定性要求，即不发生等幅§3稳态流分析跟驰模型（微观）宏观交通流方程积分两个条件边界条件最优条件：饱和状态时，u=um,k=km,q=qmax自由流：u=uf,k=0,q=0阻塞流：u=0,k=kj,q=037Ch5跟驰理论§3稳态流分析跟驰模型（微观）宏观交通流方程积分两个边界条§3稳态流分析一、线性跟驰模型分析运动过程中车队从一种稳定状态进入另一种随机稳定状态假定在t=0时每一辆车的速度为u1，车头间距为s1。头车在t=0时速度开始改变(加减速)，在一段时间t后其最终速度变为u2。38Ch5跟驰理论§3稳态流分析一、线性跟驰模型分析38Ch5跟驰理论取C=λT=0.47，车头间距的变化：得到速度—密度关系式：对于停车流，u2=0，相应的车头间距s0由车辆长度和车辆间的相对距离构成，通常称为车辆的有效长度（或称停车安全距离），用L表示。对应于s0的密度kj被称做阻塞密度。流量-密度线性模型39Ch5跟驰理论取C=λT=0.47，车头间距的变化：流量-密度线性模型39将此公式与单车道交通试验观测结果对比，如图，可得：λ的估计值为0.6s-1。根据渐进稳定性标准：C

≤0.5，可以得出T的上限约束为0.83s。速度—密度关系式（最小二乘数据拟合）40Ch5跟驰理论将此公式与单车道交通试验观测结果对比，如图，可得：λ的估计值标准化（归一化）流量：实际流量与最佳流量（最大流量）之比，标准化（归一化）密度：实际密度与最大密度（阻塞密度）之比。流量-密度线性模型不能合理地描述流量q和密度k这两个基本参数的变化特征，图5-10无法解释流量和密度所要求的定性关系；因此，需要对线性跟驰模型进行修改。图5-10标准流量与标准密度关系41Ch5跟驰理论标准化（归一化）流量：实际流量与最佳流量（最大流量）之比，标二、非线性跟驰模型分析对于给定的相对速度，驾驶员的反应强度应该随车间距离的减小而增大。1.车头间距倒数模型这一模型认为反应强度系数λ与车头间距成反比。λ1假定为常量42Ch5跟驰理论二、非线性跟驰模型分析42Ch5跟驰理论假定这些参数来自稳态流，积分得速度与密度的关系：对于停车流，u2=0，43Ch5跟驰理论假定这些参数来自稳态流，对于停车流，u2=0，43Ch5跟流量—密度的关系，即

Greenberg模型由最优条件：u=um,k=km,q=qmax，此时，因此，流量—密度的关系标准流量与标准密度关系44Ch5跟驰理论流量—密度的关系，即Greenberg模型流量—密度的关系格林伯（Greenberg）速度-密度模型适用于较大密度的模型1441veh/h（通行能力）kj=228veh/mile≈142veh/kmλ=um=17.2mile/h≈27.7km/h图3-7，P.44k=0处的切线斜率（速度）→∞，需要修正45Ch5跟驰理论格林伯（Greenberg）速度-密度模型1441veh/h2.正比于速度的间距倒数模型对反应强度系数进行修改λ2为常量，跟驰模型：利用车头间距和密度的倒数关系对此式积分，如果最大流量时的速度（最佳速度）取为e-1uf，则系数λ2为km-1，46Ch5跟驰理论2.正比于速度的间距倒数模型46Ch5跟驰理论【作业】跟驰模型：λ2为常量。如果最大流量时的速度（最佳速度）取为e-1uf，则系数λ2为km-1。利用车头间距和密度的倒数关系对此式积分，证明：稳态方程为：即Underwood模型。uf是自由流速度，即密度趋于零时的速度，km是最大流量时的密度（最佳密度）。47Ch5跟驰理论【作业】跟驰模型：47Ch5跟驰理论由于交通流速度在低密度下与车辆密度大小无关，因此，速度-密度关系为：其中kf是车辆间刚要产生影响时的密度，超过此值交通流速度将随着密度的增加而减少。若刚要产生影响时的间距为120m，则kf=8.3veh/km48Ch5跟驰理论由于交通流速度在低密度下与车辆密度大小无关，因此，速度-密度3.格林希尔治模型式中：uf—自由流车速；kj—阻塞密度L—阻塞密度时的车头间距对第(n+1)辆车引入反应时间后:反应强度系数：49Ch5跟驰理论3.格林希尔治模型49Ch5跟驰理论4.模型的统一表示其中的反应强度系数λ取以下几种形式：(1)常数，λ=λ0(2)反比于车头间距，λ=λ1/s；(3)正比于车速、反比于车头间距的平方，λ=λ2u/s2(4)反比于车头间距的平方，λ=ufL/s2；反应强度系数一般形式：al,m是常数，l、m为指数，且都≥050Ch5跟驰理论4.模型的统一表示50Ch5跟驰理论GM（GeneralMotors）模型m和l取不同值，对应于不同的模型51Ch5跟驰理论GM（GeneralMotors）模型m和l取不同值，对应52Ch5跟驰理论52Ch5跟驰理论三、交通流基本参数关系式的一般表示53Ch5跟驰理论三、交通流基本参数关系式的一般表示53Ch5跟驰理论积分常数依赖于具体的m和l值，两个边界条件：①s→∞时，u→uf②s=L时，u=01.当m=1；l=1

lnu2―lnu1=a1,1（lns2―lns1）两边界条件均不满足，积分常数只能利用具体实验数据拟合求得54Ch5跟驰理论积分常数依赖于具体的m和l值，54Ch5跟驰理论两个边界条件：①s→∞时，u→uf②s=L时，u=02.当m≠1；l≠1（1）当m≠1；l＞1，两个边界条件均满足讨论：l=3,m=0时（2）当m≠1；l＜1，仅满足第二个边界条件均满足55Ch5跟驰理论两个边界条件：①s→∞时，u→uf55交通流基本参数关系式的一般表示式中：a,b—积分常数

u—交通流的稳态速度

s—稳态车头时距fp(x)可由下式确定（p=l或m）积分常数依赖于具体的m和l值，而且与两个边界条件的满足情况有关：56Ch5跟驰理论交通流基本参数关系式的一般表示56Ch5跟驰理论(1)l>1,0≤m<1的情况，两边界条件均满足(2)l>1,m≥1的情况，仅满足第一个边界条件

b=fm(uf)积分常数a的值可以通过具体实验数据拟和求得。(3)l≤1,0≤m<1时，仅满足第二个边界条件

b=-afl(L)a、b值可利用具体实验数据拟和求得(4)l≤1,m≥1时，两边界条件均不满足a、b值只能利用具体实验数据拟和求得57Ch5跟驰理论(1)l>1,0≤m<1的情况，两边界条件均满足57C图中，只要选择适当模型参数，基本上可以用来拟合图5-9的数据。跟驰模型的一般形式中λ和m不一定必须取整数值，也可以取非整数值。58Ch5跟驰理论图中，只要选择适当模型参数，基本上可以用来拟合图5-9的数据

讨论：l=3,m=0时，交通流基本参数关系式的一般表示。两个边界条件均满足。采用②s=L时，u=0，则用于交通流突变理论的研究59Ch5跟驰理论

讨论：l=3,m=0时，交通流基本参数关系式的一般表示四、跟驰理论的不足以及相应的新研究方向先前的讨论中，都假定驾驶员对于某一刺激采取相同的比率加速和减速，即加速度的绝对值相等。实际上，大多数车辆的减速性能要比加速性能强，而且在交通比较拥挤时，跟驰车辆的驾驶员对前车减速的反应强度要比加速的反应强度大一些。因此，对应于前面车辆的加速或减速刺激，即相对速度是正还是负或者车头间距是增大还是减小，跟驰车辆的反应具有不对称性。60Ch5跟驰理论四、跟驰理论的不足以及相应的新研究方向60Ch5跟驰理论将跟驰理论的基础模型进行改写：其中，λi=λ+或λ-，取决于相对速度是正还是负或者车头间距是增大还是减小。此外，流量—密度曲线在接近最大流的地方有明显的间断，流量突然下降。这说明流量—密度曲线的不连续性。61Ch5跟驰理论将跟驰理论的基础模型进行改写：61Ch5跟驰理论§4加速度干扰交通量小时，车辆速度在一定速度范围内变化或摆动；交通量较大时虽然跟驰现象十分明显，但是由于受交通控制信号的影响，车辆速度会出现摆动。加速度干扰就是对车辆速度摆动的描述，车速摆动还涉及到乘车舒适性的问题，加速度干扰可以作为一个定量评价指标。62Ch5跟驰理论§4加速度干扰交通量小时，车辆速度在一定速度范围内变化或摆一、加速度干扰的计算车辆速度摆动的大小可用加速度对平均加速度的标准差（方均根误差）σ来表示。称σ为加速度干扰，单位与加速度的单位一致。式中：T—观测总时间；

a(t)—t时刻加速度—平均加速度63Ch5跟驰理论一、加速度干扰的计算63Ch5跟驰理论假定平均加速度为0，则如果加速度的观测以连续的时间间隔Δt来取样如果平均加速度为0，则64Ch5跟驰理论假定平均加速度为0，则64Ch5跟驰理论加速度干扰计算的实用公式：式中：ai—第i个观测时间段的加速度（认为各小时间段内加速度值相等）Δti—第i个观测时间段长将公式进行变换式