三角函数与解三角形专业题材训练

.\三角求值与解三角形专项训练三角公式运用【通俗原理】1．三角函数的定义：设P(x,y)，记xOPR，r|OP| x2y2，谢谢阅读sinry,cosxr,tanxy(x0).精品文档放心下载sin2．基本公式：sin2cos21,tan .精品文档放心下载3．诱导公式：4．两角和差公式：sin()sincoscossin，cos()coscosmsinsin，精品文档放心下载tantantan() .5．二倍角公式：sin22sincos，精品文档放心下载cos2cos2sin22cos2112sin2，谢谢阅读2tantan2 .6．辅助角公式：①asinbcos a2b2sin()，精品文档放心下载其中由tanab及点(a,b)所在象限确定.精品文档放心下载②asinbcosacosbsin a2b2cos()，感谢阅读其中由tanb及点(a,b)所在象限确定.感谢阅读a【典型例题】1．已知R，证明：sin(2)cos.精品文档放心下载.\2．若(0,2)，tan2，求sincos的值.谢谢阅读3．已知sin()1，sin()1，求tan的值.2tan4．求cos15otan15o的值.5．证明：cos34cos33cos.谢谢阅读【跟踪练习】1．已知sin(3)53，求cos(6)的值.精品文档放心下载.\2．若sin212，求tan的值.谢谢阅读三角求值与解三角形专项训练解三角形1．三角形边角关系：在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，①ABC；谢谢阅读②若abc，则abc；③等边对等角，大边对大角.精品文档放心下载2．正弦定理：abc2R(R是△ABC外接圆的半径).sinAsinBsinC变形：a2RsinA，b2RsinB,c2RsinC.a2b2c22bccosAa2c222a23．余弦定理：b22accosB.变形：cosAbc，其他同理可得.a2b22abcosC2bcc24．三角形面积公式：S1absinC1bcsinA1acsinB.△ABC2225．与三角形有关的三角方程：①sin2Asin2BAB或2A2B；精品文档放心下载cos2Acos2BAB.6．与三角形有关的不等式：①absinAsinBcosAcosB.感谢阅读7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)；感谢阅读②知两个条件，求某个特定元素或范围；③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.感谢阅读.\【典型例题】1．在△ABC中，若acosAbcosB，试判断△ABC的形状.谢谢阅读2．在△ABC中，证明：abABsinAsinBcosAcosB.感谢阅读3．在△ABC中，a1，A，b3，求角C的大小.64．在△ABC中，C2A，c 2a，求角A的大小.感谢阅读5．在△ABC中，ac，求角A的大小.3cosAsinC.\6．在△ABC中，c3，C.3(I)求△ABC面积的最大值；(II)求△ABC周长的取值范围.【跟踪练习】1．在ABC中，a(sinAsinB)(cb)(sinCsinB)，求角C.感谢阅读.\2．在ABC中，a2c2b2ac．精品文档放心下载(I)求B的大小；(II)求cosAcosC的最大值．3．在ABC中，b2c2a23bc，B2，b23.3(I)求BC边上的中线AD的长；(II)求BAC的角平分线AE的长..\参考答案5.1 三角公式【典型例题】1．证明：如图，在单位圆中，记xOP，xOQ=2，有P(x,y),Q(y,x)，谢谢阅读sin(2)x，而cosx，∴sin(2)cos.感谢阅读

yP(x,y)2OxQ(y,x)2．解法一：∵(0,2)，tan2，有sin2cos，精品文档放心下载代入sin2cos21得cos21，则cos5，sin25，555sincos355.解法二：∵(0,2)，tan2，谢谢阅读(sincos)212sincos感谢阅读12sincos12tan9，sin2cos2tan215又sincos0，有sincos35.53．解：由sin()1，sin()1，2sincoscossin1311，则sincos,cossin，得sincoscossin244sintancossincos3.tansincossin谢谢阅读cos4．解：∵cos15ocos(45o30o)cos45ocos30osin45osin30o感谢阅读.\232126，22224tan15otan(45o30o)tan45otan30o3323，1tan45ogtan30o33∴cos15otan15o2623.45．证明：cos3cos(2)coscos2sinsin2精品文档放心下载cos(2cos21)2cossin2精品文档放心下载2cos3cos2cos(1cos2)感谢阅读4cos33cos.【跟踪练习】1．解：∵(6)(3)2，且sin(3)53，感谢阅读cos(6)cos[2(3)]sin(3)53.感谢阅读2．解：由sin21得2sincos1，即sincos1，22sin2cos24∴tan1，即tan24tan10，解得tan23.tan214由cos5得cos(2k)5，即sin5sin5.52555sin255得sin(2k2)255，即cos255cos255，∴2sincos455.谢谢阅读5.3 解三角形.\【典型例题】1．解：由acosAbcosB及正弦定理得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，感谢阅读又A,B(0,)，有2A2B或2A2B，即AB或AB2，谢谢阅读∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.2．证明：abAB，由ab及正弦定理得2RsinA2RsinBsinAsinB，而函数f(x)cosx在(0,)上单调递减，有0BAf(B)f(A)，精品文档放心下载ABcosAcos，abABsinAsinBcosA精品文档放心下载3．解：由正弦定理得sinaAsinbB，得sinB谢谢阅读

cosB.bsinA313．a22因为b3a1，所以BA，故B或．33当B时，C(AB)()．3632当B2时，CAB(2)．3636∴角C为或.264．解：∵c 2a，∴由正弦定理有sinC= 2sinA．感谢阅读C=2A，即sin2A=2sinA，于是2sinAcosA=2sinA，精品文档放心下载在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=22，∴A=4．感谢阅读5．解：由条件结合正弦定理得，aca，3cosAsinCsinA从而sinA3cosA，tanA3，0A，∴A3.6．解：(I)∵c3,C，由余弦定理得(3)2a2b22abcos，333a2b2ab2ababab，仅当ab时等号成立，感谢阅读∴△ABC的面积S1absinC1absin3333，22344.\∴当ab 3时，△ABC面积的最大值为343；谢谢阅读(II)由(I)得3a2b2ab，即3(ab)23ab，∴ab1(ab)21(ab)2，则(ab)212，即ab23，仅当ab时等号成立.32∴△ABC的周长abc23333，仅当ab3时等号成立，而abc3，故abc23，∴△ABC周长的取值范围是(23,33].【跟踪练习】1．解：由已知以及正弦定理，得aabcbcb，即a2b2c2ab.，∴cosCa2b2c21，又C0，π，所以Cπ.2ab232．解：(I)由已知得:cosBa2c2b21，Q0B，B223；2ac(II)由(I)知:AC，故AC,0C，333所以cosAcosCcos(C)cosC3sinC3cosC3sin(C)，3223Q0C,3sin(C)1，3cosAcosC3.32323．解：(I)由b2c2a23bc及余弦定理得cosAb2c2a232，2bcA(0,)，∴A6，则CAB6，即ac，谢谢阅读而b23，由abc得a23c，即ac2.sinAsinBsinCsinsinsin636uuuruuuruuur.\1AD是BC边上的中线，则AD2(ABAC)，uuuruuur∴AD21(c2b22bccos)7，有|AD|7，46即BC边上的中线长为7；(II)由(I)得c2,b23，A，又AE是BAC的平分线，6由SSS得1cgAEsin1bgAEsin1bcsin，△ABE△CAE△ABC21221226∴2(31)singAE23，即(31)singAE3，1212又sinsin()321262，123422224∴AE6，即BAC的角平分线AE6..\5.2 三角函数的图象与性质【通俗原理】1．三个基本三角函数的图象与性质ysinxycosx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于(k,0)中心对称，关于xk轴对称；(kZ，下同)2(3)周期性：周期为T2；(4)单调性：在[2k,2k]上递22增，在[2k,2k]上递减；22(5)最值性：当x2k时，y1，2max当x2k时，y1；2max(6)有界性：当xR时，sinx[1,1].谢谢阅读ytanx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；k(2)对称性：关于(2,0)中心对称，不是轴对称图形；(kZ，下同)精品文档放心下载(3)周期性：周期为T； (4)单调性：在(k2,k2)上递增.谢谢阅读

(1)奇偶性：偶函数，图象关于y轴对称；(2)对称性：关于(k2,0)中心对称，关于xk轴对称；(kZ，下同)精品文档放心下载(3)周期性：周期为T2；(4)单调性：在[2k,2k]上递减，谢谢阅读[2k,2k2]上递增；(5)最值性：当x2k时，y1，max当x2k时，y1；max(6)有界性：当xR时，sinx[1,1].谢谢阅读ytanxyxysinx(1)切线：曲线ysinx在x0处的切线谢谢阅读yx，曲线ytanx在x0处的切线也为yx；精品文档放心下载(2)不等式：当x(0,2)时，sinxxtanx，感谢阅读x(2,0)时，tanxxsinx，感谢阅读x0时，sinxxtanx.谢谢阅读2．函数图象平移与伸缩变换.\(1)左右平移：yf(x)向右平移a个单位 yf(xa)；谢谢阅读同理有如下结果：(2)上下平移：yf(x)向上平移b个单位ybf(x)，即yf(x)b；谢谢阅读说明：①当a0时，yf(x)向右平移a个单位得yf(xa)，当a0时，yf(x)向左平移|a|个单位得yf(xa)；②当b0时，yf(x)向上平移b个单位得ybf(x)，精品文档放心下载yf(x)b，当b0时，yf(x)向下平移|b|个单位得ybf(x)，即yf(x)b.谢谢阅读(3)横向伸缩：yf(x)横向(x)伸长到原来的A倍yf(1Ax)；谢谢阅读(4)纵向伸缩：yf(x)纵向(y)伸长到原来的B倍B1yf(x)，即yBf(x).精品文档放心下载说明：当A1时，表示伸长，当0A1时，表示缩短；当B1时，表示伸长，当0B1时，表示缩短.精品文档放心下载【典型例题】1．已知函数f(x)sin(2x3).精品文档放心下载(1)求f(x)的对称轴及对称中心；(2)求f(x)的单调递增区间及在[0,]上的单调递增区间；精品文档放心下载(3)求f(x)在[2,0]上的最大值与最小值，并求出相应的x的值.谢谢阅读.\13．把函数f(x)sinx的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数g(x)2cos3x1的图象？感谢阅读【跟踪练习】1．函数y|tan2x|的对称轴是 .精品文档放心下载2．已知a0，0，函数f(x)sin(x)，把yf(x)的图象向右平移a个单位得到一个偶函数yg(x)的图象，把yf(x)的图象向左平移a个单位得到一个奇函数yh(x)的图象，当||取得最小值时，求yf(x)在[0,2]上的单调递减区间.精品文档放心下载13．若把函数f(x)x22x的图象向左平移1个单位，再把横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)的解析式.感谢阅读5.2三角函数的图象与性质【典型例题】1．解：(1)由2xk得xk，即f(x)的对称轴为xk，322122122x3k得xk26，即f(x)的对称轴为(k26,0)，kZ；感谢阅读(2)由2k2x2k得kxk，2321212∴f(x)的单调递增区间为[k,k],kZ，1212.\x[0,]时，2x3[3,3]，精品文档放心下载由2x或2x得0x或x，3322331212f(x)在[0,]上的单调递增区间是[0,12]U[12,；精品文档放心下载(3)由x[2,0]得2x3[3,3]，感谢阅读∴当2x，即x0时，f(x)f(0)sin3，33max322x32，即x12时，f(x)minf(12)sin(2)1.感谢阅读2．证明：锐角△ABC中，有2AB，即02AB2，又函数f(x)sinx在(0,2)上单调递增，有f(2A)f(B)，精品文档放心下载sin(2A)sinBcosAsinB，谢谢阅读同理cosBsinC，cosCsinA，精品文档放心下载sinAsinBsinCcosAcosBcosC.谢谢阅读3．解：方法一(先平移再伸缩)：f(x)sinxcos(2x)cos(x2)，感谢阅读xa代换x得，ycos(xa2)，把1Ax代换x得ycos(1Axa2)，与ycos13x谢谢阅读a20a2，即把f(x)sinx的图象向左平移个单位，再将横坐标对比得11，∴23A3A伸长到原来的3倍得ycos1x的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得y2cos1x的图象，33后向上平移1个单位得g(x)2cos1x1的图象.3方法二(先伸缩再平移)：f(x)sinx