2022-2023学年北京平谷区第九中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年北京平谷区第九中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．故选D．2.下列有关命题的说法正确的是（

） A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”． B．“”是“”的必要不充分条件. C．命题“若，则”的逆否命题为真命题. D．命题“R使得”的否定是：“R均有”．参考答案：考点：命题及其关系，充要条件，存在性命题与全称命题.3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（

）（A）4

（B）8

（C）10

（D）12参考答案：B略4.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为(

)

A．

B．

C．4

D．参考答案：A5.给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是A.①② B.②③C.③④ D.①④参考答案：B略6.设

是两个实数，则“

中至少有一个数大于1”是“

”成立的

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充分必要条件

(D)既非充分又非必要条件参考答案：D7.设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于A．{x|3≤x＜4}

B．{x|x≥3}

C．{x|x＞2}

D．{x|x≥2}参考答案：D8.若-,a是第三象限的角，则=A.

B.

C.2

D.-2参考答案：A9.函数的图象大致是(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A10.己知函数的图象在点处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列的前n项和为，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设单调函数y=p（x）的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q（x）使得函数y=p（q（x））的置于也是A，则称函数y=q（x）是函数y=p（x）的一个“保值域函数”．已知定义域为[a，b]的函数，函数f（x）与g（x）互为反函数，且h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，则b﹣a=．参考答案：1【考点】3T：函数的值．【分析】由定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，根据h（x）单调性得出a，b的范围，求出h（x）的值域，从而得出f（x）的定义域和g（x）的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b．【解答】解：由“保值域函数”的定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，∵h（x）是定义在[a，b]上的单调函数，∴a＞3或b＜3．（1）若a＞3，则h（x）单调递减，∴h（x）的值域为[，]，∵h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，∴f（x）的定义域为[，]，g（x）的值域为[a，b]，∵函数f（x）与g（x）互为反函数，∴，整理得a=b，与b＞a矛盾（舍）．（2）若b＜3，则h（x）单调递增，∴h（x）的值域为[，]，同（1）可得，解得a=1，b=2．∴b﹣a=1．故答案为1．【点评】本题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题．12.(坐标系与参数方程选做题)圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为

，该圆的面积为

．参考答案：1,将方程两边都乘以得:,化成直角坐标方程为.半径为1,面积为.13.设，已知函数是定义域为R的偶函数，当时，

若关于x的方程有且只有7个不同实数根，则的取值范围是

．参考答案：试题分析：函数的图象如下图所示，由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有所以，所以答案应填：．

14.已知函数，给定条件：，条件：，若是的充分条件，则实数的取值范围为

▲

．参考答案：15.已知数列an=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=

．参考答案：﹣5000考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得an=，k∈N，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．解答： 解：∵an=n2sin，，k∈N，∴an=，k∈N，∴a1+a2+a3+…+a100=1﹣32+52﹣72+92﹣112+972﹣992=﹣2（1+3+5+7+9+11+…+97+99）=﹣2×=﹣5000．故答案为：﹣5000．点评：本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用．16.（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则

．

参考答案：略17.已知函数，若，则_________.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线且相交于点C，则△ABC的面积的最小值为

．参考答案：4点在抛物线的准线上，设直线，，则联立进而得：易得以为切点的方程为：，处的切线方程为：解得：当时.19.已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集包含[0,1]，求实数a的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）时，或或，或或，解集为.（Ⅱ）由已知在上恒成立，∵，，∴在上恒成立，∵的图象在上递减，在上递增，∴，∴的取值范围是.20.已知函数f(x)=tan(x+)．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且f(β)=2cos(β+)，求β的值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；函数的定义域及其求法；正切函数的定义域．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的性质即可求f（x）的定义域；（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可得，利用，化简可得，结合范围即可得解β的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，得，k∈Z…所以函数f（x）的定义域是…（Ⅱ）依题意，得…所以．①…因为β是锐角，所以，…所以，…①式化简为…所以，…所以…21.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA1上的动点．（1）当AA1=AB=AC时，求证：A1C⊥BC1；（2）试求三棱锥P﹣BCC1的体积V取得最大值时的t值．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出AC1⊥A1C，AB⊥AC，AB⊥AA1，由此能证明A1C⊥BC1．（2）推导出点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离，从而三棱锥P﹣BCC1的体积==，再利用导数能求出三棱锥P﹣BCC1的体积V取得最大值时的t值．【解答】证明：（1）∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB，又∵AA1=AC，∴四边形AA1C1C是正方形，∴AC1⊥A1C，∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．解：（2）∵AA1∥平面BB1C1C，∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离，∴三棱锥P﹣BCC1的体积：====（0＜t＜），∴V′=﹣t（t﹣1），令V′=0，得t=1或t=0（舍），当t∈（0，1）时，V′＞0，函数V（t）是增函数，当t∈（1，）时，V′＜0，函数V（t）是减函数，∴当t=1时，Vmax=．22.（12分）已知关于x的不等式组，其中.

（Ⅰ）求不等式①的解集；

（Ⅱ）若不等式组的解集为空集，求实数的取值范围.参考答案：解析：（Ⅰ）