河南省周口市芝麻洼乡人民中学高二数学理上学期期末试卷含解析

河南省周口市芝麻洼乡人民中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为()A、

B、

C、

D、参考答案：D略3.设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．12参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得p的值，进而利用抛物线的定义可求得|AB|=x1+x2+4，根据线段AB的中点E到y轴的距离求得x1+x2的值，代入|AB|=x1+x2+4，求得答案．【解答】解：由抛物线方程可知p=4|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+4由线段AB的中点E到y轴的距离为3得（x1+x2）=3∴|AB|=x1+x2+4=10故答案为：104.已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（）A．2+π B．2+ C．π D．4+4π参考答案：C【考点】定积分．【分析】首先复数为实数，得到a，然后利用定积分的几何意义求值．【解答】解：因为复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，所以a=2，所以===π；故选：C5.在△ABC中，下列关系中一定成立的是（）A．a＜bsinAB．a=bsinAC．a＞bsinAD．a≥bsinA参考答案：D略6.若f（x）=xcosx，则函数f（x）的导函数f'（x）等于（）A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx参考答案：D【考点】导数的运算．【分析】根据题意，由导数乘积的运算法则求f（x）=xcosx求导，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=xcosx，其导数f′（x）=x′cosx+x?（cosx）′=cosx﹣xsinx，即f'（x）=cosx﹣xsinx，故选：D．【点评】本题考查导数的计算，关键是熟悉导数的计算公式．7.若点P(x，y)的坐标适合方程arcsinx=arccosy，则点P组成的图形是（

）（A）一个圆

（B）四分之三个圆

（C）半个圆

（D）四分之一个圆参考答案：D8.若，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：B令，得.令，得.所以.故选B.9.函数，若,则的值为（

）

A.3

B.0

C.-1

D.-2参考答案：D略10.一个几何体的三视图如图2所示，这个几何体的表面积是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：解析：取ＡＤ上一点Ｇ，使ＡＧ＝3ｃｍ，则∥ＢＤ，ＧＦ∥ＡＣ，因为ＡＣ⊥ＢＤ，∴ＥＧ⊥ＧＦ，又因为ＥＧ＝3，ＧＦ＝5，∴ＥＦ＝．12.已知点...，则向量在方向上的投影为是________________________.参考答案：略13.已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则这个椭圆的方程为

参考答案：14.（2013?重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_________（用数字作答）．参考答案：590【分析】方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．【详解】3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51＝20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51＝60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53＝120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51＝90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52＝180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52＝120种，共计20+60+120+90+180+120＝590种故答案为：590.【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步，属于基础题.15.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是

．

参考答案：①④【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．16.已知，，当=

时，有最小值；参考答案：1＋ｉ

略17.已知复数z与（z﹣3）2+5i均为纯虚数，则z=

．参考答案：±3i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：设z=bi（b∈R，b≠0），∵（z﹣3）2+5i=（bi﹣3）2+5i=9﹣b2+（﹣6b+5）i为纯虚数，∴，解得b=±3，∴b=±3i．故答案为：±3i．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数

（1）若关于的不等式在有实数解，求实数的取值范围；（2）设，若关于的方程至少有一个解，求的最小值.（3）证明不等式：

参考答案：19.如图，A，B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里/时的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．参考答案：设行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处．①当9t＜21，即时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t.在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD2＝BC2+BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2+(6t)2－2×(21－9t)·6t·＝63t2－252t+441＝63(t－2)2+189.∴当t＝2时，CD取得最小值.②当时，C与B重合，则.③当时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2+(6t)2－2·(9t－21)·6t·cos60°＝63t2－252t+441＝63(t－2)2+189＞189.综上可知，当t＝2时，CD取最小值.答：行驶2h后，甲、乙两船相距最近为海里．20.设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：

（1）求；

（2）为偶数时，求；

（3）是3的倍数时，求。参考答案：令，（1），所以（2），所以（3）记，则。当时，，当时，，记，，，，则从上到下各式分别乘以，求得。即21.在三棱锥中，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，当三棱锥的体积最大

时，求的长．参考答案：（Ⅰ）证明：∵∴，

（1分）∵，

∴

（2分）∵，∴

（3分）∵，∴，∴，

（5分）∵，∴平面平面；

（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，，

（7分）设，则

（8分）

（9分）∴

（10分）当且仅当