江苏省盐城市开发区中学高三数学理测试题含解析

江苏省盐城市开发区中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题：①在中，若，则；②已知，则在上的投影为；③已知，，则“”为假命题．其中真命题的个数为（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3参考答案：C①根据正弦定理可知在三角形中。若，则，所以，正确。在上的投影为，因为，所以，所以②错误。③中命题为真，为真，所以为假命题，所以正确。所以真命题有2个选C.2.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”?“升级题型”?“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：．故选：A．【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．3.函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为(

)A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．R参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．4.已知向量=（1，y），=（﹣2，4），若⊥，则|2+|=（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：A【考点】向量的模．【分析】向量⊥时?=0，求出y的值，再求|2+|的值．【解答】解：向量=（1，y），=（﹣2，4），且⊥，所以?=1×（﹣2）+4y=0，解得y=；所以2+=（2，1）+（﹣2，4）=（0，5），所以|2+|=5．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积、模长的应用问题，是基础题目．5.已知，则向量在向量上的投影为A．

B．

C．

D．参考答案：C6.设全集,集合,,则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B，所以，选B.7.已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题：2

?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；②?x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有；③?x1，x2∈（0，1），有；④?x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．其中所有真命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①利用函数奇偶性的定义可判断出?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），可判断①正确；②x∈（﹣1，1），由，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，可判断②正确；③利用f′（x）=在（0，1）单调递增可判断③正确；④构造函数g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，?g（x）在（0，1）单调递增，再利用g（x）=f（x）﹣2x为奇函数，可判断④正确．【解答】解：对于①，∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），且其定义域为（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣=﹣f（x），即①?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），故①是真命题；对于②，∵x∈（﹣1，1），由，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，即?x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有，故②是真命题；对于③，∵f′（x）=在（0，1）单调递增，∴?x1，x2∈（0，1），有，故③是真命题；对于④，设g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，所以g（x）在（0，1）单调递增，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函数性质可知，?x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命题．故选：D．8.设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当时，；当且时，，则方程在上的根的个数为(

)A．2 B．5 C．8 D．4

参考答案：略9.在不等式组确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.

参考答案：A10.已知等比数列的公比为q，则’’”是.为递减数列的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：D若，则数列前n项依次为-1，-，显然不是递减数列

若等比数列为-1，-2，-4，-8显然为递减数列，但其公比q=2，不满足

综上是为递减数列的既不充分也不必要条件

注意点：对于等比数列，递减数列的概念理解，做题突破点;概念，反例二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．参考答案：7【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=3x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式：参考答案：13.对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有

②③若，，都有成立；则称函数为函数。下面有三个命题：（1）若函数为函数，则；（2）函数是函数；（3）若函数是函数，假定存在，使得，且，则；

其中真命题是________．（填上所有真命题的序号）参考答案：(1)(2)(3)14.钝角中，若，，则的最大值为

.

参考答案：15.在中，若，则参考答案：由余弦定理知，所以16.如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是

．参考答案：略17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，当tan（A﹣B）取最大值时，角B的值为．参考答案：【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】acosB﹣bcosA=c，由正弦定理定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B），化为：tanA=3tanB＞0，代入tan（A﹣B），再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵acosB﹣bcosA=c，由正弦定理定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B），化为：tanA=3tanB＞0，∴tan（A﹣B）===≤=，当且仅当tanB=，即B=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．参考答案：考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．解答： 解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E?平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．

（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19.如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，是等腰直角三角形，点O是正方形ABCD对角线的交点，且.（1）证明：OF∥平面ABE；（2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）取的中点，的中点，连接、、，将五面体分割为三棱柱和四棱锥，证明出底面和平面，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体的体积.【详解】（1）取的中点，连接、，侧面为正方形，且，为的中点，又为的中点，且，且，，所以，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面；（2）取的中点，的中点，连接、、，四边形为正方形，.平面平面，平面平面，平面，底面，易知，，，，为中点，，，平面，平面，，，、平面，平面.，平面，且，，因此，.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数.（1）讨论在(1,+∞)上的零点个数；（2）当时，若存在，使，求实数a的取值范围.（e为自然对数的底数，其值为2.71828……）参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）构造函数，先将讨论在上的零点个数问题，转化为讨论直线与曲线的交点个数问题，用导数方法研究函数单调性，求出值域，即可得出结果；（2）根据（1）结果，由求出零点，得到，再由题意得到成立，构造函数，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果.【详解】（1）由得，令，因此讨论在上的零点个数，即是讨论直线与曲线的交点个数，∵，在上恒成立，故在上单调递增，，又连续不断，所以当时，在上无零点；当时，在上存在一个零点.（2）当时，由（1）得在上存在一个零点，由得，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增；所以，又存在，使成立，所以，只需成立，即不等式成立，令，则，易知在上恒成立，故在上单调递增又，所以.故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的零点、以及根据不等式能成立求参数的问题，熟练掌握导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.21.已知椭圆的右焦点为F,过点F且斜率为的直线l与椭圆W交于A、B两点,线段AB的中点为M、O为坐标原点.（1）证明:点M在y轴的右侧;（2）设线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别相交于点C、D.若与的面积相等,求直线l的斜率k参考答案：（1）证明见解析（2）【分析】（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由△与△的面积相等列式，即可解出直线的斜率．【详解】（1）由题意，得，直线（）设，，

联立消去，得，显然，，则点的横坐标，

因为，所以点在轴的右侧．

（2）由（1）得点的纵坐标．

即．所以线段的垂直平分线方程为：．

令，得；令，得．

所以的面积，的面积．

因为与的面积相等，所以，解得．所以当△与△的面积相等时，直线的斜率．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．22.(本小题满分12分)如图，三棱柱中，，（1）求证：；（2）求点到.参考答案：(1)取中点，连接---------------------------------