海南省海口市琼中县中学高三数学理期末试题含解析

海南省海口市琼中县中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误D．以上三种说法都不正确参考答案：C【考点】独立性检验的应用．【分析】由独立性检验知，概率值是指我们认为我的下的结论正确的概率，从而对四个命题判断．【解答】解：若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；而不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故不正确；从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指吸烟与患肺病有关系的概率，而不是吸烟人就有99%的可能患有肺病，故不正确；若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，正确；故选C．2.已知函数的图象在点（1，）处的切线方程是的值是A．

B．1

C．

D．2参考答案：D3.甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知（）A．甲网店的极差大于乙网店的极差B．甲网店的中位数是46C．乙网店的众数是42D．甲网店的销售业绩好参考答案：D考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：只要运用求平均数公式：=，即可求出甲网店的销售业绩好．或利用极差的概念，极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，等计算极差或中位数或众数，再进行判断即可．解答：解：甲网店数据分别为：6，11，12，32，43，45，47，51，51，58．故平均数=（6+11+12+32+43+45+47+51+51+58）=35.6；极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，即58﹣6=52．甲网店的中位数是44．乙网店数据分别为：5，7，13，13，13，22，34，42，42，58．故平均数=（5+7+13+13+13+22+34+42+42+58）=24.9；极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，即58﹣5=53．乙网店的众数是13．∴甲网店的销售业绩好．故选D．．点评：本题考查的是样本平均数以及极差等统计量的求法，是比较简单的问题．4.若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）*，则得到一个新数列{（an）*}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，an=n2，则（（an）*）*=(

)A．2n B．2n2 C．n D．n2参考答案：D【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】对任意的n∈N*，an=n2，可得=0，=1==，=…=，…，可得=1，=4，=9，…，即可猜想出．【解答】解：对任意的n∈N*，an=n2，则=0，=1==，=…=，=3=…=，…，∴=1，=4，=9，…，猜想（（an）*）*=n2．故选：D．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题．5.已知是虚数单位，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：A6.已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495参考答案：D【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）﹣I（a）=972﹣279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）﹣I（a）=963﹣369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，满足题意．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题．7.设集合,，若，则实数的值为A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.设函数，把的图象向右平移个单位后，图象恰好为函数

的图象,则的值可以为．

．

．

．

参考答案：C9.函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中,，则的最大值为____________.参考答案：12.关于的方程（其中为虚数单位），则方程的解_______.参考答案：由行列式得，即。【答案】【解析】13.设偶函数的部分图象如图所示△KLM为等腰直角三角形，,KL=1，则的值为

.

参考答案：略14.已知圆和两点，若点在圆上且，则满足条件的点有

个.参考答案：15.已知二面角为，，，，为线段的中点，，，则直线与平面所成角的大小为________．参考答案：略16.的展开式中的常数项是

。（用数字作答）参考答案：答案：2017.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，点，点在直线上，过中点作，交于点，设的轨迹为曲线.（1）求的轨迹方程；（2）过点的直线与交于两点，直线分别与直线交于两点.线段的中点是否在定直线上，若搓，求出该直线方程；若不是，说明理由.参考答案：（1）法一：设，因为为中点，故点的坐标为；当时，点的坐标为；当时，由三点共线知，，即①，即

②； 得，化简得曲线的轨迹方程为.法二：设，则直线的方程为，令，得点的坐标为，即，又及,.即，化简得，即，故曲线的轨迹方程为.（2）法一：由题意知，直线的斜率恒大于0，且直线不过点，其中；设直线的方程为，则.设，直线的方程为，故，同理；所以，即③联立，化简得，所以代入③得，所以点都在定直线上. 法二：设，设直线的方程分别为，则，故①，联立得，所以，同理，.由三点共线知，即，②又，故②式可化为，代入①式，得.所以点都在定直线上. 法三：设，设直线的方程分别为，则，故设直线方程的统一形式为，直线的方程为，联立，得点的统—形式为，又均在椭圆上，故其坐标满足椭圆的方程，即，得，即，为该二次方程的两根，由韦达定理得，代入①式，得.所以点都在定直线上. 19.在如图所示的空间几何体中，边长为2的正三角形ABC所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE内的射影为∠AEB的平分线且DE与平面AEB所成的角为60°，DE=2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OE，以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD⊥平面ABC．（Ⅱ）求出平面ABE的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OE，∵△ABC与△ABE均为边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面ABE，∴CO⊥平面ABE，∴CO⊥AO，CO⊥OE，又OE⊥AO，∴以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0，），E（0，，0），O（0，0，0），又ED在平面ABE内的投影为∠AEB的平分线，且DE于平面ABE所成角为60°，DE=2，∴D（0，），=（0，），=（1，0，0），=（0，0，），=0，=0，∴CD⊥OA，CD⊥OC，又OA∩OC=O，∴CD⊥平面ABC．解：（Ⅱ）∵OC⊥平面ABE，∴取=（0，0，）为平面ABE的法向量，设平面BED的法向量=（x，y，z），，，则有：，∴，取z=1，得=（﹣3，），设二面角A﹣BE﹣D的平面角为θ，则有：cosθ===．∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．20.（12分）设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λx1+(1－λ)x2时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指“k恒成立”，其中k是一个确定的正数．（1）求证：A、B、N三点共线（2）设函数f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；（3）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

参考答案：【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线，

……2分（2）由x=λx1+(1－λ)x2与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．4分对于[0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)，则有，故；所以k的取值范围是．

……6分（3）对于上的函数，A()，B()，

则直线AB的方程，…………8分令，其中，于是，

…………10分列表如下：xem(em，em+1－em)em+1－em(em+1－em，em+1)em+1

+0－

0增减0则，且在处取得最大值，又0.123，从而命题成立．

……12分略21.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）参考答案：（1）

（2）（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，；在△PMN中，，（2）当时，PN最小，此时．

∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴

∴异面直线PN与A1C1所成角的大小．22.(本小题满分16分)己知函数(1)若，求函数的单调递减区间;(2)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值:(3)若，正实数满足，证明:参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求函数的单调区间；利用导数解决不等式恒成立的问题.B11B12(1)；(2)2；(3)见解析。

解析：（1）因为，所以，………1分此时，

………2分由，得，又，所以．所以的单调减区间为．…………4分（2）方法一：令，所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立．……6分当时，，令，得．所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．

……………………8分令，因为，，又因为在是减函数．所以当时，．所以整数的最小值为2．

…………10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立．令，只要．…………6分因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为．当时，；当时，，所以在上是增函数；在上是减函数．所以．………8分因为，所