平面的相互关系课件

第七章直线、平面的相互关系第一节平行关系第二节相交关系第三节垂直关系第七章直线、平面的相互关系第一节平行关系第二节1HbacBAC一、直线与平面平行第一节平行关系1.几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行。EFDdfeADEFABC上的直线所以EFABC所以EFABCc'nmn'm'd'b'a'dbaXOc投影图HbacBAC一、直线与平面平行第一节平行关系1.几2⒉特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该平面的积聚投影与直线的同面投影平行。cbac'b'a'n'nmm'XOPHPHmn则PMNMNABCPPHMNmnH⒉特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该平面的积聚投影与3例：过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'无数解例：过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc4例：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线abcmm'a'b'c'因为△ABC为正垂面，所以直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又因为MN为正平线，所以mn平行于OX轴。n'n例：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线abcm5结果:MN//ABC作图方法:

3连接ak2由k'求出k；例判别直线MN.DE与三角形ABC平面是否平行?n'm'c'b'a'nmcbakk'XOded'e'\\\\d'e'//a'b'de//ac结果:MN//ABC判断DE//ABC1过作//a'a'b'a'b'结果:MN//ABC作图方法:3连接ak26edcbab'd'c'b'a'例过直线AB作三角形ABC平面平行于直线DE。

OX作图步骤：d'c'作b'b'//bc//deedcbab'd'c'b'a'例过直线AB作三角形ABC7作图步骤：

①在平面ABC内任作一条水平线(AD)；②过M点作直线MN//AD。c'b'a'acbd'dXm'mnn'O过M点作水平线

MN平行已知平面ABC。例作图步骤：c'b'a'acbd'dXm'mnn'O过M点作8二、平面与平面平行1.几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。g'e'f'a'b'c'abcefgm'n'mnXOHPRMNBFGEEFG//ABC二、平面与平面平行1.几何条件：若一平面上的两条相交直线9n1例已知：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行，试补全三角形ABC的正面投影。q'p'n'm'qpnma'cba~2'1'b'~2c'1~XO~

做图步骤：作n1//bc

n2//abb'2´n'a'//1'b'n'c'//n1例已知：MN、PQ决定的平面与10平面的相互关系课件11例题试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行例题试判断两平面是否平行fededfcaa12例题已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk例题已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K132。特殊位置情况

若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平面有积聚性的同面投影必相互平行。HABCabcDGFEg(f)d(e)oxabcg(f)d(e)a'b'c'd'g'e' f'2。特殊位置情况若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平14例题试判断两平面是否平行。结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSH例题试判断两平面是否平行。结论：两平面平行efef15平面的相互关系课件16第二节直线与平面相交、两平面相交直线与平面相交——求交点平面与平面相交——求交线求解方法：1.积聚投影法2.辅助平面法3.换面法并判别可见性关键：求直线与平面的交点---共有点求平面与平面的交线---共有线第二节直线与平面相交、两平面相交直线与平面相交——求交点求17直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的18MBCA平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有MBCA平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直19bab'a'OXc(f)d(e)c'd'f'e'一、直线与特殊位置(垂直)平面相交kk'分析：利用平面的积聚性求交点交点——线面的公共点交点——可见与不可见的分界点作图步骤：1、求交点（k，求k'）2、判别可见性（远离坐标轴—-可见）ABabHKkkCDEFbab'a'OXc(f)d(e)c'd'f'e'一、直线与特20判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaac21例求直线与平面的交点，并判别可见性。

OXa'b'c'm'n'k'abcmnk212‘(1’)QVkbak'b'a'qq'例求直线与平面的交点，并判别可见性。OXa22平面的相互关系课件23二、垂直线与一般平面相交k'n'

m'c'b'a'

kcbam(n)11'XO3'4'34作图方法：利用直线的积聚投影及平面上取点的方法求解。二、垂直线与一般平面相交k'n'm'c'b'a'kcba24平面的相互关系课件25平面的相互关系课件26三、一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL三、一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交nlmmln27一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交QABCabcHMNmnqa'b'c'q'nabcq1‘(2’)12mm'n'XO一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交28ABCQ过MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图四、一般直线与一般位置平面相交ABCQ过MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面为辅助平面求29CAB过MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图CAB过MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以铅垂面为辅助30作图方法1：包含直线GF作铅垂面R一般直线与一般位置平面相交RABCabcHGFgfMNkKRH

求出R平面与ABC的交线MNMN与GF的交点K即为所求。作图方法1：一般直线与一般位置平面相交RABCabcHGF3112以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1feefbcaacb步骤：1、过EF作铅垂平面P。2、求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。kk212以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1feefbc32feefbaacbc12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。feefbaacbc12以正垂面为辅助平面求线33HVabcceaABbCFEffkKke直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图ⅠⅡⅢⅣ1

(2)(4)3利用重影点。判别可见性HVabcceaABbCFEffkKke直线EF34作图方法1：包含直线GF作铅垂面R1,(2)一般直线与一般位置平面相交判别可见性RABCabcHa'b'c'nabcmm'n'GFgfMNkKRHgfRHk'k1'2'f'g'3‘(4’)34

求出R平面与ABC的交线MNMN与GF的交点K即为所求。OX作图方法1：1,(2)一般直线与一般位置平面相交判别可见35g'11f'c'1c'作图方法2：用换面法求倾斜线与倾斜面的交线。将ABC平面变换为投影面垂直面。1,2直线与一般位置平面相交a'b'c'abcgfk'k1'2'f'g'3'4'34

OXX1k'1b'1a'1g'11f'c'1c'作图方法2：1,2直线与一般位置平面相36利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL五、两一般位置平面相交利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其37两一般位置平面相交，求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线baccballnmmnPVQV1221kkee2、连接两个共有点，画出交线KE。两一般位置平面相交，求交线步骤：求两平面的交38两一般位置平面相交判别可见性fedcbac'b'a'd'f'e'QHRHnmn'm'1'(2')213'3(4)4'方法1：辅助平面法HRABCabcEDedJLmMRH两一般位置平面相交判别可见性fedcbac'b'a'd'39a'1两一般位置平面相交fedcbac'b'a'd'f'e'nmn'm'1'(2')213'3(4)4'方法2：换面法XX1b'1c'1d'1f'1e'1m'1n'1a'1两一般位置平面相交fedcbac'b'a'd'f'e40acbacbfeefkk例题试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。acbacbfeefkk例题41分析FPCABEKH过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。分析FPCABEKH过已知点K作平面P平行于42作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。作图步骤mnhhnmffacbacbeek43PVRVa'c'f'm'n'b'd'e'g'acbdemn1'2'3'4'1234RV56785'6'7'8'OXMfgPVN方法3三面共点法PVRVa'c'f'm'n'b'd'e'g'acbdemn44平面的相互关系课件45第三节垂直关系一直线与平面垂直1几何条件若一直线垂直于平面内任意相交两直线，则此直线必垂直于这个平面。反之，若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意直线。第三节垂直关系一直线与平面垂直46直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

VHPAKLDCBE直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属47定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknkn直角定理定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该48定理2（逆）：acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEH若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。则直线垂直平面（根据直角定理）定理2（逆）：acacnnkfdbdbfkVP490Xaba'b'p'p特殊情况0Xaba'b'p'p特殊情况50aa'cc'bb'12'OX作图方法

kmm'k'21'[例]过点M作直线垂直于三角形ABC。方法1aa'cc'bb'12'OX作图方法kmm'k'21'51m'1aa'cc'bb'1OX1'mm'方法2换面法求解a'1c'1b'1k'1kk'X1bXOaa'b'p'p特殊情况m'1aa'cc'bb'1OX1'mm'方法2a'1c52例题：平面由

BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkfdbdbfk例题：平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。aca53hh例题：试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhkkSVkkPVkkQHhh例题：试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhkk54例题：定平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。efemnmncaadbcdbf例题：定平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直55二两平面垂直Ⅱ1几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD特殊情况q'r'qr二两平面垂直Ⅱ1几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含56

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ADⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAD反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向57aa'cc'bb'12'OX2投影特点

mkm'k'21'nn'先作一直线垂直于平面。然后再包含该直线作一平面必垂直于该平面。aa'cc'bb'12'OX2投影特点mkm'k'2158例：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。XOdabcc'b'a'd'e'k'ke

分析：过已知点D作直线DK垂直于平面△ABC，然后包含直线DK作平面（可作无穷多个），图中任取一点E，则平面DEK垂直于△ABC。例：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。XOdabc59g例题平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面hacachkkfdbdbfgg例题平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂60例题试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平