高考压轴题：导数题型及解题方法

高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线$y=f(x)$在$x=x$处的切线方程。方法：$f'(x)$为在$x=x$处的切线的斜率。题型2：过点$(a,b)$的直线与曲线$y=f(x)$的相切问题。方法：设曲线$y=f(x)$的切点$(x,f(x))$，由$(x-a)f'(x)=f(x)-b$求出$x$，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。例：已知函数$f(x)=x-3x^2$。（1）求曲线$y=f(x)$在点$x=2$处的切线方程；（答案：$9x-y-16=0$）（2）若过点$A(1,m)(m\neq-2)$可作曲线$y=f(x)$的三条切线，求实数$m$的取值范围。（提示：设曲线$y=f(x)$上的切点$(x,f(x))$；建立$x,f(x)$的等式关系。将问题转化为关于$x,m$的方程有三个不同实数根问题。答案：$m$的范围是$(-3,-2)$）练习1：已知曲线$y=x-3x^2$。（1）求过点$(1,-3)$与曲线$y=x-3x^2$相切的直线方程。答案：$(3x+y=0)$或$(15x-4y-27=0)$（2）证明：过点$(-2,5)$与曲线$y=x-3x^2$相切的直线有三条。题型3：求两个曲线$y=f(x)$、$y=g(x)$的公切线。方法：设曲线$y=f(x)$、$y=g(x)$的切点分别为$(x_1,f(x_1))$、$(x_2,f(x_2))$；建立$x_1,x_2$的等式关系，$(x_2-x_1)f'(x_1)=y_2-y_1$，$(x_2-x_1)f'(x_2)=y_2-y_1$；求出$x_1,x_2$，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例：求曲线$y=x$与曲线$y=2e^{lnx}$的公切线方程。（答案：$2e^x-y-e=0$）练习1：求曲线$y=x$与曲线$y=-(x-1)$的公切线方程。（答案：$2x-y-1=0$或$y=0$）2.设函数$f(x)=p(x-2)-2lnx$，$g(x)=x$，直线$l$与函数$f(x),g(x)$的图象都相切，且与函数$f(x)$的图象相切于$(1,0)$，求实数$p$的值。（答案：$p=1$或$3$）二、单调性问题题型1：求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有以下几种：1.在求极值点的过程中，未知数的系数与的关系不定而引起的分类；2.在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与的关系不定）；3.在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；4.在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。需要注意的是，在分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例如，已知函数$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x-(a+1)\frac{x^2}{2}$，我们可以通过以下两种分类方式来求函数的单调区间：1.利用极值点的大小关系分类，即先求出$f'(x)=\frac{1}{x}+x-(a+1)x=0$的根，然后比较相邻极值点的大小关系，得到单调区间；2.利用极值点与区间的关系分类，即先求出$f'(x)=\frac{1}{x}+x-(a+1)x=0$的根，然后判断这些根与区间$[2,e]$的关系，得到单调区间。另外，对于已知函数在某区间是单调的求参数范围的问题，我们可以采用以下三种方法：1.研究导函数讨论；2.转化为$f(x)\geq$或$f(x)\leq$在给定区间上恒成立问题；3.利用子区间，即先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。需要注意的是，“函数$f(x)$在$(m,n)$上是减函数”与“函数$f(x)$的单调减区间是$(a,b)$”的区别是前者是后者的子集。对于极值、最值问题，我们可以采用以下基本思路：1.确定定义域；2.找出疑似极值点；3.确定单调区间；4.求出极值；5.求出最值。例如，对于函数$f(x)=e^x-(k+1)e^{-x}+kx$，我们可以先求出$f'(x)=e^x+(k+1)e^{-x}+k$，然后令$f'(x)=0$，解得$x=\ln\frac{k}{2}$，再根据单调性讨论得到极值点和单调区间，最后求出极值或最值。已知函数f(x)=x+mx+nx-2的图像过点(-1,-6)，且函数g(x)=f'(x)+6x的图像关于y轴对称。若a>0，求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值。首先求出函数f(x)和g(x)的表达式：f(x)=x+mx+nx-2g(x)=f'(x)+6x=1+2mx+nx+6x由题意可知，g(x)的图像关于y轴对称，即g(-x)=g(x)，代入表达式得到：1-2mx+nx-6x=1+2mx+nx+6x-4mx-12x=0mx+3x=0x(m+3)=0因为a>0，所以a不可能等于-3，因此只有x=0，即f(x)的极值点对称于y轴。接下来分别讨论a<1，1≤a<3和a≥3的情况。当a<1时，f(x)=x+mx+nx-2，对应的导数为f'(x)=1+2mx+nx，令其等于0，得到极值点为x=-n/2m，代入f(x)得到极值为-2。因为-1<a<1，所以-a>1，即n/2m>1，所以x<-1或x>1，因此在区间(a-1,a+1)内不存在极值。当1≤a<3时，f(x)的导数为f'(x)=1+2mx+nx，令其等于0，得到极值点为x=-n/2m，代入f(x)得到极值为-6。因为1<a<3，所以0<n/2m<1，所以-1<x<1，因此在区间(a-1,a+1)内存在极小值-6，无极大值。当a≥3时，f(x)的导数为f'(x)=1+2mx+nx，令其等于0，得到极值点为x=-n/2m，代入f(x)得到极值为-2。因为a≥3，所以n/2m≤0，所以x<-1或x>1，因此在区间(a-1,a+1)内不存在极值。综上所述，当-a>1时，函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内无极值；当-1≤a<1时，函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内有极大值-2，无极小值；当1≤a<3时，函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内有极小值-6，无极大值；当a≥3时，函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内无极值。1.对于给定的$m,n$和$\forallx_1,x_2\in(m,n)$，若$f(x_1)\geqg(x_2)$恒成立，则$f_{\max}\geqg_{\max}$。2.对于$x_1,x_2\in(m,n)$，在$(m,n)$上$f$为增函数。题型1：已知不等式恒成立，求系数范围。方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。(2)讨论法：有的需要构造函数。关键是确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与常数的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，$\Delta$与系数的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。(3)数形结合。(4)变更主元。解题思路：1.代特定值缩小范围。2.化简不等式。3.选择方法（用讨论法时，或构造新函数）。方法：分离法。求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。例如，对于函数$f(x)=e^{x-\lnx}+a$，在$x\in[1,e]$上$f(x)\geqe$恒成立，求实数$a$的取值范围。方法：分离$x^2$法，多次求导。答案：$a\in(-\infty,1]$。练习：设函数$f(x)=x(e-1)-ax$，若当$x\geq1$时$f(x)\geq0$，求$a$的取值范围。方法：分离法，用罗比达法则。答案：$a\in(-\infty,1]$。方法：讨论法。有的需要构造函数。关键是确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与常数的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，$\Delta$与系数的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例如，设函数$f(x)=e^{-1}-x-ax$，若当$x\geq0$时$f(x)\geq0$，求$a$的取值范围。答案：$a\in(-\infty,1)$。练习：1.设函数$f(x)=1-e^{x^2}$，求实数$a$的取值范围，使得$f(x)-ax$在$(-\infty,0]$上单调递增。答案：$a\in\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]$。2.函数$f(x)=a\lnx-x$，当$x\geqe$时，$f(x)\leq\frac{x}{2}$，求实数$a$的取值范围。答案：$a>\frac{1}{2}$。3.对于$\forallx>0$，有$ax(2-\lnx)\leq1$，求实数$a$的取值范围。答案：$a\in\left(\frac{1}{e},e^{-1}\right)$。3.已知函数$f(x)=x-\lnx$，$g(x)=-\frac{1}{1+a}$，$(a\in\mathbb{R})$。若在$[1,e]$上存在一点$x$，使得$xf(x)<g(x)$成立，求实数$a$的取值范围。（答案：$(-\infty,-2)\cup(\frac{1}{e}-1,\infty)$）解法：首先对不等式进行等价变形，得到$\frac{f(x)}{g(x)}>-\frac{1}{x}$。然后将$f(x)$和$g(x)$分别看成两个函数，其中$g(x)$的图像为一条水平直线。接着利用导数研究函数的单调性和极值，得到$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,\infty)$上单调递增，且在$x=e$处取到最小值$f(e)=e-1$。又因为$g(x)$是常数函数，没有极值和最值。于是可以画出两个函数的图像，如下图所示：图中蓝色曲线为$f(x)$的图像，红色直线为$g(x)$的图像，绿色直线为$-\frac{1}{x}$的图像。由于$\frac{f(x)}{g(x)}>-\frac{1}{x}$，因此蓝色曲线必须在绿色直线上方或者与绿色直线相切。设相切点为$(x_0,y_0)$，则有：$$\frac{f(x_0)}{g(x_0)}=-\frac{1}{x_0}$$化简得：$$x_0e^{x_0}=-(1+a)y_0$$由于$x_0\in[1,e]$，因此$x_0e^{x_0}\leqe^2$。同时，$y_0\leq-\frac{1}{1+a}$。代入上式得：$$-\frac{e^2}{1+a}\leqx_0y_0\leq-\frac{1}{1+a}$$因此，要使得不等式成立，必须有：$$-\frac{e^2}{1+a}<-\frac{1}{1+a}\quad\text{或}\quad-\frac{e^2}{1+a}>-\frac{1}{1+a}$$解得$a\in(-\infty,-2)\cup(\frac{1}{e}-1,\infty)$。4.已知$a\in\mathbb{R}$，函数$f(x)=2x-3(a+1)x+6ax$。若对于任意的$a\in[-3,0]$，$x_1,x_2\in[0,2]$，不等式$32m-am^2\geqf(x_1)-f(x_2)$恒成立，求实数$m$的取值范围。（答案：$(5,\infty)$）解法：首先对不等式进行等价变形，得到$f(x_1)-f(x_2)\leq32m-am^2$。然后将$f(x)$看成一个函数，得到$f(x)=2x-3(a+1)x+6ax=(3a-2)x^2+(6-3a)x$。接着利用导数研究函数的单调性和极值，得到当$a\in[-3,0]$时，$f(x)$在$[0,2]$上单调递减，且在$x=1$处取到最大值$f(1)=3a-2$。于是可以列出式子：$$3a-2\leq32m-am^2$$将$a$的范围代入上式得：$$-8\leq32m-m^2\leq2$$解得$m\in(5,\infty)$。x2e(1-x)=e(1-x)，设t(x)=e2x(1-x)，x∈R，t'(x)=e2x(1-2x)，当x∈(-∞,1/2)，t'(x)>0；当x∈(1/2,+∞)，t'(x)<0，故t(x)有最大值t(1/2)=1/e，所以，(a+1)b的最大值为2/e。(改写)将原函数t(x)转化为t(x)=e^(2x-x^2)，求导可得t'(x)=e^(2x-x^2)(1-2x)，当x在(-∞,1/2)时，t'(x)大于0；当x在(1/2,+∞)时，t'(x)小于0，因此t(x)在x=1/2处取得最大值t(1/2)=1/e，所以(a+1)b的最大值为2/e。设函数f(x)=(x-a)lnx，a∈R，求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e成立。（答案：a的取值范围为[3e-2,2]）(改写)设函数f(x)=(x-a)lnx，a∈R，要求对于任意的x∈(0,3e]，都有f(x)≤4e成立，