函数的应用基础题汇总(1)(解析版)

函数的应用基础题汇总(1)1.以下函数在区间(0，)上必有零点的是()A．y＝xB．y＝3C．y＝ln(x+)D．y＝2x+1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝＝，在区间(0，)有y＞0恒成立，在区间(0，)上没有零点，不符对于B，y＝＝，在区间(0，)有y＞0恒成立，在区间(0，)上没有零点，不对于D，y＝2x+1，在区间(0，)有y＞0恒成立，在区间(0，)上没有零点，不符合题【知识点】函数的零点、函数零点的判定定理2.2.已知函数f(x)＝，若函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递减，则实数m的取值范围为()A．(0，2)B．(0，2]C．[2，+∞)D．(2，+∞)【解答】解：根据题意，函数【解答】解：根据题意，函数f(x)＝＝＝1+，由函数y＝向左(m＜0)或向右(m＞0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递减，必有，则0＜m≤2，即m的取值范围为(0，2]，【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断3.已知定义在[0，+∞)上的单调减函数3.已知定义在[0，+∞)上的单调减函数f(x)，若f(2a﹣1)＞f()，则a的取值范围是()【解答】解：根据题意，f(x)是定义在[0，+∞)上的单调减函数，【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断4.已4.已知函数f(x)＝，若f(a)＝2，则a＝()【知识点】函数的零点5.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是()xxx3124A．(﹣∞，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)f(2)＝2.9＞0，所以f(2)f(3)＜0．函数f(x)一定存在零点的区间是(2，3)【知识点】函数零点的判定定理a则f(x)＝2x+1，若f(a)＝15，即2a+1＝15，解可得a＝7，【知识点】函数的零点7.新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计从()天后该国总感染人数开始超过100万．(lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990)()A．43B．45C．47D．49【知识点】根据实际问题选择函数类型xa的值为()BCDx由于h(x)只有一个零点，故函数h(x)的零点只能是x＝1，【知识点】函数的零点与方程根的关系99.已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)﹣k(0≤k≤1)的所有零点从小到大依次成等差数列，则g(x)的零点一定不包含()BB．2019C．2020【解答】解：由题意，可知f(x)的周期为2，函数g(x)的零点几曲线y＝f(x)与直线y＝k的交点的xg(x)的零点；x(x)的零点；【知识点】函数零点的判定定理A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0【解答【解答】解：(1)令g(x)＝f(x)﹣ax，则，其图象为开口向上、以直线当x≤0时，g′(x)＝ex(x+a+1)，令g′(x)＝0，得x＝﹣(a+1)．若a＞0，则g(x)在(﹣∞，﹣(a+1))上单调递减，在(﹣(a+1)，0]上单调递增，在在上单调递减，在上单调递增，且g(﹣a﹣1)＜0，g(0)＝a＞0，若﹣1＜a≤0，则函数g(x)在(﹣∞，﹣(a+1))上单调递减，在(﹣(a+1)，0]上单调递增，在(0，+∞)上单调递增，且g(﹣a﹣1)＜0，g(0)＝a＜0，若a≤﹣1，分析可知函数g(x)在(﹣∞，0]上单调递增，在(0，+∞)上单调递增，【知识点】函数的零点与方程根的关系 (x)＝2x﹣1，若函数g(x)＝f(x)﹣log(x+2)(a＞0且a≠1)在(﹣1，7)上恰有4个不同的零a点，则实数a的取值范围是()))∪(9，+∞))∪(9，+∞))∪(7，+∞))∪(7，+∞)∴f(x)＝f(x+4)，即函数f(x)的周期为4，又由函数g(x)＝f(x)﹣log(x+2)(a＞0且a≠1)在(﹣1，7)上恰有4个不同的零点，a得函数y＝f(x)与y＝log(x+2)的图象在(﹣1，7)上有4个不同的交点，af(1)＝1，当a＞1时，由图1可得log(5+2)＜1，解得a＞7；a当0＜a＜1时，由图2可得log(7+2)＞﹣1，解得．a【知识点】函数的零点与方程根的关系12.已知函数12.已知函数f(x)＝|kx﹣2|﹣g(x)(k＞0)在(0，+∞)上有3个不同的零点，则不同的零点，则k的取值范围是()A．(0，4)C．(0，1)∪(1，+∞)B．(1，+∞)D．(0，1)∪(1，4)kx﹣2|＝g(x)在(0，+∞)上有3个不同的实数根．画出函数g(x)的图象，如图．上有1个交点，在上有1个交点，在综上，可得k的取值范围为(0，1)∪(1，4)．【知识点】函数的零点与方程根的关系13.已知函数与g(x)＝kx+1，若函数F(x)＝f(x)﹣g(x)有n个零点x，x，…，12x，则F(x)+F(x)+…+F(x)的值为()n12nA．0B．1C．nD．2n则数f(﹣x)+f(x)＝+＝2即f(﹣x)+f(x)＝2，可得f(x)关于(0，1)对称，直线y＝kx+1，直线恒过(0，1)，∴f(x)与g(x)均关于(0，1)中心对称，可得f(x)+g(x)＝2，且g(x)+g(x)＝g(x)+g(x)＝…＝2，1n2n﹣1∴g(x)+g(x)+…+g(x)＝；12nFxFxFxngx+g(x)+…+g(x)]＝2n﹣n＝n．12n12n【知识点】函数的零点与方程根的关系Rfxfxfx数y＝f(x+1)为偶函数．当x∈[0，A．4B．322f(x﹣2)＝f(x)得，f(x+2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，又函数y＝f(x+1)为偶函数，又当x∈[0，1]，f(x)＝2x﹣1，作出函数y＝f(x)的图象如下图所示，222令【解答】【解答】解：作出f(x)＝的图象如图，【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数奇偶性的性质与判断15.已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝a有四个不同的解x，x，x，x，且x＜x1234123412122324234341234244x12【知识点】函数的零点与方程根的关系数【解答】解：函数f(x)的定义域是(0，3)∪(3，+∞)，令令f(x)＝0，即＝0，即lnx＝0，【知识点】函数的零点，则，则a＝；f(x)的零点为．数【【解答】解：根据题意，函数则函数的定义域为[a，8]，函数函数y＝在区间[a，8]上为增函数，函数y＝在区间[a，8]上为减函数，则函数f(x)在[a，8]上为增函数，则f(x)＝﹣，2]，则有f(8)＝，若f(x)＝0，即即函数f(x)的零点为7，【知识点】函数的值域、函数的单调性及单调区间、函数的零点(﹣1，0)时，g(x)＝x+1，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为．【解答】解：根据题意，函数【解答】解：根据题意，函数f(x)＝2﹣|x﹣1|＝()|x﹣1|，其图象关于直线x＝1对称，gx)为偶函数，且满足g(1+x)＝g(1﹣x)，则g(x)的图象也关于直线x＝1对称，当x∈(﹣1，0)时，g(x)＝x+1，则函数f(x)与g(x)的大致图象如图，在区间(﹣1，3)上，两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，交点的横坐标之和为4，【知识点】函数的图象与图象的变换、函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系∈∈12所以＝π，所以ω＝2，【知识点】函数的零点与方程根的关系222222故【知识点】函数的零点4411234123421.已知函数f(x)＝234【【解答】解：画出函数f(x)的图象，如图所示：1123421341234121112341234【知识点】函数的零点与方程根的关系．．【知识点】函数的零点与方程根的关系值构成的集合为．【【解答】解：由方程f(x)＝1，得令yx作出图象作出图象，数形结合，要使得有两个不同的解，故答故答案为【知识点】函数的零点与方程根的关系1212121221212则，∴，，a．∴又∴∵则∴∴【知识点】函数的零点与方程根的关系又f(x)是定义域在R上的偶函数，∴f(2+x)＝f(﹣x)＝f(x)，【知识点】函数的零点与方程根的关系2626.已知函数f(x)＝1+(a为常数)是奇函数．(1)求a的值；(2)函数g(x)＝f(x)﹣logk，若函数g(x)有零点，求参数k的取值范围．2即函数f(x)的定义域为(﹣∞，0)∪(0，+∞)，根据奇函数的定义，对于∀x∈(﹣∞，0)∪(0，+∞)，则有f(﹣x)+f(x)＝0，(2)若函数g(x)有零点，则直线y＝logk与曲线y＝f(x)有交点，2﹣1)∪(1，+∞)；故由logk∈(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，2【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0； (2)若函数g(x)＝f(x)+2logx只有一个零点，求实数a的值．2【解答】解：(1)根据题意，当a＝5时，f(x)＝log(+5)，2若f(x)＞0，即log(+5)＞0，变形可得＞0，2(2)根据题意，若函数g(x)＝f(x)+2logx只有一个零点，即方程log(+a)+2logx2222221212【知识点】函数的零点、指、对数不等式的解法、函数的零点与方程根的关系2828.已知函数f(x)＝(a≠0)．(1)判断函数f(x)在区间(﹣2，2)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；(2)若f(3)＝3，求x∈[﹣1，1]时函数f(x)的值域．【解答】解：(1)当a＞0时，函数f(x)在区间(﹣2，2)上递增，当a＜0时，函数f(x)在区间(﹣2，2)上递减，12则f(x)﹣f(x)＝12﹣＝121212当a＞0时，a(x﹣x)＞0，此时f(x)﹣f(x)＞0，则f(x)在区间(﹣2，2)上递增，1212同理：当a＜0时，函数f(x)在区间(﹣2，2)上递减；(2)若(2)若f(3)＝3，f(3)＝＝3a＝3，则a＝1，此时函数f(x)在区间[﹣1，1]上递增，则f(x)＝f(1)＝，f(x)＝f(﹣1)＝﹣1，maxmin【知识点】函数的单调性及单调区间、函数的值域、函数单调性的性质与判断29.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N)所需的各种费用总计为2x2+6x万元．+(1)该车营运第几年开始赢利(总收入超过总支出，今年为第一年)；(2)该车若干年后有两种处理方案：【解答】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N)，+解得3≤x≤9，(x∈N)．+(2)方案①由题意知赢利总额方案②由题意知年平均赢利总额两种方案的赢利总额一样，但方案②的时间短，30.已知函数f(x)＝x+(m∈R)．(1)当m＝1时，解不等式f(x)+1＞f(x+1)；mmfxx，由f(x)+1＞f(x+1)，得(x+)+1＞(x+1)+，∴不等式f(x)+1＞f(x+1)的解集为(﹣∞，0)∪(1，+∞)；(2)函数y＝f(x)+3在[3，4]上存在零点⇔方程f(x)+3＝0在[3，4]上有解，即m＝﹣(x+1)2+4在[3，4]上有解，函数y＝﹣(x+1)2+4在[3，4]上是减函数【知识点】函数的零点与方程根的关系3131.勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n(n＝1，2，3，…，12)个月对某种食材的需求总量S(公斤)n(1)如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？(2)若每月初等量进货p(公斤)，为保证全年每一个月该食材都够用，求p的最小值．n7都够用，不等式pn≥S对n＝1，2，…，12恒成立，n时，等号成立，综上所述，p≥652.2，【知识点】根据实际问题选择函数类型332.某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促(1)要使促销后商品的利余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？yy)，当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？(2)设网店的利润为y(万元)，由题意可得，＝＝0.25