2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案11

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯"2023年全国初中数学竞赛试题参考答

案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是对的

的.请将对的选项的代号填入题后的括号里，不填'多填或错填都得0分）

i.若@=2o,2=io,则土它的值为（

).

bcb+c

(A4(B)—

11©詈

解：D由题设得色电=£-20+1210

b+ci+£11

b喘

2.若实数4）满足L-"+〃+2=o,则。的取值范围是（).

2」,-

(A)a<-2(B)a>4(C)aW-2或心4(D)—2WaW4

解.C

由于b是实数,所以关于人的一元二次方程〃一仍+，。+2=0

2

的判别式A=(—a)?—4xlxda+2)»0,解得aW-2或a24.

2

3.如图，在四边形A5CD中,N5=135。，N。=120%45=2百，B

。=4一20,。。=4正,则4。边的长为（）.

（A）276。（B）476

（C）4+V6（D）2+2V6

解：D

如图，过点力,。分别作AE,。尸垂直于直线6

C,垂足分别为£尸.

由已知可得

BE=AE=V6,CF=2V2,DF=2娓,

（第3题）

于是EF=4+#.

过点/作AGLOF,垂足为G.在Rt△AOG中，根据勾股定理得

AD=7(4+V6)2+(V6)2=J(2+南.=2+276.

4.在一列数小句与……中，已知芭=1，且当"22时,4=彳1+1_4('11平］

(取整符号［a］表达不超过实数a的最大整数，例如［2.6］=2,［().2］=0),则x2010等于

().

(A)l(B)2(C)3(D)

4

解：B

由玉=1和xk-Xj+1-4-^^--1-["42)可得

%=1,%2=2,工③—3»=4,

X5=1,%6=2,X-j=3,—4f

由于2023=4x502+2,所以x2OI0=2.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形48。的顶点坐标分别为4(1,1),8(2,-

1)((-2,—1),〃(一1,1内轴上一点尸(0,2)绕点A旋转180。得点Pi,点B绕点5旋转

180。得点尸2,点尸2绕点C旋转180。得点尸3,点尸3绕点。旋转

180。得点尸4,...,反复操作依次得到点尸I,尸2,…，则点

尸2023的坐标是().

(A)(2023,2)(B)(2023,-2)

(C)(2023,-2)(D)(0,2)

解：B由已知可以得到，点片,鸟的坐标分别为(2,0),(2,-2).

记a2,b2),其中g=2,仇=一2.

根据对称关系，依次可以求得：

.（—4一％,—2一%），舄（2+生，4+仇），4（―见，一2—优）,"（4+。2,4）.

令《（4,%）,同样可以求得，点耳0的坐标为（4+4也），即％（4x2+4也），

由于2023=4x502+2,所以点4Ho的坐标为（2023,-2）.

二、填空题

6.已知”=石-1,贝!J2/+7a2-2d-12的值等于.

解：0

由已知得（a+1）2=5,所以a?+2a=4,于是

2/+7。,-2a-12=2/+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a—12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,

客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟，小轿车追上了货车;

又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客

车的速度分别为a,b,c（千米/分），并设货车经九分钟追上客车，由题意得

10（a-Z?）=S,①

15（a-c）=2S,②

一c）=s.③

由①②，得30（。—c）=S,所以,x=30.故£=30—10—5=15（分）.

8.如图，在平面直角坐标系xQy中,多边形O48CDE的顶点坐标分别是O（0,0）,A（0,6）,

5（4,6）,C（4,4）,Q（6,4）,JS（6,0）.若直线/通过点M（2,3）,且将多边形。4BC&E

（第8题）

解：y=--x+—

33

如图，延长交x轴于点F；连接。丛4尸；连接CE,DF,且相交于点M

由已知得点M（2,3）是。e，AF的中点，即点M为矩形/6尸0的中心，所以

直线/把矩形产。提成面积相等的两部分.又由于点N（5,2）是矩形。。£E的

中心，所以，

过点N（5,2）的直线把矩形COE/提成面积相等的两部分.

于是，直线MN即为所求的直线/.

f2k+b=3,

设直线I的函数表达式为y="+b,则

k

解得I；,故所求直线/的函数表达式为丁=-；廿日.

b

T,

9.如图，射线AM8N都垂直于线段48，点E为AM上一点，过点/作BE的垂线4C分别

交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为。.若CZ）=CF,贝！j—=____________.

AD

V5-1

解:

2

见题图，设FC=〃i,AF^n.

由于Rt△AF'BsRt△ABC,所以AB2=AFAC.（第9题）

又由于FC=DC=AB,所以=〃（〃+，〃），即（与+J=0,

mm

解得%痔L或小?（舍去）•

T7n人“LLnACLCcci,iAEAEAFnV5-1（：1nAEV5-1

又Rt/XAF£sRt/xcbB,所以——=—=—=—=------,即——=------.

ADBCFCm2AD2

10.对于j=2,3,…，k,正整数〃除以/所得的余数为M.若〃的最小值〃。满足

2000<〃0<3000,则正整数k的最小值为.

解：9由于〃+1为2,3,…，左的倍数，所以〃的最小值期满足

%+1=〔2,3>,,,>%],

其中[2,3,…，修表达2,3,…，左的最小公倍数.

由于[2,3,…,8]=84（）,[2,3,…,9]=2520,

[2,3,…，1（）]=2520,[2,3,…，11]=27720,

因此满足2000<%<3000的正整数k的最小值为9.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11.如图，△ABC为等腰三角形，4尸是底边8c上的高，点。是线段尸。上的一点,8E

EF

和C尸分别是和刀的外接圆直径，连接EF.求证：tanZPAD=—.

BC

（第11题）

证明：如图，连接ED,FD.由于夕后和CF都

是直径，所以

EDI.BC,FDLBC,

因此D,E,广三点共线.（5分）

连接AE,AF,则

ZAEF=ZABC=ZACB=ZAFD,

所以,△ABCsEF....（10分）（第11题）

作AHLEE垂足为"，则AH=PD由AABCs2X4所可得

EFAH

丽—左，

EFPD

从而茄一族，

EF

所以tanZPAD=—.....（20

AP~BC

分）

12.如图，抛物线y=ax2+云*>0）与双曲线>=幺相交于点A,氏已知点A的坐标为

x

（1,4）,点5在第三象限内，且△A05的面积为3（O为坐标原

点）.

（1）求实数a,仇*的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC//x轴,交抛物线于另一

点C,求所有满足△EOCS/XZOB的点E的坐标.

k

解：（1）由于点力（1,4）在双曲线丫=一上，

X

4

所以％=4.故双曲线的函数表达式为y=—

x

4

设点8（6一）,£vO,A8所在直线的函数表达式为y=/nv+〃，则有

4=m+n,

,44Q+D

,4解得m=—,n=

—=mt+n,

于是，直线A8与y轴的交点坐标为（0,笠』]，故

4（Z+1）2

SMOB=1x^（l-r）=3,整理得2t+3t-2=0,

解得「=-2,或t=L（舍去）.所以点B的坐标为（-2,-2）.

2

由于点力，8都在抛物线＞=以2+〃元（，＞0）上，所

。+/?=4,,a=l

以1解得1(10分)

4a-2b=-2,b=3

（2）如图，由于4。〃/轴,所以。（一4,4）,于是。0=4

V2.又80=2后，所以空=2.

BO

设抛物线丁=ax?+及色＞0）与，轴负半轴相交于点D,

则点。的坐标为(—3,0).

（第12题）

由于NCO£>=NBOD=45°,所以NCOB=90°.

（i）WABOA绕点O顺时针旋转90°，得到△B'OA].这时，点B'（-2,2）是CO的中

点，点A的坐标为（4,-1）.

延长。4到点£,，使得。&=2。&,这时点£,（8,-2）是符合条件的点.

（Ii）作4BOA关于x轴的对称图形△B'OA,,得到点A,（l,T）;延长OA2到点E,,

使得。刍=2。4，这时点与（2,-8）是符合条件的点.

所以，点£的坐标是（8,-2），或（2,-8）.（20分）

13.求满足2/+〃+8=＞-2m的所有素数p和正整数初

.解：由题设得〃(2〃+1)=(m—4)(m+2),

所以p|（加一4）（加+2）,由于p是素数，故p|（加一4）,或p|（〃z+2）....（5分）

（1）若p|（加一4）,令，〃一4=切，左是正整数，于是〃?+2＞切，

3P2>p(2p+l)=(相一4)(m+2)>k2p2,

故尸<3,从而％=1.

_m-4=〃，入，(〃=5,、

所以《/解得一........(10分)

m+2=2p+L[m=9.

(2)若〃|(m+2),令加+2=切水是正整数.

当〃>5时，有加—4=切一6>切一〃=〃(4—1),

3P2>〃(2〃+1)=(m-4)(m+2)>k(k-Y)p2,

故伙2—1)<3,从而左=1,或2.

由于“(2〃+1)=(m-4)(/n+2)是奇数，所以Zw2,从而攵=1.

fm-4=2/?+l,

J7E5

m+2=p,

这不也许.

当p=5时，m2-2m=