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1.
求微分方程x2
y+xy
-4
y
=3
x
的通解.解法1令
x
=
et
或
t
=
ln
x,
原方程变为D(
D
-
2)(D
-1)Y
+
D(
D
-1)
y
-
4Dy
=
3e2t
,D3y
-
2D2
y
-
3D
=
3e2t即或2t-
3
dt
=
3e
,d
3
y d
2
y
dydt
3
-
2
dt
2其特征方程r
3
-2r
2
-3r
=0
的根为r1
=
-1,
r2
=
3,
r3
=
0.故对应齐次线性方程的通解为32
3+
C
x
+
C
.133t21xC+
C
=+
C
eY
=
C
e-t1.
求微分方程x2
y解法1+xy
-4
y
=3
x
的通解.故对应齐次线性方程的通解为32
3+
C
x
+
C
.133t21xC+
C
=+
C
eY
=
C
e-t1.
求微分方程x2
y+xy
-4
y
=3
x
的通解.解法1故对应齐次线性方程的通解为32
3+
C
x
+
C
.11
2
33txC+
C
e
+
C
=Y
=
C
e-t设原方程的特解
y*
=
Ae2t
=
Ax2
,
代入原方程得2A
=
-
1
,
从而
y*
=
-
x22,
故原方程的通解为.223321x+
C
x
+
CxCy
=-1.
求微分方程x2
y+xy
-4
y
=3
x
的通解.解法2
因为方程不显含
y,可先引入变量代换y
=
p(
x),则y
=
p
,
y=p
,
代入原方程降阶，得x2
p
+
xp
-
4
p
=
3
x,这是欧拉方程，但微分方程降低一阶，解之得11
x222+
C
x
-
x,p
=
C即-
x.11
x222+
C
xy¢=
C积
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